Exercices corrigés : Définition et multiples écritures d'un nombre décimal
Exercice 1 : Reconnaître une fraction décimale
Parmi les fractions suivantes, lesquelles sont des fractions décimales ? Justifier.
$$\dfrac{7}{10} \qquad \dfrac{3}{4} \qquad \dfrac{45}{100} \qquad \dfrac{12}{5} \qquad \dfrac{9}{1~000} \qquad \dfrac{100}{3}$$
Corrigé détaillé :
Une fraction décimale a pour dénominateur $10$, $100$, $1~000$, …
Les fractions décimales sont : $\dfrac{7}{10}$, $\dfrac{45}{100}$ et $\dfrac{9}{1~000}$.
$\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{12}{5}$ et $\dfrac{100}{3}$ ne sont pas des fractions décimales : leurs dénominateurs $4$, $5$ et $3$ ne sont pas des puissances de 10 (attention, dans $\dfrac{100}{3}$, c'est le numérateur qui vaut $100$).
Exercice 2 : Montrer qu'une fraction est un nombre décimal
En s'inspirant de l'exemple du cours ($\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}$), écrire chaque fraction sous la forme d'une fraction décimale, puis en déduire que c'est un nombre décimal :
$$a) \; \dfrac{1}{2} \qquad b) \; \dfrac{2}{5} \qquad c) \; \dfrac{1}{4} \qquad d) \; \dfrac{7}{20} \qquad e) \; \dfrac{3}{25}$$
Corrigé détaillé :
On multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre pour obtenir $10$ ou $100$ au dénominateur.
a) $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 5}{2 \times 5} = $ $\dfrac{5}{10}$ $= 0{,}5$
b) $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 2}{5 \times 2} = $ $\dfrac{4}{10}$ $= 0{,}4$
c) $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 25}{4 \times 25} = $ $\dfrac{25}{100}$ $= 0{,}25$
d) $\dfrac{7}{20} = \dfrac{7 \times 5}{20 \times 5} = $ $\dfrac{35}{100}$ $= 0{,}35$
e) $\dfrac{3}{25} = \dfrac{3 \times 4}{25 \times 4} = $ $\dfrac{12}{100}$ $= 0{,}12$
Chaque fraction peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale : ce sont donc des nombres décimaux.
Exercice 3 : Nombres entiers et nombres décimaux
1. Compléter les égalités :
$$6 = \dfrac{\ldots}{10} \qquad 6 = \dfrac{\ldots}{100} \qquad 15 = \dfrac{\ldots}{10} \qquad 4 = \dfrac{\ldots}{1~000}$$
2. Vrai ou faux ? Justifier. a) $12$ est un nombre décimal. b) $5{,}3$ est un nombre entier. c) $7{,}00$ est un nombre entier.
Corrigé détaillé :
1. $6 = \dfrac{60}{10}$, $6 = \dfrac{600}{100}$, $15 = \dfrac{150}{10}$, $4 = \dfrac{4~000}{1~000}$ : numérateurs $60$ ; $600$ ; $150$ ; $4~000$.
2. a) Vrai : tout nombre entier est un nombre décimal ($12 = \dfrac{120}{10}$).
b) Faux : $5{,}3$ est décimal, mais sa partie décimale ($0{,}3$) n'est pas nulle.
c) Vrai : $7{,}00 = 7$ (les zéros après la virgule sont inutiles).
Exercice 4 : De l'écriture à virgule à la fraction décimale
Écrire chaque nombre sous la forme d'une fraction décimale :
$$a) \; 4{,}7 \qquad b) \; 0{,}59 \qquad c) \; 12{,}036 \qquad d) \; 8{,}05 \qquad e) \; 0{,}003$$
Corrigé détaillé :
On écrit au numérateur le nombre sans la virgule, et au dénominateur $10$, $100$ ou $1~000$ selon le nombre de chiffres après la virgule (Propriété 2).
a) $4{,}7 = $ $\dfrac{47}{10}$ b) $0{,}59 = $ $\dfrac{59}{100}$ c) $12{,}036 = $ $\dfrac{12~036}{1~000}$
d) $8{,}05 = $ $\dfrac{805}{100}$ e) $0{,}003 = $ $\dfrac{3}{1~000}$ (les zéros situés à gauche du $3$ disparaissent au numérateur).
Exercice 5 : De la fraction décimale à l'écriture à virgule
Donner l'écriture à virgule de chaque fraction décimale :
$$a) \; \dfrac{83}{10} \qquad b) \; \dfrac{527}{100} \qquad c) \; \dfrac{9}{100} \qquad d) \; \dfrac{4~061}{1~000} \qquad e) \; \dfrac{70}{10}$$
Corrigé détaillé :
Le dénominateur indique le nombre de chiffres après la virgule : $1$ pour $10$, $2$ pour $100$, $3$ pour $1~000$.
a) $\dfrac{83}{10} = $ $8{,}3$ b) $\dfrac{527}{100} = $ $5{,}27$ c) $\dfrac{9}{100} = $ $0{,}09$ ($9$ centièmes)
d) $\dfrac{4~061}{1~000} = $ $4{,}061$ e) $\dfrac{70}{10} = 7{,}0 = $ $7$ : c'est un nombre entier.
