Exercices corrigés : Exercices corrigés : Statistiques - 3ème
Exercice 1 : Exercice 1 : Moyenne simple et étendue d'une série
Voici les notes obtenues par un élève lors d'un trimestre :
$$12 \quad ; \quad 15 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 14 \quad ; \quad 11$$
1) Calculer la moyenne de ces notes.
2) Déterminer l'étendue de cette série de notes.
$$12 \quad ; \quad 15 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 14 \quad ; \quad 11$$
1) Calculer la moyenne de ces notes.
2) Déterminer l'étendue de cette série de notes.
Corrigé détaillé :
1) Calcul de la moyenne :
$$\bar{x} = \dfrac{12 + 15 + 8 + 14 + 11}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$$
La moyenne est de $12$.
2) L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale :
$$e = x_{\max} - x_{\min} = 15 - 8 = 7$$
L'étendue est de $7$.
$$\bar{x} = \dfrac{12 + 15 + 8 + 14 + 11}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$$
La moyenne est de $12$.
2) L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale :
$$e = x_{\max} - x_{\min} = 15 - 8 = 7$$
L'étendue est de $7$.
Exercice 2 : Exercice 2 : Médiane d'une série d'effectif impair
On a relevé le nombre de livres lus par $9$ élèves durant l'année :
$$3 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 2 \quad ; \quad 5 \quad ; \quad 11 \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 6 \quad ; \quad 5 \quad ; \quad 7$$
1) Ordonner la série par ordre croissant.
2) Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat.
$$3 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 2 \quad ; \quad 5 \quad ; \quad 11 \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 6 \quad ; \quad 5 \quad ; \quad 7$$
1) Ordonner la série par ordre croissant.
2) Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat.
Corrigé détaillé :
1) Série ordonnée :
$$2 \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 5 \quad ; \quad \mathbf{5} \quad ; \quad 6 \quad ; \quad 7 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 11$$
2) L'effectif total est $N = 9$ (impair). La position de la médiane est $\dfrac{N+1}{2} = \dfrac{10}{2} = 5^{\text{ème}}$ valeur.
La $5^{\text{ème}}$ valeur est $5$.
La médiane est $5\text{ livres}$.
Interprétation : au moins $50\%$ des élèves ont lu $5$ livres ou moins, et au moins $50\%$ en ont lu $5$ ou plus.
$$2 \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 5 \quad ; \quad \mathbf{5} \quad ; \quad 6 \quad ; \quad 7 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 11$$
2) L'effectif total est $N = 9$ (impair). La position de la médiane est $\dfrac{N+1}{2} = \dfrac{10}{2} = 5^{\text{ème}}$ valeur.
La $5^{\text{ème}}$ valeur est $5$.
La médiane est $5\text{ livres}$.
Interprétation : au moins $50\%$ des élèves ont lu $5$ livres ou moins, et au moins $50\%$ en ont lu $5$ ou plus.
Exercice 3 : Exercice 3 : Médiane d'une série d'effectif pair
Voici les temps en secondes réalisés par $8$ coureurs sur $100\text{ m}$ :
$$11{,}2 \quad ; \quad 10{,}8 \quad ; \quad 12{,}1 \quad ; \quad 11{,}5 \quad ; \quad 10{,}9 \quad ; \quad 11{,}8 \quad ; \quad 11{,}4 \quad ; \quad 12{,}0$$
Déterminer le temps médian.
$$11{,}2 \quad ; \quad 10{,}8 \quad ; \quad 12{,}1 \quad ; \quad 11{,}5 \quad ; \quad 10{,}9 \quad ; \quad 11{,}8 \quad ; \quad 11{,}4 \quad ; \quad 12{,}0$$
Déterminer le temps médian.
Corrigé détaillé :
Ordonnons la série :
$$10{,}8 \quad ; \quad 10{,}9 \quad ; \quad 11{,}2 \quad ; \quad \mathbf{11{,}4} \quad ; \quad \mathbf{11{,}5} \quad ; \quad 11{,}8 \quad ; \quad 12{,}0 \quad ; \quad 12{,}1$$
L'effectif total est $N = 8$ (pair). La médiane est la demi-somme des $4^{\text{ème}}$ et $5^{\text{ème}}$ valeurs :
$$M = \dfrac{11{,}4 + 11{,}5}{2} = \dfrac{22{,}9}{2} = 11{,}45\text{ s}$$
Le temps médian est de $11{,}45\text{ s}$.
$$10{,}8 \quad ; \quad 10{,}9 \quad ; \quad 11{,}2 \quad ; \quad \mathbf{11{,}4} \quad ; \quad \mathbf{11{,}5} \quad ; \quad 11{,}8 \quad ; \quad 12{,}0 \quad ; \quad 12{,}1$$
L'effectif total est $N = 8$ (pair). La médiane est la demi-somme des $4^{\text{ème}}$ et $5^{\text{ème}}$ valeurs :
$$M = \dfrac{11{,}4 + 11{,}5}{2} = \dfrac{22{,}9}{2} = 11{,}45\text{ s}$$
Le temps médian est de $11{,}45\text{ s}$.
