Exercices corrigés : Le losange
Exercice 1 : Définition
RSTU est un losange avec RS $= 4{,}5$ cm. Donner ST, TU et UR, puis calculer le périmètre.
Corrigé détaillé :
ST $=$ TU $=$ UR $= 4{,}5$ cm ; $4 \times 4{,}5 = $ $18$ cm
Exercice 2 : Diagonales
EFGH est un losange de centre K avec EG $= 10$ cm et FH $= 6$ cm. Calculer EK et KH. Que vaut $\widehat{\text{EKF}}$ ?
Corrigé détaillé :
EK $= 5$ cm ; KH $= 3$ cm ; $\widehat{\text{EKF}} = 90°$
Exercice 3 : Construction
Construire un losange ABCD de diagonales AC $= 7$ cm et BD $= 4$ cm. Décrire la méthode.
Corrigé détaillé :
On trace [AC], son milieu O, la perpendiculaire à (AC) en O, puis on place B et D à $2$ cm de O de part et d'autre.
Exercice 4 : Angles
MNPQ est un losange avec $\widehat{\text{M}} = 72°$. Calculer les trois autres angles.
Corrigé détaillé :
$\widehat{\text{P}} = 72°$ (opposés) ; $\widehat{\text{N}} = \widehat{\text{Q}} = 108°$ ($180 - 72$).
Exercice 5 : Dans le triangle AOB
ABCD est un losange de centre O et $\widehat{\text{OAB}} = 28°$. Calculer $\widehat{\text{AOB}}$ puis $\widehat{\text{OBA}}$.
Corrigé détaillé :
$\widehat{\text{AOB}} = 90°$ (diagonales perpendiculaires) ; $\widehat{\text{OBA}} = 180 - 90 - 28 = 62°$.
Exercice 6 : Reconnaître
Dans chaque cas, le quadrilatère est-il un losange ? a) parallélogramme avec AB $=$ BC ; b) quadrilatère avec diagonales perpendiculaires ; c) parallélogramme avec (AC) $\perp$ (BD) ; d) quadrilatère avec quatre côtés de $3$ cm.
Corrigé détaillé :
a) oui (P4) b) pas forcément c) oui (P3) d) oui (définition)
Exercice 7 : Démontrer
ABCD est un parallélogramme tel que AB $= 5$ cm et BC $= 5$ cm. Démontrer que ABCD est un losange, puis que ses diagonales sont perpendiculaires.
Corrigé détaillé :
Parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux : losange (P4). Un losange a des diagonales perpendiculaires (P1).
Exercice 8 : Losange et cercles
Deux cercles de même rayon $4$ cm ont pour centres A et C, avec AC $= 6$ cm ; ils se coupent en B et D. Démontrer que ABCD est un losange.
Corrigé détaillé :
AB $=$ AD $= 4$ (cercle de centre A) et CB $=$ CD $= 4$ (cercle de centre C) : quatre côtés égaux, ABCD est un losange.
Exercice 9 : Losange particulier
Un losange ABCD a un angle $\widehat{\text{A}} = 60°$ et un côté de $5$ cm. Quelle est la nature du triangle ABD ? En déduire BD.
Corrigé détaillé :
ABD est isocèle en A avec un angle de $60°$ : équilatéral, donc BD $= 5$ cm.
Exercice 10 : Problème
ABC est isocèle en A. D est le symétrique de A par rapport au milieu I de [BC]. Démontrer que ABDC est un losange.
Corrigé détaillé :
I est le milieu de [BC] et de [AD] : ABDC est un parallélogramme (P5 du parallélogramme). De plus AB $=$ AC (deux côtés consécutifs égaux), donc ABDC est un losange (P4).