Exercices corrigés : Calcul de probabilités
Exercice 1
La roue de la fortune ci-dessous permet de multiplier sa mise par 0, 2 ou 3.
| Gain | 0x | 0x | 0x | 2x | 2x | 3x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Angle en ° | 60 | 135 | 105 | 22,5 | 30 | 7,5 |
- Quelle est la probabilité de perdre sa mise ?
- Quelle est la probabilité de gagner 3 fois sa mise ?
- En déduire la probabilité de gagner 2 fois sa mise.
Corrigé de l'Exercice 1
1. Perdre sa mise correspond aux secteurs "0x". L'angle total de ces secteurs est $60 + 135 + 105 = 300^{\circ}$. La probabilité est proportionnelle à l'angle.
$p(\text{perdre}) = \dfrac{300}{360} = \dfrac{5 \times 60}{6 \times 60} = $ $\dfrac{5}{6}$.
2. Le secteur "3x" correspond à un angle de $7,5^{\circ}$.
$p(\text{gagner 3x}) = \dfrac{7,5}{360} = \dfrac{75}{3600} = \dfrac{1 \times 75}{48 \times 75} = $ $\dfrac{1}{48}$.
3. L'événement "gagner 2 fois sa mise" est l'événement contraire de "perdre ou gagner 3 fois sa mise". La somme des probabilités des trois événements est égale à 1.
$p(\text{gagner 2x}) = 1 - (p(\text{perdre}) + p(\text{gagner 3x})) = 1 - \left(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{48}\right) = 1 - \left(\dfrac{40}{48} + \dfrac{1}{48}\right) = 1 - \dfrac{41}{48} = $ $\dfrac{7}{48}$.
Exercice 2
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. En utilisant le langage des probabilités, répondre aux questions suivantes :
- Quelle est la probabilité de tirer un as ?
- Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?
- Quelle est la probabilité de tirer une figure ?
- Quelle est la probabilité de ne pas tirer une figure ?
Corrigé de l'Exercice 2
On est dans une situation d'équiprobabilité. L'univers a 52 issues.
1. Il y a 4 as dans un jeu de 52 cartes. Soit A l'événement "Tirer un as".
$p(A) = \dfrac{4}{52} = $ $\dfrac{1}{13}$.
2. Il y a 13 cœurs dans le jeu. Soit B l'événement "Tirer un cœur".
$p(B) = \dfrac{13}{52} = $ $\dfrac{1}{4}$.
3. Il y a 12 figures (Valet, Dame, Roi de chaque couleur). Soit C l'événement "Tirer une figure".
$p(C) = \dfrac{12}{52} = $ $\dfrac{3}{13}$.
4. L'événement "Ne pas tirer une figure" est l'événement contraire de C, noté $\bar{C}$.
$p(\bar{C}) = 1 - p(C) = 1 - \dfrac{3}{13} = $ $\dfrac{10}{13}$.
Exercice 3
On joue avec un dé bien équilibré dodécaédrique (12 faces numérotées de 1 à 12) qu'on lance une seule fois et on s'intéresse au nombre inscrit sur la face supérieure.
- Quel est l'univers de cette expérience ?
- Pourquoi est-on en situation d'équiprobabilité ?
- Citer un évènement élémentaire, un évènement impossible et un évènement à trois issues.
- Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?
Corrigé de l'Exercice 3
1. L'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
2. On est en situation d'équiprobabilité car le dé est "bien équilibré", ce qui signifie que chaque face a la même probabilité d'apparaître.
3.
Événement élémentaire : "Obtenir 1". Il n'a qu'une seule issue.
Événement impossible : "Obtenir 13". Il n'a aucune issue.
Événement à trois issues : "Obtenir 1, 2 ou 3".
4. Les multiples de 3 dans $\Omega$ sont $\{3, 6, 9, 12\}$. Il y a 4 issues favorables sur 12 issues possibles. Soit D l'événement "Obtenir un multiple de 3".
$p(D) = \dfrac{4}{12} = $ $\dfrac{1}{3}$.
Exercice 4
Soit A et B deux évènements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A)=0,4$, $p(B)=0,6$ et $p(A\cap B)=0,2$. Calculer $p(\bar{A})$ et $p(A\cup B)$.
Corrigé de l'Exercice 4
Calcul de la probabilité de l'événement contraire de A :
$p(\bar{A}) = 1 - p(A) = 1 - 0,4 = $ $0,6$.
Calcul de la probabilité de l'union de A et B :
$p(A\cup B) = p(A) + p(B) - p(A\cap B) = 0,4 + 0,6 - 0,2 = $ $0,8$.
