Exercices corrigés : Exercices corrigés : Fonctions affines - 3ème
Exercice 1 : Exercice 1 : Image et antécédent par une fonction affine
Soit la fonction affine $f$ définie par $f(x) = -3x + 8$.
1) Identifier le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$.
2) Calculer l'image de $4$ par $f$.
3) Déterminer l'antécédent de $-7$ par $f$.
1) Identifier le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$.
2) Calculer l'image de $4$ par $f$.
3) Déterminer l'antécédent de $-7$ par $f$.
Corrigé détaillé :
1) Pour $f(x) = ax + b$, on identifie $a = -3$ et $b = 8$.
2) Image de $4$ :
$$f(4) = -3(4) + 8 = -12 + 8 = -4$$
L'image de $4$ est $-4$.
3) Antécédent de $-7$ :
$$-3x + 8 = -7 \implies -3x = -15 \implies x = 5$$
L'antécédent de $-7$ est $5$.
2) Image de $4$ :
$$f(4) = -3(4) + 8 = -12 + 8 = -4$$
L'image de $4$ est $-4$.
3) Antécédent de $-7$ :
$$-3x + 8 = -7 \implies -3x = -15 \implies x = 5$$
L'antécédent de $-7$ est $5$.
Exercice 2 : Exercice 2 : Déterminer une fonction affine par deux valeurs
Soit $g$ une fonction affine de la forme $g(x) = ax + b$ telle que $g(2) = 11$ et $g(5) = 20$.
1) Calculer le coefficient directeur $a$.
2) Calculer l'ordonnée à l'origine $b$.
3) En déduire l'expression de $g(x)$.
1) Calculer le coefficient directeur $a$.
2) Calculer l'ordonnée à l'origine $b$.
3) En déduire l'expression de $g(x)$.
Corrigé détaillé :
1) Formule du taux d'accroissement :
$$a = \dfrac{g(5) - g(2)}{5 - 2} = \dfrac{20 - 11}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$$
Le coefficient directeur est $a = 3$.
2) Calcul de $b$ à l'aide de $g(2) = 11$ :
$$3 \times 2 + b = 11 \implies 6 + b = 11 \implies b = 5$$
L'ordonnée à l'origine est $b = 5$.
3) L'expression de la fonction est $g(x) = 3x + 5$.
$$a = \dfrac{g(5) - g(2)}{5 - 2} = \dfrac{20 - 11}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$$
Le coefficient directeur est $a = 3$.
2) Calcul de $b$ à l'aide de $g(2) = 11$ :
$$3 \times 2 + b = 11 \implies 6 + b = 11 \implies b = 5$$
L'ordonnée à l'origine est $b = 5$.
3) L'expression de la fonction est $g(x) = 3x + 5$.
Exercice 3 : Exercice 3 : Déterminer la fonction à partir de deux points
La droite $(d)$ passe par les points $A(-1 ; 7)$ et $B(3 ; -1)$.
1) Calculer son coefficient directeur $a$.
2) Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ représentée par $(d)$.
3) Calculer les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ avec l'axe des abscisses.
1) Calculer son coefficient directeur $a$.
2) Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ représentée par $(d)$.
3) Calculer les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ avec l'axe des abscisses.
Corrigé détaillé :
1) Coefficient directeur :
$$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-1 - 7}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$$
Le coefficient directeur est $a = -2$.
2) Calcul de $b$ : $f(-1) = 7 \implies -2(-1) + b = 7 \implies 2 + b = 7 \implies b = 5$.
L'expression est $f(x) = -2x + 5$.
3) Intersection avec l'axe des abscisses ($y = 0$) :
$$-2x + 5 = 0 \implies -2x = -5 \implies x = 2{,}5$$
Le point d'intersection est $(2{,}5 ; 0)$.
$$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-1 - 7}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$$
Le coefficient directeur est $a = -2$.
2) Calcul de $b$ : $f(-1) = 7 \implies -2(-1) + b = 7 \implies 2 + b = 7 \implies b = 5$.
L'expression est $f(x) = -2x + 5$.
3) Intersection avec l'axe des abscisses ($y = 0$) :
$$-2x + 5 = 0 \implies -2x = -5 \implies x = 2{,}5$$
Le point d'intersection est $(2{,}5 ; 0)$.
Exercice 4 : Exercice 4 : Tracé d'une droite affine
Soit la fonction affine $h(x) = \dfrac{2}{3}x - 2$.
