Médiatrice et cercle circonscrit
1 - Rappels sur la médiatrice d'un segment
Définition 1 : On appelle médiatrice d'un segment la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment.
$(d)$ passe par le milieu de [AB] et $(d) \perp$ [AB].
Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Propriété 2 : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
M appartient à $(d)$ d'où MA $=$ MB ; et réciproquement, si MA $=$ MB alors M appartient à $(d)$.
Application : construire la médiatrice au compas. On construit deux points distincts E et F équidistants des extrémités du segment (deux arcs de même rayon de centres A et B, de chaque côté). La droite (EF) est la médiatrice de [AB].
2 - Médiatrices du triangle et cercle circonscrit
Remarque : Les médiatrices d'un triangle sont les médiatrices des côtés de ce triangle.
Propriété 3 : Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point). Leur point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.
Justification : O est le point d'intersection des médiatrices de [AB] et [AC]. D'après la propriété 1, OA $=$ OB et OA $=$ OC, donc OB $=$ OC : O est équidistant de B et C. D'après la propriété 2, O appartient à la médiatrice de [BC]. Les trois médiatrices se coupent donc en O.