Exercice 6 : Écriture sous forme de nombre mixte
1. Écrire chaque nombre sous la forme d'un nombre mixte (partie entière + fraction inférieure à $1$) :
$$a) \; 5{,}63 \qquad b) \; 12{,}4 \qquad c) \; 0{,}85 \qquad d) \; 7{,}009$$
2. Donner l'écriture à virgule de : $\quad e) \; 3 + \dfrac{25}{100} \qquad f) \; 8 + \dfrac{6}{1~000}$
Corrigé détaillé :
a) $5{,}63 = $ $5 + \dfrac{63}{100}$ b) $12{,}4 = $ $12 + \dfrac{4}{10}$
c) $0{,}85 = $ $0 + \dfrac{85}{100}$ d) $7{,}009 = $ $7 + \dfrac{9}{1~000}$
e) $3 + \dfrac{25}{100} = $ $3{,}25$ f) $8 + \dfrac{6}{1~000} = $ $8{,}006$ ($6$ millièmes : $0$ dixième et $0$ centième).
Exercice 7 : Décomposition chiffre par chiffre
1. Décomposer chaque nombre comme dans le cours ($3{,}47 = 3 + \dfrac{4}{10} + \dfrac{7}{100}$) :
$$a) \; 4{,}58 \qquad b) \; 27{,}306 \qquad c) \; 0{,}92$$
2. Donner l'écriture à virgule de :
$$d) \; 6 + \dfrac{2}{10} + \dfrac{9}{100} \qquad e) \; 1 + \dfrac{7}{100} \qquad f) \; 30 + \dfrac{4}{10} + \dfrac{5}{1~000}$$
Corrigé détaillé :
a) $4{,}58 = $ $4 + \dfrac{5}{10} + \dfrac{8}{100}$
b) $27{,}306 = $ $27 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{6}{1~000}$ (le chiffre des centièmes est $0$, on peut écrire $+ \dfrac{0}{100}$ ou ne rien écrire).
c) $0{,}92 = $ $\dfrac{9}{10} + \dfrac{2}{100}$
d) $6{,}29$ e) $1{,}07$ ($0$ dixième) f) $30{,}405$ ($0$ centième)
Exercice 8 : Pourcentages
1. Écrire chaque nombre sous la forme d'un pourcentage :
$$a) \; 0{,}45 \qquad b) \; 0{,}6 \qquad c) \; 1{,}2 \qquad d) \; 0{,}07$$
2. Donner l'écriture à virgule de chaque pourcentage :
$$e) \; 38~\% \qquad f) \; 5~\% \qquad g) \; 250~\% \qquad h) \; 100~\%$$
Corrigé détaillé :
On écrit le nombre sous la forme d'une fraction de dénominateur $100$ (Propriété 3 : $a~\% = \dfrac{a}{100}$).
a) $0{,}45 = \dfrac{45}{100} = $ $45~\%$ b) $0{,}6 = \dfrac{60}{100} = $ $60~\%$ c) $1{,}2 = \dfrac{120}{100} = $ $120~\%$ d) $0{,}07 = \dfrac{7}{100} = $ $7~\%$
e) $38~\% = \dfrac{38}{100} = $ $0{,}38$ f) $5~\% = \dfrac{5}{100} = $ $0{,}05$ g) $250~\% = \dfrac{250}{100} = $ $2{,}5$ h) $100~\% = $ $1$
Exercice 9 : Compléter un tableau d'écritures
Recopier et compléter le tableau. Sur chaque ligne, les quatre écritures désignent le même nombre.
| Écriture à virgule | Fraction décimale | Nombre mixte | Pourcentage |
|---|---|---|---|
| $0{,}48$ | … | … | … |
| … | $\dfrac{135}{100}$ | … | … |
| … | … | $2 + \dfrac{6}{100}$ | … |
| … | … | … | $90~\%$ |
Corrigé détaillé :
| Écriture à virgule | Fraction décimale | Nombre mixte | Pourcentage |
|---|---|---|---|
| $0{,}48$ | $\dfrac{48}{100}$ | $0 + \dfrac{48}{100}$ | $48~\%$ |
| $1{,}35$ | $\dfrac{135}{100}$ | $1 + \dfrac{35}{100}$ | $135~\%$ |
| $2{,}06$ | $\dfrac{206}{100}$ | $2 + \dfrac{6}{100}$ | $206~\%$ |
| $0{,}9$ | $\dfrac{9}{10} = \dfrac{90}{100}$ | $0 + \dfrac{9}{10}$ | $90~\%$ |
Ligne 4 : $90~\% = \dfrac{90}{100} = 0{,}90 = 0{,}9$ (le zéro final est inutile).
Exercice 10 : Problème : la lecture
Léa a lu les $\dfrac{3}{4}$ de son livre. Tom a lu $0{,}6$ du sien.
- Écrire la part lue par Léa sous la forme d'une fraction décimale, puis d'une écriture à virgule.
- Écrire les parts lues par Léa et par Tom sous la forme de pourcentages.
- Qui a lu la plus grande part de son livre ?
Corrigé détaillé :
1. $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 25}{4 \times 25} = $ $\dfrac{75}{100}$ $= $ $0{,}75$.
2. Léa : $\dfrac{75}{100} = $ $75~\%$ ; Tom : $0{,}6 = \dfrac{60}{100} = $ $60~\%$.
3. $75~\%$ est plus grand que $60~\%$ : c'est Léa qui a lu la plus grande part de son livre.