La fraction comme opérateur multiplicatif

1 - Prendre une fraction d'une quantité

Définition 1 : Prendre $\dfrac{c}{b}$ d'un nombre $a$, c'est multiplier ce nombre par la fraction $\dfrac{c}{b}$. On calcule $\dfrac{c}{b} \times a$. En français, le mot « de » se traduit par une multiplication.

Une tablette de chocolat contient $24$ carreaux. Tom en mange les $\dfrac{3}{4}$. On partage les $24$ carreaux en $4$ parts égales : $24 \div 4 = 6$. On prend $3$ de ces parts : $3 \times 6 = 18$.

$4$ parts de $6$ carreaux ; on en prend $3$. Donc $\dfrac{3}{4} \times 24 = 18$ : Tom mange $18$ carreaux.

2 - Trois façons de calculer

Propriété 1 : Pour tous nombres $a$, $b$ et $c$ (avec $b \neq 0$) : $\dfrac{c}{b} \times a = (a \div b) \times c = (c \times a) \div b = c \times \dfrac{a}{b}$

Calculer $\dfrac{2}{5} \times 35$ de trois façons :

  • on divise d'abord : $(35 \div 5) \times 2 = 7 \times 2 = 14$ ;
  • on multiplie d'abord : $(2 \times 35) \div 5 = 70 \div 5 = 14$ ;
  • on calcule le quotient d'abord : $2 \div 5 = 0{,}4$ puis $0{,}4 \times 35 = 14$.

Remarque : On choisit la méthode la plus simple. Quand $a$ est un multiple de $b$, il est souvent plus facile de diviser d'abord.

3 - Simplifier avant de calculer

Propriété 2 : Pour faciliter un calcul, on peut d'abord simplifier : si un même nombre divise le dénominateur de la fraction et le nombre $a$, on divise les deux par ce nombre avant de multiplier.

• $\dfrac{5}{12} \times 36 = \dfrac{5 \times 36}{12} = \dfrac{5 \times 3 \times \cancel{12}}{\cancel{12}} = 5 \times 3 = 15$

• $\dfrac{7}{6} \times 15 = \dfrac{7 \times 15}{6} = \dfrac{7 \times 5 \times \cancel{3}}{2 \times \cancel{3}} = \dfrac{35}{2} = 17{,}5$

Un problème concret :

Un collège compte $450$ élèves. Les $\dfrac{2}{9}$ d'entre eux sont en 6e. Combien y a-t-il d'élèves de 6e ?

$\dfrac{2}{9} \times 450 = (450 \div 9) \times 2 = 50 \times 2 = 100$. Il y a $100$ élèves de 6e.

Remarque : Prendre une fraction inférieure à 1 d'un nombre donne un résultat plus petit que ce nombre ; prendre une fraction supérieure à 1 donne un résultat plus grand : $\dfrac{3}{2} \times 10 = 15$.