Exercices corrigés : Sections planes de solides
Exercice 1 : Section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face
Un pavé droit $ABCDEFGH$ a pour dimensions : longueur $AB = 8\text{ cm}$, largeur $BC = 5\text{ cm}$ et hauteur $AE = 6\text{ cm}$.
On coupe ce pavé par un plan parallèle à la face de base $(ABCD)$ à une hauteur de $2\text{ cm}$ de la base.
1. Quelle est la nature géométrique de la section ?
2. Quelles sont ses dimensions et son aire ?
Corrigé détaillé :
1. Nature de la section :
La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
2. Dimensions et aire :
Dimensions : longueur $8\text{ cm}$ et largeur $5\text{ cm}$.
Aire : $$\mathcal{A} = 8 \times 5 = 40\text{ cm}^2$$
Exercice 2 : Section d'un cube par un plan parallèle à une arête
Un cube a une arête de longueur $a = 6\text{ cm}$. On coupe ce cube par un plan passant par deux arêtes opposées non situées dans une même face (plan diagonal).
1. Quelle est la nature de la section obtenue ?
2. Calculer la longueur exacte de la diagonale d'une face carrée.
3. En déduire l'aire exacte de la section, puis sa valeur arrondie au dixième de $\text{cm}^2$.
Corrigé détaillé :
1. Nature : La section est un rectangle.
2. Diagonale de face :
D'après le théorème de Pythagore dans une face carrée de côté $6\text{ cm}$ :
$$d^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \implies d = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$$
3. Aire de la section :
Les dimensions du rectangle de section sont l'arête $a = 6\text{ cm}$ et la diagonale $d = 6\sqrt{2}\text{ cm}$ :
$$\mathcal{A} = 6 \times 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\text{ cm}^2 \approx 50{,}9\text{ cm}^2$$
Exercice 3 : Section d'un cylindre de révolution par un plan
Un cylindre de révolution a un rayon de base $R = 4\text{ cm}$ et une hauteur $H = 10\text{ cm}$.
1. On coupe le cylindre par un plan perpendiculaire à son axe. Quelle est la nature de la section et quelle est son aire ?
2. On coupe le cylindre par un plan passant par son axe de révolution. Quelle est la nature de la section et quelle est son aire ?
Corrigé détaillé :
1. Plan perpendiculaire à l'axe :
La section est un disque de même rayon $R = 4\text{ cm}$ que les bases.
Aire : $$\mathcal{A}_1 = \pi R^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi\text{ cm}^2 \approx 50{,}3\text{ cm}^2$$
2. Plan passant par l'axe :
La section est un rectangle dont les dimensions sont le diamètre de la base ($2R = 8\text{ cm}$) et la hauteur ($H = 10\text{ cm}$).
Aire : $$\mathcal{A}_2 = 8 \times 10 = 80\text{ cm}^2$$
Exercice 4 : Section d'un cône de révolution parallèle à la base
Un cône de révolution a une hauteur $SO = 15\text{ cm}$ et un rayon de base $OA = 6\text{ cm}$. On coupe ce cône par un plan parallèle à la base passant par un point $O'$ de la hauteur tel que $SO' = 5\text{ cm}$.
1. Quelle est la nature de la section obtenue ?
2. Quel est le coefficient de réduction $k$ ?
3. Calculer le rayon $O'A'$ du disque de section.
4. Quel est le volume du petit cône réduit ?
Corrigé détaillé :
1. Nature : C'est un disque réduction de la base.
2. Coefficient de réduction $k$ :
$$k = \dfrac{SO'}{SO} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$$
3. Rayon du disque de section :
$$r' = k \times OA = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2\text{ cm}$$
4. Volume du petit cône :
$$V' = \dfrac{1}{3} \times \pi \times (r')^2 \times SO' = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 2^2 \times 5 = \dfrac{20}{3}\pi\text{ cm}^3 \approx 20{,}9\text{ cm}^3$$
(Remarque : $V' = k^3 \times V = \dfrac{1}{27} \times \left(\dfrac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 15\right) = \dfrac{1}{27} \times 180\pi = \dfrac{20}{3}\pi$).
Exercice 5 : Section d'une pyramide à base carrée
Une pyramide $SABCD$ à base carrée $ABCD$ a une hauteur $SH = 12\text{ cm}$ et un côté de base $AB = 8\text{ cm}$.
On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base à une distance de $9\text{ cm}$ du sommet $S$.