1) Donner les coordonnées du point d'intersection de sa droite représentative avec l'axe des ordonnées.
2) Trouver un autre point à coordonnées entières pour faciliter le tracé.
3) Le point $K(9 ; 4)$ appartient-il à cette droite ?
1) Donner les coordonnées du point d'intersection de sa droite représentative avec l'axe des ordonnées.
2) Trouver un autre point à coordonnées entières pour faciliter le tracé.
3) Le point $K(9 ; 4)$ appartient-il à cette droite ?
Corrigé détaillé :
1) L'ordonnée à l'origine est $-2$. Le point d'intersection est $P(0 ; -2)$.
2) Choisissons un multiple de $3$ pour $x$, par exemple $x = 3$ :
$$h(3) = \dfrac{2}{3} \times 3 - 2 = 2 - 2 = 0$$
Un second point à coordonnées entières est $Q(3 ; 0)$ (ou $R(6 ; 2)$).
3) Pour $x = 9$ : $h(9) = \dfrac{2}{3} \times 9 - 2 = 6 - 2 = 4 = y_K$.
Le point $K(9 ; 4)$ appartient bien à la droite.
2) Choisissons un multiple de $3$ pour $x$, par exemple $x = 3$ :
$$h(3) = \dfrac{2}{3} \times 3 - 2 = 2 - 2 = 0$$
Un second point à coordonnées entières est $Q(3 ; 0)$ (ou $R(6 ; 2)$).
3) Pour $x = 9$ : $h(9) = \dfrac{2}{3} \times 9 - 2 = 6 - 2 = 4 = y_K$.
Le point $K(9 ; 4)$ appartient bien à la droite.
Exercice 5 : Exercice 5 : Comparaison de deux tarifs (problème)
Un club de fitness propose deux formules d'abonnement pour l'année :
• Tarif A : $15\text{ €}$ par séance sans abonnement.
• Tarif B : abonnement fixe de $120\text{ €}$ puis $5\text{ €}$ par séance.
1) Pour un nombre $x$ de séances, exprimer le prix $P_A(x)$ et le prix $P_B(x)$.
2) Calculer le coût pour $10$ séances avec chaque formule.
3) À partir de combien de séances le tarif B devient-il plus avantageux ?
• Tarif A : $15\text{ €}$ par séance sans abonnement.
• Tarif B : abonnement fixe de $120\text{ €}$ puis $5\text{ €}$ par séance.
1) Pour un nombre $x$ de séances, exprimer le prix $P_A(x)$ et le prix $P_B(x)$.
2) Calculer le coût pour $10$ séances avec chaque formule.
3) À partir de combien de séances le tarif B devient-il plus avantageux ?
Corrigé détaillé :
1) Expressions :
- Tarif A (linéaire) : $P_A(x) = 15x$
- Tarif B (affine) : $P_B(x) = 5x + 120$
2) Pour $x = 10$ :
$P_A(10) = 15 \times 10 = 150\text{ €}$
$P_B(10) = 5 \times 10 + 120 = 170\text{ €}$
Pour $10$ séances : $P_A(10) = 150\text{ €}$ et $P_B(10) = 170\text{ €}$.
3) Le tarif B est plus avantageux si $P_B(x) < P_A(x)$ :
$$5x + 120 < 15x \iff 120 < 10x \iff x > 12$$
Le tarif B devient plus avantageux à partir de $13\text{ séances}$ (à 12 séances les deux tarifs sont identiques : $180\text{ €}$).
- Tarif A (linéaire) : $P_A(x) = 15x$
- Tarif B (affine) : $P_B(x) = 5x + 120$
2) Pour $x = 10$ :
$P_A(10) = 15 \times 10 = 150\text{ €}$
$P_B(10) = 5 \times 10 + 120 = 170\text{ €}$
Pour $10$ séances : $P_A(10) = 150\text{ €}$ et $P_B(10) = 170\text{ €}$.
3) Le tarif B est plus avantageux si $P_B(x) < P_A(x)$ :
$$5x + 120 < 15x \iff 120 < 10x \iff x > 12$$
Le tarif B devient plus avantageux à partir de $13\text{ séances}$ (à 12 séances les deux tarifs sont identiques : $180\text{ €}$).
Exercice 6 : Exercice 6 : Point d'intersection de deux droites
On considère les deux fonctions affines $f(x) = 2x - 3$ et $g(x) = -x + 6$.
1) Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$.
2) En déduire les coordonnées du point d'intersection $I$ des deux droites représentant $f$ et $g$.
1) Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$.
2) En déduire les coordonnées du point d'intersection $I$ des deux droites représentant $f$ et $g$.
Corrigé détaillé :
1) On résout :
$$2x - 3 = -x + 6 \iff 3x = 9 \iff x = 3$$
La solution est $x = 3$.
2) Calcul de l'ordonnée correspondante :
$$f(3) = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3 \quad (\text{vérification : } g(3) = -3 + 6 = 3)$$
Le point d'intersection a pour coordonnées $I(3 ; 3)$.
$$2x - 3 = -x + 6 \iff 3x = 9 \iff x = 3$$
La solution est $x = 3$.
2) Calcul de l'ordonnée correspondante :
$$f(3) = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3 \quad (\text{vérification : } g(3) = -3 + 6 = 3)$$
Le point d'intersection a pour coordonnées $I(3 ; 3)$.
Exercice 7 : Exercice 7 : Sens de variation d'une fonction affine
Préciser le sens de variation (croissante, décroissante ou constante) de chacune des fonctions suivantes en justifiant à l'aide de son coefficient directeur :
a) $f(x) = 7x - 12$
b) $g(x) = -5x + 1$
c) $h(x) = 4$
d) $k(x) = \dfrac{3 - 2x}{5}$
a) $f(x) = 7x - 12$
b) $g(x) = -5x + 1$
c) $h(x) = 4$
d) $k(x) = \dfrac{3 - 2x}{5}$
Corrigé détaillé :
Le signe du coefficient directeur $a$ détermine le sens de variation :
a) $a = 7 > 0$ : la fonction $f$ est strictement croissante.
b) $a = -5 < 0$ : la fonction $g$ est strictement décroissante.
c) $a = 0$ : la fonction $h$ est constante.
d) $k(x) = -\dfrac{2}{5}x + \dfrac{3}{5}$. Comme $a = -\dfrac{2}{5} < 0$, la fonction $k$ est strictement décroissante.
a) $a = 7 > 0$ : la fonction $f$ est strictement croissante.
b) $a = -5 < 0$ : la fonction $g$ est strictement décroissante.
c) $a = 0$ : la fonction $h$ est constante.
d) $k(x) = -\dfrac{2}{5}x + \dfrac{3}{5}$. Comme $a = -\dfrac{2}{5} < 0$, la fonction $k$ est strictement décroissante.
Exercice 8 : Exercice 8 : Droites parallèles
On considère la fonction affine $f(x) = 4x - 5$, représentée par la droite $(d)$.
1) Déterminer l'expression de la fonction affine $g$ dont la droite $(d')$ est parallèle à $(d)$ et passe par le point $A(2 ; 3)$.
2) Quelle est l'ordonnée à l'origine de $g$ ?
1) Déterminer l'expression de la fonction affine $g$ dont la droite $(d')$ est parallèle à $(d)$ et passe par le point $A(2 ; 3)$.
2) Quelle est l'ordonnée à l'origine de $g$ ?
Corrigé détaillé :
1) Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Donc le coefficient directeur de $g$ est $a = 4$, ce qui donne $g(x) = 4x + b$.
Comme $(d')$ passe par $A(2 ; 3)$ :
$$g(2) = 3 \implies 4(2) + b = 3 \implies 8 + b = 3 \implies b = -5$$
Attendez : si $b = -5$, c'est la même droite !
Vérifions : $f(2) = 4(2) - 5 = 3$, donc $A(2 ; 3)$ appartient déjà à $(d)$.
L'expression est bien $g(x) = 4x - 5$ (droites confondues, qui est un cas particulier de droites parallèles), avec ordonnée à l'origine $b = -5$.
Donc le coefficient directeur de $g$ est $a = 4$, ce qui donne $g(x) = 4x + b$.
Comme $(d')$ passe par $A(2 ; 3)$ :
$$g(2) = 3 \implies 4(2) + b = 3 \implies 8 + b = 3 \implies b = -5$$
Attendez : si $b = -5$, c'est la même droite !
Vérifions : $f(2) = 4(2) - 5 = 3$, donc $A(2 ; 3)$ appartient déjà à $(d)$.
L'expression est bien $g(x) = 4x - 5$ (droites confondues, qui est un cas particulier de droites parallèles), avec ordonnée à l'origine $b = -5$.