Exercices corrigés : Évènement et langage ensembliste
Exercice 1
On considère l'ensemble $\Omega$ composé des mots de trois lettres suivants :
$\Omega = \{\text{pas}, \text{ter}, \text{sur}, \text{bis}, \text{ver}, \text{bar}, \text{pur}, \text{net}\}$
On écrit ces mots sur des cartons que l'on place dans une urne et on tire au hasard un carton (donc un mot) dans l'urne. Indiquer toutes les issues que contient chacun des évènements suivants :
- A : "On tire un mot se terminant par un r".
- B : "On tire un mot comportant la lettre e".
- $A \cap B$.
- $A \cup B$.
- $\bar{A}$.
Corrigé de l'Exercice 1
1. $A = \{\text{ter}, \text{sur}, \text{ver}, \text{bar}, \text{pur}\}$
2. $B = \{\text{ter}, \text{ver}, \text{net}\}$
3. $A \cap B$ ("A inter B") est l'évènement "le mot se termine par un r ET comporte la lettre e".
$A \cap B = \{\text{ter}, \text{ver}\}$
4. $A \cup B$ ("A union B") est l'évènement "le mot se termine par un r OU comporte la lettre e".
$A \cup B = \{\text{ter}, \text{sur}, \text{ver}, \text{bar}, \text{pur}, \text{net}\}$
5. $\bar{A}$ est l'évènement contraire de A, c'est-à-dire "le mot ne se termine pas par un r".
$\bar{A} = \{\text{pas}, \text{bis}, \text{net}\}$
Exercice 2
Dans une classe de seconde, quelques élèves portent des lunettes et d'autres des lentilles de contact. On considère les évènements :
F : "l'élève est une fille"
L : "l'élève porte des lunettes"
C : "l'élève porte des lentilles de contact"
Décrire par une phrase les évènements suivants :
- a) $\bar{F}$
- b) $F \cap C$
- c) $F \cup L$
- d) $\bar{F} \cap \bar{L}$
- e) $F \cap \bar{C}$
- f) $\bar{F} \cup \bar{L}$
Corrigé de l'Exercice 2
a) $\bar{F}$ : "L'élève n'est pas une fille" (c'est donc un garçon).
b) $F \cap C$ : "L'élève est une fille et porte des lentilles de contact".
c) $F \cup L$ : "L'élève est une fille ou porte des lunettes".
d) $\bar{F} \cap \bar{L}$ : "L'élève n'est pas une fille et ne porte pas de lunettes".
e) $F \cap \bar{C}$ : "L'élève est une fille et ne porte pas de lentilles de contact".
f) $\bar{F} \cup \bar{L}$ : "L'élève n'est pas une fille ou ne porte pas de lunettes".
Exercice 3
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On considère les évènements :
A : "la carte tirée est un carreau"
B : "la carte tirée est un as"
- Combien l'univers de cette expérience comporte-t-il d'issues ?
- Décrire en langage ensembliste à l'aide des lettres A et B l'évènement "la carte tirée est l'as de carreau".
- Donner les issues appartenant à l'ensemble $A \cap \bar{B}$.
Corrigé de l'Exercice 3
1. L'univers comporte 32 issues, car il y a 32 cartes dans le jeu.
2. L'évènement "la carte tirée est l'as de carreau" signifie que la carte est un carreau ET que c'est un as. Il s'agit donc de l'intersection des évènements A et B : $A \cap B$.
3. $A \cap \bar{B}$ est l'évènement "la carte est un carreau ET n'est pas un as". Les issues sont donc tous les carreaux sauf l'as de carreau :
\{7 de carreau, 8 de carreau, 9 de carreau, 10 de carreau, Valet de carreau, Dame de carreau, Roi de carreau\}.
Exercice 4
On dispose d'une urne contenant des boules identiques numérotées de 1 à 8. On tire au hasard une boule de l'urne puis on regarde le numéro inscrit dessus.
- Justifier que c'est une expérience aléatoire.
- Donner toutes les issues de cette expérience aléatoire.
- Donner les issues de l'évènement A : "Tirer un numéro strictement plus petit que 5".
- Donner les issues de l'évènement contraire de A noté $\bar{A}$.
- L'évènement "Tirer le numéro 1 ou le numéro 2" est-il un évènement élémentaire ?
Corrigé de l'Exercice 4
1. C'est une expérience aléatoire car tous les résultats possibles sont connus (numéros 1 à 8), mais on ne sait pas à l'avance lequel va se produire.
2. Les issues possibles sont : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
3. Les numéros strictement plus petits que 5 sont : $A = \{1, 2, 3, 4\}$.
4. L'évènement contraire $\bar{A}$ est "Tirer un numéro supérieur ou égal à 5". Ses issues sont : $\bar{A} = \{5, 6, 7, 8\}$.
5. Non, ce n'est pas un évènement élémentaire car il contient 2 issues (1 et 2). Un évènement élémentaire ne contient qu'une seule issue.
Exercice 5
On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de 1 à 6. L'univers est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
On considère les évènements suivants :
P : "Le résultat est un nombre pair."
I : "Le résultat est un nombre impair."
S : "Le résultat est strictly supérieur à 3."
- Donner les issues des évènements P, I, et S.
- Décrire par une phrase puis donner les issues des évènements $P \cap S$ et $I \cup S$.
- Les évènements P et I sont-ils contraires ? Justifier.
- Décrire l'évènement $\bar{S}$ et donner ses issues.
Corrigé de l'Exercice 5
1. Issues des évènements :
$P = \{2, 4, 6\}$
$I = \{1, 3, 5\}$
$S = \{4, 5, 6\}$
2.
$P \cap S$ : "Le résultat est un nombre pair ET strictement supérieur à 3".
$P \cap S = \{4, 6\}$.
$I \cup S$ : "Le résultat est un nombre impair OU strictement supérieur à 3".
$I \cup S = \{1, 3, 4, 5, 6\}$.
3. Oui, les évènements P et I sont contraires.
Justification : Leur intersection est vide ($P \cap I = \emptyset$) et leur union constitue l'univers entier ($P \cup I = \Omega$).
4. $\bar{S}$ est l'évènement "Le résultat n'est pas strictement supérieur à 3", c'est-à-dire "Le résultat est inférieur ou égal à 3".
$\bar{S} = \{1, 2, 3\}$.