Exercices corrigés : Réciproque de la propriété de Thalès
Exercice 1 : Démontrer que deux droites sont parallèles (triangles emboîtés)
Soit un triangle $ABC$. Le point $M$ est sur $[AB]$ et le point $N$ est sur $[AC]$.
On donne : $AM = 2{,}4\text{ cm}$, $AB = 6\text{ cm}$, $AN = 3{,}6\text{ cm}$ et $AC = 9\text{ cm}$.
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Rédiger la démonstration.
Corrigé détaillé :
On calcule séparément les deux rapports :
$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4 = \dfrac{2}{5}$$
$$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3{,}6}{9} = 0{,}4 = \dfrac{2}{5}$$
On constate que $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$.
De plus, les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Exercice 2 : Contraposée : prouver que deux droites ne sont pas parallèles
Dans un triangle $ABC$, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$. On donne : $AM = 5\text{ cm}$, $AB = 12\text{ cm}$, $AN = 7\text{ cm}$ et $AC = 17\text{ cm}$.
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
Corrigé détaillé :
On calcule séparément les deux rapports :
$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{5}{12}$$
$$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{7}{17}$$
Pour les comparer exactement, on utilise les produits en croix :
$$5 \times 17 = 85 \quad \text{et} \quad 12 \times 7 = 84$$
Comme $85 \neq 84$, on a $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$.
D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
Exercice 3 : Configuration papillon : test de parallélisme
Les segments $[AB]$ et $[CD]$ se coupent en leur milieu commun $O$, avec $OA = OB = 4\text{ cm}$ et $OC = OD = 6\text{ cm}$.
Démontrer que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
Corrigé détaillé :
On calcule les rapports issus du point commun $O$ :
$$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{4}{4} = 1 \quad \text{et} \quad \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{6}{6} = 1$$
Les rapports sont égaux ($\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} = 1$).
De plus, les points $A, O, B$ et $C, O, D$ sont alignés dans le même ordre.
D'après la réciproque de Thalès, $(AC) \parallel (BD)$ (le quadrilatère $ACBD$ est d'ailleurs un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu).
Exercice 4 : Importance cruciale de l'ordre des points
Sur une droite $(d_1)$, on place les points $A, M, B$ dans cet ordre avec $AM = 3$ et $AB = 6$.
Sur une droite $(d_2)$ sécante à $(d_1)$ en $A$, on place $A, C, N$ dans cet ordre avec $AC = 4$ et $AN = 8$.
1. Calculer les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AC}{AN}$. Que remarque-t-on ?
2. Peut-on en déduire que $(MN) \parallel (BC)$ ? Expliquer pourquoi.
Corrigé détaillé :
1. Comparaison des rapports :
$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5 \quad \text{et} \quad \dfrac{AC}{AN} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$$
Les deux rapports sont égaux.
2. Conclusion :
ATTENTION ! Les points ne sont pas dans le même ordre sur les deux droites :
Sur la première droite, $M$ est entre $A$ et $B$ (ordre $A, M, B$).
Sur la seconde droite, $C$ est entre $A$ et $N$ (l'ordre est $A, C, N$ et non $A, N, C$).
La condition d'alignement dans le même ordre n'étant pas vérifiée, on ne peut pas appliquer la réciproque de Thalès : les droites $(MN)$ et $(BC)$ se croisent et ne sont pas parallèles.
Exercice 5 : Application concrète : étagère horizontale
Un bricoleur monte une étagère en forme d'échelle contre un mur. Deux montants obliques se rejoignent au sommet $S$.
La traverse supérieure $[AB]$ a ses extrémités situées à $SA = 45\text{ cm}$ et $SB = 60\text{ cm}$.
La traverse inférieure $[CD]$ a ses extrémités situées à $SC = 75\text{ cm}$ et $SD = 100\text{ cm}$. Les points $S, A, C$ et $S, B, D$ sont dans le même ordre.