Exercice 4 : Exercice 4 : Moyenne pondérée avec tableau d'effectifs
Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un devoir par les $25$ élèves d'une classe :
Calculer la note moyenne de la classe à ce devoir.
| Note | $8$ | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | $3$ | $7$ | $8$ | $5$ | $2$ |
Calculer la note moyenne de la classe à ce devoir.
Corrigé détaillé :
Calcul de la moyenne pondérée :
$$\bar{x} = \dfrac{(8 \times 3) + (10 \times 7) + (12 \times 8) + (14 \times 5) + (16 \times 2)}{25}$$
$$\bar{x} = \dfrac{24 + 70 + 96 + 70 + 32}{25} = \dfrac{292}{25} = 11{,}68$$
La moyenne de la classe est de $11{,}68$.
$$\bar{x} = \dfrac{(8 \times 3) + (10 \times 7) + (12 \times 8) + (14 \times 5) + (16 \times 2)}{25}$$
$$\bar{x} = \dfrac{24 + 70 + 96 + 70 + 32}{25} = \dfrac{292}{25} = 11{,}68$$
La moyenne de la classe est de $11{,}68$.
Exercice 5 : Exercice 5 : Détermination des quartiles Q1 et Q3
Voici une série statistique ordonnée de $12$ valeurs représentant le nombre d'heures de sommeil :
$$5 \quad ; \quad 6 \quad ; \quad 6{,}5 \quad ; \quad 7 \quad ; \quad 7 \quad ; \quad 7{,}5 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 8{,}5 \quad ; \quad 9 \quad ; \quad 9{,}5 \quad ; \quad 10$$
1) Déterminer le premier quartile $Q_1$.
2) Déterminer le troisième quartile $Q_3$.
3) Calculer l'écart interquartile $Q_3 - Q_1$.
$$5 \quad ; \quad 6 \quad ; \quad 6{,}5 \quad ; \quad 7 \quad ; \quad 7 \quad ; \quad 7{,}5 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 8 \quad ; \quad 8{,}5 \quad ; \quad 9 \quad ; \quad 9{,}5 \quad ; \quad 10$$
1) Déterminer le premier quartile $Q_1$.
2) Déterminer le troisième quartile $Q_3$.
3) Calculer l'écart interquartile $Q_3 - Q_1$.
Corrigé détaillé :
Effectif total $N = 12$.
1) Pour $Q_1$ : $\dfrac{N}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$. Le premier quartile est la $3^{\text{ème}}$ valeur : $Q_1 = 6{,}5\text{ h}$.
2) Pour $Q_3$ : $\dfrac{3N}{4} = \dfrac{36}{4} = 9$. Le troisième quartile est la $9^{\text{ème}}$ valeur : $Q_3 = 8{,}5\text{ h}$.
3) Écart interquartile :
$$Q_3 - Q_1 = 8{,}5 - 6{,}5 = 2\text{ h}$$
L'écart interquartile est de $2\text{ heures}$.
1) Pour $Q_1$ : $\dfrac{N}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$. Le premier quartile est la $3^{\text{ème}}$ valeur : $Q_1 = 6{,}5\text{ h}$.
2) Pour $Q_3$ : $\dfrac{3N}{4} = \dfrac{36}{4} = 9$. Le troisième quartile est la $9^{\text{ème}}$ valeur : $Q_3 = 8{,}5\text{ h}$.
3) Écart interquartile :
$$Q_3 - Q_1 = 8{,}5 - 6{,}5 = 2\text{ h}$$
L'écart interquartile est de $2\text{ heures}$.
Exercice 6 : Exercice 6 : Effectifs cumulés croissants
On étudie le nombre d'enfants par famille dans un quartier :
1) Calculer l'effectif total.
2) Dresser la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC).
3) Déterminer la médiane à l'aide des ECC.
| Nb d'enfants | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ ou plus |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | $14$ | $22$ | $30$ | $18$ | $6$ |
1) Calculer l'effectif total.
2) Dresser la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC).
3) Déterminer la médiane à l'aide des ECC.
Corrigé détaillé :
1) Effectif total : $14 + 22 + 30 + 18 + 6 = 90$. L'effectif total est de $90\text{ familles}$.
