Les Fractions

Comment savoir si un nombre a pour diviseur 2, 3 ou 5 sans faire la division ?

2 Un nombre entier a pour diviseur 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemple : Le chiffre des unités de 234 est 4, donc 2 est un diviseur de 234 ($234 = 117 \times 2$).

3 Un nombre entier a pour diviseur 3 si la somme de ses chiffres a pour diviseur 3.

Exemple : La somme des chiffres de 234 est $2 + 3 + 4 = 9$ et 3 divise 9, donc 3 divise 234 ($234 = 78 \times 3$).

5 Un nombre entier a pour diviseur 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

Exemple : Le chiffre des unités de 170 est 0, donc 5 divise 170 ($170 = 34 \times 5$).
Calcul mental : Pour diviser par 5, diviser par 10 puis multiplier par 2.

I – Notion de fraction

Définition 1 : On appelle fraction le nombre, noté $\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant différent de zéro, tel que :

$$\dfrac{a}{b} = a \div b = a/b \quad \text{avec } b \neq 0$$

Vocabulaire : $a$ est appelé numérateur et $b$ dénominateur.

Propriété 1 : Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme d'une fraction.

Exemples :

$$25{,}4 = \dfrac{254}{10} = \dfrac{2540}{100} \qquad 52 = \dfrac{52}{1} = \dfrac{520}{10} \qquad 0{,}007 = \dfrac{7}{1000}$$

Remarque : Certaines fractions ne possèdent pas d'écriture décimale finie (ex: $\frac{1}{3} = 0{,}333...$).

Propriété 2 : Pour placer la fraction $\dfrac{a}{b}$ sur une droite graduée, on partage les unités en $b$ parts égales, puis on compte $a$ parts en partant de 0.

Exemples sur une droite graduée :

Plaçons $\dfrac{5}{8}$ : on découpe chaque unité en 8 parts égales et on compte 5 parts depuis 0.

0 A (5/8) 1

Propriété 3 : Le quotient $\dfrac{a}{b}$ ne change pas lorsqu'on multiplie ou qu'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de zéro.

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times c}{b \times c} \quad \text{et} \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div c}{b \div c} \quad (c \neq 0)$$

1) Comparer deux fractions

Comparer $\dfrac{4}{5}$ et $\dfrac{7}{10}$ :

$$\dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} > \dfrac{7}{10} \implies \dfrac{4}{5} > \dfrac{7}{10}$$

2) Simplifier

Simplifier $\dfrac{14}{10}$ :

$$\dfrac{14}{10} = \dfrac{7 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{7}{5}$$

3) Diviseur décimal

Calculer $12 \div 0{,}3$ :

$$12 \div 0{,}3 = \dfrac{120}{3} = 40$$

II – Addition et soustraction

Propriété 4 : Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur.

$$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d + b \times c}{b \times d} \qquad \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d - b \times c}{b \times d}$$

Exemples :

$$\dfrac{3}{7} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{24}{56} + \dfrac{35}{56} = \dfrac{59}{56} \qquad \dfrac{3}{7} - \dfrac{5}{8} = -\dfrac{11}{56}$$

$$\dfrac{-7}{15} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{-28}{60} + \dfrac{15}{60} = -\dfrac{13}{60} \qquad \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$$

III – Multiplication et division

Propriété 5 (Multiplication) : Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$$

Définition 2 (Inverse) : Pour $a \neq 0$ et $b \neq 0$, l'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est la fraction $\dfrac{b}{a}$.

Propriété 6 (Division) : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

$$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$$

Exemples de division :

$$\dfrac{5}{3} \div \dfrac{7}{2} = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{10}{21} \qquad -\dfrac{2}{7} \div \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{2}{7} \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{6}{28} = \dfrac{3}{14}$$