Probabilités
1 - Langage des probabilités
Définition 1 : L'expérience aléatoire
On appelle expérience aléatoire une expérience qui vérifie deux conditions :
- Tous les résultats possibles sont connus à l'avance.
- On ne peut pas savoir à l'avance quel résultat va se produire.
Exemple de référence : Le lancer de dé à 6 faces
On lance un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et on note le nombre obtenu :
- Les résultats possibles sont connus : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$.
- Le résultat exact dépend du hasard. C'est bien une expérience aléatoire.
Définition 2 : Issues
On appelle issues les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
Pour le dé, il y a $6$ issues : $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Définition 3 : Évènement
Un évènement est un ensemble d'issues.
« Obtenir un nombre pair » est l'évènement $A = \{2, 4, 6\}$.
Une issue isolée (un seul résultat) est aussi appelée un évènement élémentaire.
Définition 4 : Évènements incompatibles
Deux évènements sont dits incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps (aucune issue commune).
« Obtenir 6 » et « Obtenir un nombre inférieur strictement à 3 » sont incompatibles.
Définition 5 : Évènement contraire
L'évènement contraire d'un évènement $A$, noté $\overline{A}$ (« non $A$ »), est formé de toutes les issues qui n'appartiennent pas à $A$.
Si $A = \{2, 4, 6\}$ (pair), alors $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$ (impair).
2 - Calcul de probabilité
Définition 6 : La probabilité
La probabilité d'un évènement est la fréquence théorique de réalisation de cet évènement lorsqu'on répète l'expérience un très grand nombre de fois.
Propriété 1 : Règle d'équiprobabilité
Lorsque toutes les issues possibles ont la même chance de se réaliser (situation d'équiprobabilité), la probabilité d'un évènement $A$ est :
$$p(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues possibles}}$$
Évènement $A$ : « Obtenir un nombre pair »
Issues favorables : $2, 4, 6$ (soit $3$ issues sur $6$).
$$p(A) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5 = 50\,\%$$
Évènement $B$ : « Obtenir au moins 2 »
Issues favorables : $2, 3, 4, 5, 6$ (soit $5$ issues sur $6$).
$$p(B) = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}833 \approx 83{,}3\,\%$$
Propriété 2 : Encadrement et évènement contraire
- Pour tout évènement $A$, la probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : $$0 \le p(A) \le 1$$
- La somme des probabilités de toutes les issues élémentaires est toujours égale à $1$.
- La somme des probabilités d'un évènement et de son contraire vaut $1$ :
$$p(A) + p(\overline{A}) = 1 \iff p(\overline{A}) = 1 - p(A)$$
Exemple : $p(A) = 0{,}5 \implies p(\overline{A}) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$.