Exercice 5
Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : 5 sont rouges (R), 4 sont bleues (B) et 3 sont vertes (V). On tire une boule au hasard de l'urne.
- Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
- Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule verte ?
- On considère l'événement A : "Tirer une boule rouge ou une boule bleue". Calculer la probabilité de l'événement A.
Corrigé de l'Exercice 5
On est dans une situation d'équiprobabilité avec 12 issues possibles.
1. Il y a 5 boules rouges sur 12 au total.
$p(R) = \dfrac{\text{nombre de boules rouges}}{\text{nombre total de boules}} = $ $\dfrac{5}{12}$.
2. Soit V l'événement "Tirer une boule verte". On cherche $p(\bar{V})$.
La probabilité de tirer une boule verte est $p(V) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
La probabilité de ne pas tirer une boule verte est $p(\bar{V}) = 1 - p(V) = 1 - \dfrac{1}{4} = $ $\dfrac{3}{4}$.
3. L'événement A est l'union des événements "Tirer une boule rouge" (R) et "Tirer une boule bleue" (B). Ces deux événements sont incompatibles.
$p(A) = p(R \cup B) = p(R) + p(B) = \dfrac{5}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{9}{12} = $ $\dfrac{3}{4}$.
Exercice 6
On lance deux dés équilibrés identiques à 6 faces numérotées de 1 à 6. On note la somme des nombres obtenus sur chacune des 2 faces supérieures.
- Recopier puis compléter le tableau suivant :
Somme 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 - Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau :
- Quelle est la probabilité d'obtenir 2 ?
- Quelle est la probabilité d'obtenir 5 ?
- Quelle est la probabilité d'obtenir 9 ?
- Quelle est la probabilité d'obtenir 10 ?
Corrigé de l'Exercice 6
1. Tableau des sommes :
| Somme | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
2. L'univers est composé de $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables.
a) Il y a 1 cas favorable pour obtenir une somme de 2. $p(\text{somme}=2) = $ $\dfrac{1}{36}$.
b) Il y a 4 cas favorables pour obtenir une somme de 5. $p(\text{somme}=5) = \dfrac{4}{36} = $ $\dfrac{1}{9}$.
c) Il y a 4 cas favorables pour obtenir une somme de 9. $p(\text{somme}=9) = \dfrac{4}{36} = $ $\dfrac{1}{9}$.
d) Il y a 3 cas favorables pour obtenir une somme de 10. $p(\text{somme}=10) = \dfrac{3}{36} = $ $\dfrac{1}{12}$.
Exercice 7
Dans une classe de 25 élèves, chaque élève possède une calculatrice (une seule), de marque C1, C2 ou C3. 2 filles et 3 garçons ont une calculatrice de marque C1, 32% des élèves ont une calculatrice de marque C2. 56% des élèves de la classe sont des filles. La moitié des filles ont une calculatrice de marque C3.
- a) Calculer le nombre d'élèves ayant une calculatrice de marque C2.
b) Calculer le nombre de filles de la classe.
c) Compléter le tableau suivant :Marque C1 Marque C2 Marque C3 Total Filles Garçons Total - On choisit au hasard un élève de la classe. Calculer la probabilité des évènements suivants :
a) A: "l'élève est un garçon".
b) B: "l'élève a une calculatrice de marque C2".
c) $A \cap B$.
d) $A \cup B$.
Corrigé de l'Exercice 7
1. a) Nombre d'élèves avec C2 : $0,32 \times 25 = 8$.
b) Nombre de filles : $0,56 \times 25 = 14$.
c) Tableau complété :
| Marque C1 | Marque C2 | Marque C3 | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Filles | 2 | 5 | 7 | 14 |
| Garçons | 3 | 3 | 5 | 11 |
| Total | 5 | 8 | 12 | 25 |
2.
a) $p(A) = $ $\dfrac{11}{25}$.
b) $p(B) = $ $\dfrac{8}{25}$.
c) $p(A \cap B) = $ $\dfrac{3}{25}$.
d) $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = \dfrac{11}{25} + \dfrac{8}{25} - \dfrac{3}{25} = $ $\dfrac{16}{25}$.
Exercice 8
Un sondage est réalisé auprès de 200 lycéens sur leurs préférences musicales. 120 élèves écoutent du Rap, 90 écoutent de la Pop, et 50 écoutent les deux.
- Compléter le tableau de contingence ci-dessous.
