Exercices corrigés : Division euclidienne et divisibilité
Exercice 1 : Poser une division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de 423 par 19 et écrire l'égalité correspondante en vérifiant la condition sur le reste.
Corrigé :
En posant la division de 423 par 19 :
Dans 42, il y a 2 fois 19 ($2 \times 19 = 38$), reste 4.
On abaisse 3 : dans 43, il y a 2 fois 19 ($38$), reste 5.
Le quotient est 22 et le reste est 5.
On écrit l'égalité : $$423 = 19 \times 22 + 5 \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant 5 < 19$$
Exercice 2 : Problème de partage (boîtes d'œufs)
Un fermier ramasse 375 œufs. Il souhaite les ranger dans des boîtes de 12 œufs.
1) Combien de boîtes pourra-t-il remplir complètement ?
2) Combien d'œufs lui restera-t-il ?
Corrigé :
On effectue la division euclidienne de 375 par 12 :
$375 = 12 \times 31 + 3$ avec $0 \leqslant 3 < 12$.
1) Il pourra remplir complètement 31 boîtes.
2) Il lui restera 3 œufs.
Exercice 3 : Lister tous les diviseurs d'un entier
Donner la liste de tous les diviseurs positifs des nombres suivants :
1) Pour $28$.
2) Pour $45$.
Corrigé :
1) Pour 28 : $1 \times 28$, $2 \times 14$, $4 \times 7$.
Les diviseurs de 28 sont : 1, 2, 4, 7, 14, 28.
2) Pour 45 : $1 \times 45$, $3 \times 15$, $5 \times 9$.
Les diviseurs de 45 sont : 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Exercice 4 : Critères de divisibilité
Parmi les nombres 120, 234, 315 et 418 :
1) Lesquels sont divisibles par 2 ?
2) Lesquels sont divisibles par 3 ?
3) Lesquels sont divisibles par 5 ?
4) Lesquels sont divisibles par 9 ?
Corrigé :
1) Divisibles par 2 (chiffre des unités pair) : 120, 234, 418.
2) Divisibles par 3 (somme des chiffres divisible par 3) :
$1+2+0=3$ (oui), $2+3+4=9$ (oui), $3+1+5=9$ (oui), $4+1+8=13$ (non).
Réponse : 120, 234, 315.
3) Divisibles par 5 (se terminent par 0 ou 5) : 120, 315.
4) Divisibles par 9 (somme des chiffres divisible par 9) : 234, 315.
Exercice 5 : Reconnaître un nombre premier
Pour chacun des nombres suivants, justifier s'il est premier ou non :
1) 37
2) 51
3) 91
4) 1
Corrigé :
1) 37 n'est divisible ni par 2, 3, 5. De plus $\sqrt{37} \approx 6{,}08$, et aucun premier $\leqslant 6$ ne le divise. Donc 37 est premier.
2) $5 + 1 = 6$, donc 51 est divisible par 3 ($51 = 3 \times 17$). Il n'est pas premier.
3) $91 = 7 \times 13$, donc 91 n'est pas premier.
4) 1 n'a qu'un seul diviseur positif, or un nombre premier doit en avoir exactement deux. Donc 1 n'est pas premier.
Exercice 6 : Décomposition en produit de facteurs premiers
Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants :
1) 60
2) 84
3) 150
Corrigé :
1) $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 =$ $$2^2 \times 3 \times 5$$
2) $84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 =$ $$2^2 \times 3 \times 7$$
3) $150 = 2 \times 75 = 2 \times 3 \times 25 =$ $$2 \times 3 \times 5^2$$
Exercice 7 : Rendre une fraction irréductible
En utilisant la décomposition en facteurs premiers, rendre irréductibles les fractions :
$$A = \dfrac{60}{84} \qquad B = \dfrac{126}{180}$$
Corrigé :
• Pour $A$ : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
$A = \dfrac{2^2 \times 3 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7} =$ $$\dfrac{5}{7}$$
• Pour $B$ : $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.
$B = \dfrac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \dfrac{7}{2 \times 5} =$ $$\dfrac{7}{10}$$
Exercice 8 : Problème : Composition de colis identiques
Un confiseur dispose de 120 chocolats noirs et 90 chocolats au lait. Il souhaite confectionner le plus grand nombre de sachets identiques (même contenu) sans laisser de reste.
1) Combien de sachets peut-il préparer ?
2) Quelle sera la composition de chaque sachet ?
Corrigé :
Le nombre de sachets doit être un diviseur commun à 120 et 90. Pour en faire le maximum, on cherche leur PGCD.
Décompositions : $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.
Le PGCD est $2 \times 3 \times 5 = 30$.
1) Il peut préparer 30 sachets.
2) Dans chaque sachet :
$120 \div 30 =$ 4 chocolats noirs.
$90 \div 30 =$ 3 chocolats au lait.