2) Effectifs cumulés croissants (ECC) :
- $0$ enfant : $14$
- $1$ enfant : $14 + 22 = 36$
- $2$ enfants : $36 + 30 = 66$
- $3$ enfants : $66 + 18 = 84$
- $4$ ou plus : $84 + 6 = 90$
3) Comme $N = 90$, la moitié est $45$. La $45^{\text{ème}}$ valeur se trouve dans la classe où l'ECC dépasse $45$ pour la première fois, c'est-à-dire pour $2$ enfants (l'ECC passe de $36$ à $66$).
La médiane est donc de $2\text{ enfants}$.
2) Effectifs cumulés croissants (ECC) :
- $0$ enfant : $14$
- $1$ enfant : $14 + 22 = 36$
- $2$ enfants : $36 + 30 = 66$
- $3$ enfants : $66 + 18 = 84$
- $4$ ou plus : $84 + 6 = 90$
3) Comme $N = 90$, la moitié est $45$. La $45^{\text{ème}}$ valeur se trouve dans la classe où l'ECC dépasse $45$ pour la première fois, c'est-à-dire pour $2$ enfants (l'ECC passe de $36$ à $66$).
La médiane est donc de $2\text{ enfants}$.
Exercice 7 : Exercice 7 : Retrouver une note manquante
Léa a obtenu $11$, $13$ et $14$ à ses trois premiers devoirs de mathématiques. Tous les devoirs ont le même coefficient.
Quelle note minimale doit-elle obtenir au quatrième devoir pour que sa moyenne générale soit d'au moins $14$ ?
Quelle note minimale doit-elle obtenir au quatrième devoir pour que sa moyenne générale soit d'au moins $14$ ?
Corrigé détaillé :
Soit $x$ la note au quatrième devoir.
La moyenne des quatre devoirs est :
$$\bar{x} = \dfrac{11 + 13 + 14 + x}{4} = \dfrac{38 + x}{4}$$
On veut $\bar{x} \ge 14$ :
$$\dfrac{38 + x}{4} \ge 14 \iff 38 + x \ge 56 \iff x \ge 56 - 38 \iff x \ge 18$$
Léa doit obtenir au moins $18$ au quatrième devoir.
La moyenne des quatre devoirs est :
$$\bar{x} = \dfrac{11 + 13 + 14 + x}{4} = \dfrac{38 + x}{4}$$
On veut $\bar{x} \ge 14$ :
$$\dfrac{38 + x}{4} \ge 14 \iff 38 + x \ge 56 \iff x \ge 56 - 38 \iff x \ge 18$$
Léa doit obtenir au moins $18$ au quatrième devoir.
Exercice 8 : Exercice 8 : Comparaison de deux séries statistiques
Deux classes de 3ème ont composé sur le même devoir commun :
• Classe A ($24$ élèves) : moyenne $12{,}5$ ; étendue $6$ ; médiane $12$.
• Classe B ($26$ élèves) : moyenne $12{,}5$ ; étendue $14$ ; médiane $12$.
1) Les deux classes ont-elles le même niveau moyen ?
2) Que peut-on dire de l'homogénéité des notes entre ces deux classes ?
3) Calculer la moyenne globale des deux classes réunies.
• Classe A ($24$ élèves) : moyenne $12{,}5$ ; étendue $6$ ; médiane $12$.
• Classe B ($26$ élèves) : moyenne $12{,}5$ ; étendue $14$ ; médiane $12$.
1) Les deux classes ont-elles le même niveau moyen ?
2) Que peut-on dire de l'homogénéité des notes entre ces deux classes ?
3) Calculer la moyenne globale des deux classes réunies.
Corrigé détaillé :
1) Oui, les deux classes ont la même moyenne ($12{,}5$) et la même médiane ($12$).
2) L'étendue de la classe A est de $6$, tandis que celle de la classe B est de $14$. La classe A a des résultats beaucoup plus serrés : la classe A est plus homogène que la classe B.
3) Comme les deux classes ont la même moyenne ($12{,}5$), la moyenne globale de l'ensemble des $24 + 26 = 50$ élèves est également de :
$$\bar{x}_{\text{globale}} = \dfrac{24 \times 12{,}5 + 26 \times 12{,}5}{50} = \dfrac{(24+26) \times 12{,}5}{50} = 12{,}5$$
La moyenne globale est de $12{,}5$.
2) L'étendue de la classe A est de $6$, tandis que celle de la classe B est de $14$. La classe A a des résultats beaucoup plus serrés : la classe A est plus homogène que la classe B.
3) Comme les deux classes ont la même moyenne ($12{,}5$), la moyenne globale de l'ensemble des $24 + 26 = 50$ élèves est également de :
$$\bar{x}_{\text{globale}} = \dfrac{24 \times 12{,}5 + 26 \times 12{,}5}{50} = \dfrac{(24+26) \times 12{,}5}{50} = 12{,}5$$
La moyenne globale est de $12{,}5$.