Écoutent de la Pop N'écoutent pas de Pop Total Écoutent du Rap N'écoutent pas de Rap Total 200 - On choisit un lycéen au hasard. On note R l'événement "le lycéen écoute du Rap" et P l'événement "le lycéen écoute de la Pop". Calculer :
- $p(R)$
- $p(P)$
- $p(R \cap P)$
- $p(R \cup P)$
Corrigé de l'Exercice 8
1. Tableau complété :
| Écoutent de la Pop | N'écoutent pas de Pop | Total | |
|---|---|---|---|
| Écoutent du Rap | 50 | 70 | 120 |
| N'écoutent pas de Rap | 40 | 40 | 80 |
| Total | 90 | 110 | 200 |
2. L'univers compte 200 issues équiprobables.
a) $p(R) = \dfrac{120}{200} = $ $\dfrac{3}{5}$.
b) $p(P) = \dfrac{90}{200} = $ $\dfrac{9}{20}$.
c) $p(R \cap P) = \dfrac{50}{200} = $ $\dfrac{1}{4}$.
d) $p(R \cup P) = p(R) + p(P) - p(R \cap P) = \dfrac{120}{200} + \dfrac{90}{200} - \dfrac{50}{200} = \dfrac{160}{200} = $ $\dfrac{4}{5}$.
Exercice 9
Une pâtisserie a deux unités de production A et B. 70% de la production vient de A. 2% des gâteaux de A ont un défaut, et 6% de ceux de B ont un défaut. On choisit un gâteau au hasard.
On considère les événements : A: "le gâteau vient de l'unité A"; D: "le gâteau a un défaut".
- Faire un arbre pondéré modélisant la situation.
- Déterminer la probabilité pour que le gâteau vienne de l'unité A et ait un défaut.
- Quelle est la probabilité qu'un gâteau soit rejeté (ait un défaut) ?
- Calculer $p(A \cup \bar{D})$.
Corrigé de l'Exercice 9
1. Arbre pondéré :
2. $p(A \cap D) = p(A) \times p_A(D) = 0,7 \times 0,02 = $ $0,014$ (soit 1,4%).
3. D'après la formule des probabilités totales :
$p(D) = p(A \cap D) + p(B \cap D) = p(A) \times p_A(D) + p(B) \times p_B(D) = 0,7 \times 0,02 + 0,3 \times 0,06 = 0,014 + 0,018 = $ $0,032$ (soit 3,2%).
4. $p(A \cup \bar{D}) = p(A) + p(\bar{D}) - p(A \cap \bar{D}) = p(A) + (1 - p(D)) - p(A) \times p_A(\bar{D}) = 0,7 + (1 - 0,032) - 0,7 \times 0,98 = 0,7 + 0,968 - 0,686 = $ $0,982$ (soit 98,2%).
Exercice 10
Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules noires. On en tire une au hasard, on la remet dans l'urne puis on tire une seconde boule.
- On note R: "La boule tirée est rouge". Décrire l'expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré.
- Déterminer la probabilité des évènements ci-dessous :
a) A: "Tirer 2 boules rouges".
b) B: "Tirer 2 boules noires".
c) C: "Tirer 2 boules de couleurs différentes". - a) Calculer $p(\bar{A})$.
b) Calculer $p(A \cup B)$.
c) Calculer $p(\bar{A} \cup \bar{B})$.
Corrigé de l'Exercice 10
1. Il y a 10 boules au total. $p(R) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ et $p(\bar{R}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$. Comme il y a remise, les probabilités sont identiques au second tirage.
2. a) $p(A) = p(R_1 \cap R_2) = p(R) \times p_R(R) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = $ $\dfrac{9}{25}$.
b) $p(B) = p(\bar{R}_1 \cap \bar{R}_2) = p(\bar{R}) \times p_{\bar{R}}(\bar{R}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = $ $\dfrac{4}{25}$.
c) $p(C) = 1 - p(A \cup B) = 1 - (p(A) + p(B)) = 1 - \left(\dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25}\right) = 1 - \dfrac{13}{25} = $ $\dfrac{12}{25}$.
3. a) $p(\bar{A}) = 1 - p(A) = 1 - \dfrac{9}{25} = $ $\dfrac{16}{25}$.
b) Les événements A et B sont incompatibles. $p(A \cup B) = p(A) + p(B) = \dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25} = $ $\dfrac{13}{25}$.
c) $p(\bar{A} \cup \bar{B}) = p(\overline{A \cap B})$. A et B sont incompatibles, donc $A \cap B = \emptyset \implies p(A \cap B) = 0 \implies p(\overline{A \cap B}) = 1 - p(A \cap B) = 1 - 0 = $ $1$.