Exercices corrigés : Régularités et motifs évolutifs
Exercice 1 : Les carrés en allumettes
Voici les trois premières étapes d'un motif.
a) Combien d'allumettes faut-il pour les étapes 4 et 5 ?
b) Combien d'allumettes faut-il pour l'étape 10 ?
Corrigé détaillé :
a) On ajoute $3$ allumettes à chaque étape : étape 4 : $13$ ; étape 5 : $16$.
b) $1 + 3 \times 10 = $ $31$ allumettes.
Exercice 2 : Les triangles en allumettes
On accole des triangles avec des allumettes.
a) Recopier et compléter le tableau : étapes 1, 2, 3, 4, 20.
b) Écrire un programme de calcul donnant le nombre d'allumettes.
Corrigé détaillé :
a) Étapes 1, 2, 3, 4 : $3$ ; $5$ ; $7$ ; $9$. Étape 20 : $1 + 2 \times 20 = $ $41$.
b) « Multiplier le numéro de l'étape par $2$, puis ajouter $1$ ».
Exercice 3 : La croix
Voici un motif de carreaux en forme de croix.
a) Décrire la structure du motif.
b) Combien de carreaux à l'étape 10 ? à l'étape 25 ?
Corrigé détaillé :
a) $1$ carreau central et $4$ bras de $n$ carreaux à l'étape $n$ : on ajoute $4$ carreaux à chaque étape.
b) Étape 10 : $1 + 4 \times 10 = $ $41$ ; étape 25 : $1 + 4 \times 25 = $ $101$.
Exercice 4 : Retrouver l'étape
On reprend les carrés accolés en allumettes ($4$, $7$, $10$, …).
a) Quelle étape construit-on avec $91$ allumettes ?
b) Peut-on utiliser exactement $50$ allumettes ? Et $100$ allumettes ?
Corrigé détaillé :
a) $91 - 1 = 90$ et $90 \div 3 = 30$ : étape 30.
b) $50 - 1 = 49$ n'est pas divisible par $3$ : non. $100 - 1 = 99$ et $99 \div 3 = 33$ : oui, étape 33.
Exercice 5 : Un programme de calcul
Le nombre de jetons d'un motif s'obtient avec le programme : « multiplier le numéro de l'étape par $4$, puis ajouter $2$ ».
a) Calculer le nombre de jetons aux étapes 1, 2, 3, 4 et 5.
b) Combien de jetons à l'étape 10 ? à l'étape 100 ?
Corrigé détaillé :
a) $6$ ; $10$ ; $14$ ; $18$ ; $22$ (on ajoute $4$ à chaque étape).
b) $4 \times 10 + 2 = $ $42$ ; $4 \times 100 + 2 = $ $402$.
Exercice 6 : Trouver la règle
Un motif donne la suite : $5$ ; $9$ ; $13$ ; $17$ ; …
a) Que fait-on pour passer d'une étape à la suivante ?
b) Écrire un programme de calcul qui donne le nombre à partir du numéro de l'étape.
c) Quel nombre obtient-on à l'étape 100 ?
Corrigé détaillé :
a) On ajoute $4$.
b) À l'étape 1 : $4 \times 1 + 1 = 5$ : « multiplier par $4$, puis ajouter $1$ ».
c) $4 \times 100 + 1 = $ $401$.
Exercice 7 : Les carrés de carreaux
Voici un motif de carrés.
a) Combien de carreaux aux étapes 4 et 10 ?
b) Calculer les écarts entre deux étapes consécutives pour les étapes 1 à 5. Que remarque-t-on ?
Corrigé détaillé :
a) Étape 4 : $4 \times 4 = $ $16$ ; étape 10 : $10 \times 10 = $ $100$.
b) $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ : écarts $+3$, $+5$, $+7$, $+9$. On n'ajoute pas toujours le même nombre : les écarts augmentent de $2$.
Exercice 8 : Les rectangles
Voici un motif de rectangles de carreaux.
a) Combien de carreaux aux étapes 1, 2, 3 ?
b) Décrire l'étape $n$, puis calculer le nombre de carreaux aux étapes 5 et 10.
Corrigé détaillé :
a) $2$ ; $6$ ; $12$.
b) L'étape $n$ est un rectangle de $n$ lignes et $n + 1$ colonnes. Étape 5 : $5 \times 6 = $ $30$ ; étape 10 : $10 \times 11 = $ $110$.
Exercice 9 : Deux façons de voir
Pour les carrés accolés en allumettes, Lisa dit : « $4$ allumettes pour le premier carré, puis $3$ pour chacun des autres ». Hugo dit : « $1$ allumette, puis $3$ par carré ».
a) Calculer avec chaque méthode le nombre d'allumettes à l'étape 7.
b) Que remarque-t-on ?
Corrigé détaillé :
a) Lisa : $4 + 3 \times 6 = 22$. Hugo : $1 + 3 \times 7 = 22$.
b) Les deux méthodes donnent le même résultat : $22$ allumettes.
Exercice 10 : Problème : les tables du banquet
Autour d'une table carrée, on assoit $4$ personnes. Quand on met des tables bout à bout en ligne, on assoit $6$ personnes avec $2$ tables, $8$ avec $3$ tables, …
a) Combien de personnes avec $15$ tables ?
b) Combien de tables faut-il pour asseoir $40$ personnes ?
Corrigé détaillé :
On ajoute $2$ personnes par table, plus $1$ à chaque bout : nombre $= 2 \times n + 2$.
a) $2 \times 15 + 2 = $ $32$ personnes.
b) $40 - 2 = 38$ et $38 \div 2 = $ $19$ tables.