Les deux étagères $[AB]$ et $[CD]$ sont-elles bien parallèles ?
Corrigé détaillé :
On calcule et simplifie les deux quotients :
$$\dfrac{SA}{SC} = \dfrac{45}{75} = \dfrac{15 \times 3}{15 \times 5} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$$
$$\dfrac{SB}{SD} = \dfrac{60}{100} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$$
Comme $\dfrac{SA}{SC} = \dfrac{SB}{SD}$ et que les points $S, A, C$ et $S, B, D$ sont alignés dans le même ordre, d'après la réciproque de Thalès, les étagères $(AB)$ et $(CD)$ sont strictement parallèles.
Exercice 6 : Vérification des traverses d'un portail
Sur un portail métallique, deux barres obliques se croisent en $O$.
On mesure $OA = 32\text{ cm}$, $OB = 48\text{ cm}$, $OC = 40\text{ cm}$ et $OD = 58\text{ cm}$. Les points $A, O, B$ et $C, O, D$ sont alignés dans cet ordre.
Les traverses $(AC)$ et $(BD)$ sont-elles parallèles ?
Corrigé détaillé :
On compare les deux rapports issus du point de croisement $O$ :
$$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{32}{48} = \dfrac{16 \times 2}{16 \times 3} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667$$
$$\dfrac{OC}{OD} = \dfrac{40}{58} = \dfrac{20}{29} \approx 0{,}6897$$
Produits en croix : $32 \times 58 = 1\,856$ et $48 \times 40 = 1\,920$.
Comme $1\,856 \neq 1\,920$, les rapports sont différents : $\dfrac{OA}{OB} \neq \dfrac{OC}{OD}$.
D'après la contraposée de Thalès, les traverses $(AC)$ et $(BD)$ ne sont pas parallèles.
Exercice 7 : Nature d'un quadrilatère (trapèze)
Soit un quadrilatère $ABCD$ dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $O$.
On donne : $OA = 18\text{ mm}$, $OC = 27\text{ mm}$, $OB = 14\text{ mm}$ et $OD = 21\text{ mm}$.
Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.
Corrigé détaillé :
Un quadrilatère est un trapèze s'il possède deux côtés opposés parallèles. Testons le parallélisme de $(AB)$ et $(CD)$ :
$$\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{18}{27} = \dfrac{9 \times 2}{9 \times 3} = \dfrac{2}{3}$$
$$\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{14}{21} = \dfrac{7 \times 2}{7 \times 3} = \dfrac{2}{3}$$
Les rapports sont égaux à $\dfrac{2}{3}$, et les points $A, O, C$ d'une part et $B, O, D$ d'autre part sont alignés dans cet ordre (configuration papillon).
D'après la réciproque du théorème de Thalès :
$(AB) \parallel (CD)$.
Ayant deux côtés opposés parallèles, $ABCD$ est un trapèze.
Exercice 8 : Problème complet : Réciproque de Pythagore et Réciproque de Thalès
Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 9\text{ cm}$, $AC = 12\text{ cm}$ et $BC = 15\text{ cm}$.
On place $M \in [AB]$ tel que $AM = 3\text{ cm}$, et $N \in [AC]$ tel que $AN = 4\text{ cm}$.
1. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
2. Démontrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
3. En déduire la nature du triangle $AMN$.
Corrigé détaillé :
1. Réciproque de Pythagore :
$BC^2 = 15^2 = 225$
$AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
Comme $BC^2 = AB^2 + AC^2$, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
2. Réciproque de Thalès :
$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \quad ; \quad \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$$
Les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre, donc $(MN) \parallel (BC)$.
3. Nature de $AMN$ :
Comme les points $A, M, B$ sont alignés et $A, N, C$ sont alignés, l'angle $\widehat{MAN}$ est le même que l'angle $\widehat{BAC} = 90^\circ$. Le triangle $AMN$ est donc également rectangle en $A$ (c'est une réduction de rapport $1/3$ de $ABC$).