1. Quelle est la nature géométrique de la section $A'B'C'D'$ ?
2. Quel est le rapport de réduction $k$ ?
3. Calculer la longueur du côté $A'B'$ et l'aire de la section.
Corrigé détaillé :
1. Nature : La section est un carré, réduction du carré de base.
2. Rapport $k$ :
$$k = \dfrac{SH'}{SH} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$$
3. Dimensions et aire :
Côté réduit : $$A'B' = k \times AB = \dfrac{3}{4} \times 8 = 6\text{ cm}$$
Aire de la section : $$\mathcal{A} = (A'B')^2 = 6^2 = 36\text{ cm}^2$$
(Vérification avec $k^2$ : $\mathcal{A}_{\text{base}} = 8^2 = 64\text{ cm}^2$, et $k^2 \times 64 = \dfrac{9}{16} \times 64 = 9 \times 4 = 36\text{ cm}^2$).
Exercice 6 : Section d'une sphère par un plan : calcul du rayon du cercle
Une sphère de centre $O$ et de rayon $R = 10\text{ cm}$ est coupée par un plan $(P)$. La distance entre le centre $O$ et le plan $(P)$ est $d = OH = 6\text{ cm}$ (où $H$ est le projeté orthogonal de $O$ sur le plan).
1. Quelle est la nature de la section de la sphère par le plan $(P)$ ?
2. Soit $M$ un point quelconque situé sur le cercle de section. Justifier que le triangle $OHM$ est rectangle en $H$.
3. Calculer le rayon $r = HM$ de ce cercle de section.
Corrigé détaillé :
1. Nature de la section :
Comme $d < R$ ($6 < 10$), la section est un cercle de centre $H$.
2. Triangle rectangle :
$(OH)$ est perpendiculaire au plan $(P)$, donc elle est perpendiculaire à toute droite de ce plan passant par $H$, en particulier à $(HM)$. Le triangle $OHM$ est donc rectangle en $H$.
3. Rayon du cercle :
Le point $M$ est sur la sphère, donc $OM = R = 10\text{ cm}$. D'après le théorème de Pythagore dans $OHM$ :
$$OH^2 + HM^2 = OM^2 \iff 6^2 + r^2 = 10^2$$
$$36 + r^2 = 100 \iff r^2 = 100 - 36 = 64$$
$$r = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$$
Le cercle de section a pour rayon $8\text{ cm}$.
Exercice 7 : Aire et périmètre de la section d'une sphère
Une boule de pétanque a un rayon $R = 36\text{ mm}$. Un plan coupe la boule à une distance $d = 20\text{ mm}$ de son centre.
1. Calculer la valeur exacte du rayon $r$ du disque de section.
2. Calculer le périmètre exact du cercle de section.
3. Calculer l'aire exacte du disque de section.
Corrigé détaillé :
1. Rayon de la section :
D'après Pythagore :
$$r^2 = R^2 - d^2 = 36^2 - 20^2 = 1\,296 - 400 = 896$$
$$r = \sqrt{896} = \sqrt{64 \times 14} = 8\sqrt{14}\text{ mm} \approx 29{,}9\text{ mm}$$
2. Périmètre :
$$\mathcal{P} = 2\pi r = 2\pi \times 8\sqrt{14} = 16\pi\sqrt{14}\text{ mm} \approx 188\text{ mm}$$
3. Aire du disque de section :
$$\mathcal{A} = \pi r^2 = \pi \times 896 = 896\pi\text{ mm}^2 \approx 2\,815\text{ mm}^2$$
Exercice 8 : Sections terrestres : latitude et longueur d'un parallèle
On assimile la Terre à une sphère de centre $O$ et de rayon $R = 6\,370\text{ km}$. Le cercle de l'équateur est un grand cercle.
La ville de Paris est située à une latitude de $48^\circ\text{ Nord}$.
1. Justifier que le parallèle de Paris est un cercle obtenu par la section de la Terre par un plan perpendiculaire à l'axe Nord-Sud.
2. Calculer le rayon $r$ de ce parallèle (arrondi au km près).
3. En déduire la longueur totale de ce parallèle (arrondie au millier de kilomètres).
Corrigé détaillé :
1. Nature : Par définition, tout parallèle est l'intersection de la surface terrestre avec un plan orthogonal à l'axe reliant les deux pôles : c'est un cercle.
2. Rayon du parallèle :
Dans le triangle rectangle formé par le centre du parallèle $H$, le centre de la Terre $O$ et un point $P$ sur le parallèle, l'angle $\widehat{HOP}$ est égal à la latitude $\lambda = 48^\circ$ :
$$\cos(48^\circ) = \dfrac{r}{R} \implies r = R \times \cos(48^\circ)$$
$$r = 6\,370 \times \cos(48^\circ) \approx 6\,370 \times 0{,}6691 = 4\,262\text{ km}$$
3. Longueur totale du parallèle :
$$L = 2\pi r \approx 2 \times \pi \times 4\,262 \approx 26\,780\text{ km} \approx 27\,000\text{ km}$$
(À comparer aux $40\,000\text{ km}$ de l'équateur).