Exercices corrigés : Théorème de Pythagore et réciproque
Exercice 1 : Calcul de la longueur de l'hypoténuse
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 4{,}5\text{ cm}$ et $AC = 6\text{ cm}$.
Calculer la longueur exacte de l'hypoténuse $[BC]$.
Corrigé détaillé :
Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
$$BC^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25$$
La longueur étant positive :
$$BC = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5\text{ cm}$$
Exercice 2 : Calcul d'un côté de l'angle droit
Soit un triangle $EFG$ rectangle en $E$ tel que l'hypoténuse $FG = 13\text{ cm}$ et $EF = 5\text{ cm}$.
Calculer la longueur du côté $[EG]$.
Corrigé détaillé :
Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$, d'après Pythagore :
$$FG^2 = EF^2 + EG^2 \iff EG^2 = FG^2 - EF^2$$
$$EG^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$
Comme $EG > 0$ :
$$EG = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$$
Exercice 3 : Réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle
Soit un triangle $RST$ tel que $RS = 39\text{ mm}$, $ST = 52\text{ mm}$ et $RT = 65\text{ mm}$.
Le triangle $RST$ est-il rectangle ? Rédiger la démonstration avec soin.
Corrigé détaillé :
Dans le triangle $RST$, le plus grand côté est $[RT]$. On calcule séparément :
$$RT^2 = 65^2 = 4\,225$$
$$RS^2 + ST^2 = 39^2 + 52^2 = 1\,521 + 2\,704 = 4\,225$$
On constate que : $$RT^2 = RS^2 + ST^2$$
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $S$.
Exercice 4 : Contraposée : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
Soit un triangle $MNP$ tel que $MN = 6\text{ cm}$, $NP = 8\text{ cm}$ et $MP = 11\text{ cm}$.
Le triangle $MNP$ est-il rectangle ?
Corrigé détaillé :
Le plus grand côté est $[MP]$. On compare :
$$MP^2 = 11^2 = 121$$
$$MN^2 + NP^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$
Comme $121 \neq 100$, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée ($MP^2 \neq MN^2 + NP^2$).
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $MNP$ n'est pas rectangle.
Exercice 5 : Problème classique : l'échelle appuyée contre un mur
Une échelle de $5\text{ mètres}$ de long est posée contre un mur vertical. Pour des raisons de sécurité, son pied doit être placé à $1{,}4\text{ mètre}$ du pied du mur.
À quelle hauteur contre le mur le sommet de l'échelle s'appuie-t-il ?
Corrigé détaillé :
Le mur étant supposé perpendiculaire au sol, l'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse ($5\text{ m}$).
D'après le théorème de Pythagore :
$$h^2 + 1{,}4^2 = 5^2 \iff h^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04$$
$$h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\text{ mètres}$$
L'échelle s'appuie à $4{,}8\text{ m}$ de haut.
Exercice 6 : Pythagore dans l'espace : diagonale d'un pavé droit
Une boîte en forme de pavé droit mesure $8\text{ cm}$ de long, $6\text{ cm}$ de large et $5\text{ cm}$ de haut.
1. Calculer la longueur $d_1$ de la diagonale du fond de la boîte.
2. Calculer la grande diagonale de l'espace $D$ reliant deux sommets opposés de la boîte. Donner la valeur exacte puis arrondie au dixième de cm.
Corrigé détaillé :
1. Diagonale de la base :
Dans le rectangle de la base : $$d_1^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \implies d_1 = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$$
2. Grande diagonale de l'espace :
Le triangle formé par la diagonale de la base, l'arête verticale ($5\text{ cm}$) et la grande diagonale est rectangle :
$$D^2 = d_1^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$$
$$D = \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}\text{ cm} \approx 11{,}2\text{ cm}$$
Exercice 7 : Aire d'un triangle isocèle à l'aide de sa hauteur
Soit un triangle isocèle $ABC$ tel que $AB = AC = 10\text{ cm}$ et $BC = 12\text{ cm}$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.
1. Justifier que $H$ est le milieu de $[BC]$ et donner la longueur $BH$.
2. Calculer la hauteur $AH$.
3. En déduire l'aire du triangle $ABC$.
Corrigé détaillé :
1. Milieu : Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiatrice et médiane. Donc $H$ est le milieu de $[BC]$, d'où $BH = \dfrac{12}{2} = 6\text{ cm}$.
2. Calcul de $AH$ : Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$ :
$$AH^2 + BH^2 = AB^2 \iff AH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$
$$AH = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$$
3. Aire de $ABC$ :
$$\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{12 \times 8}{2} = 48\text{ cm}^2$$
Exercice 8 : Problème : écran de télévision et format 16/9
Un téléviseur a un écran rectangulaire de diagonale $d = 127\text{ cm}$ (environ 50 pouces) et de largeur $L = 110\text{ cm}$.
1. Calculer sa hauteur $h$ arrondie au centimètre près.
2. Calculer l'aire de l'écran en $\text{cm}^2$.
Corrigé détaillé :
1. Hauteur $h$ :
D'après le théorème de Pythagore dans le rectangle :
$$h^2 + L^2 = d^2 \iff h^2 = 127^2 - 110^2 = 16\,129 - 12\,100 = 4\,029$$
$$h = \sqrt{4\,029} \approx 63{,}5\text{ cm} \approx 63\text{ ou } 64\text{ cm}$$
2. Aire de l'écran :
$$\mathcal{A} = L \times h \approx 110 \times 63{,}47 \approx 6\,982\text{ cm}^2$$ (soit environ $0{,}70\text{ m}^2$).