Exercices corrigés : Séries statistiques à une variable
Exercice 1
On a relevé les tailles en cm des élèves de deux classes :
Classe 1 : 162-174-173-159-168-167-161-175-168-175-172-173-172-168-164-167-173-175-165-177-168-169-171-175
Classe 2 :
| Taille | 165 | 167 | 168 | 169 | 170 | 172 | 173 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 181 | 182 | 183 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 | 3 | 2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 |
- Calculer l'étendue, la médiane, les quartiles, la moyenne et l'écart type de chaque série. On ne justifiera que les calculs de la médiane et des quartiles.
- Tracer les diagrammes en boîte des 2 séries à la même échelle.
Corrigé de l'Exercice 1
1. Classe 1
Étendue : $e_1 = 177 - 159 = 18$ cm.
L'effectif total est $n_1=24$. Le premier quartile est la $\dfrac{24}{4} = 6$-ième valeur de la série ordonnée : $Q_1 = 167$ cm.
La médiane est la moyenne des $\dfrac{24}{2}=12$-ième et $13$-ième valeurs : $Me = 170$ cm.
Le troisième quartile est la $\dfrac{3 \times 24}{4} = 18$-ième valeur : $Q_3 = 173$ cm.
Avec la calculatrice : Moyenne $\bar{x}_1 \approx 169,6$ cm et écart-type $\sigma_1 \approx 4,8$ cm.
Classe 2
Étendue : $e_2 = 183 - 165 = 18$ cm.
L'effectif total est $n_2=31$. Le premier quartile est la $\dfrac{31}{4} \approx 7,75$, donc la 8-ième valeur : $Q_1 = 169$ cm.
La médiane est la $\dfrac{31}{2} = 15,5$, donc la 16-ième valeur : $Me = 175$ cm.
Le troisième quartile est la $\dfrac{3 \times 31}{4} \approx 23,25$, donc la 24-ième valeur : $Q_3 = 179$ cm.
Avec la calculatrice : Moyenne $\bar{x}_2 \approx 174,6$ cm et écart-type $\sigma_2 \approx 5,4$ cm.
2. Diagrammes en boîte
Exercice 2
On a demandé à des élèves de lycée de donner le nombre total d'écrans (télévisions, ordinateurs, tablettes, portables) présents dans leur foyer. On a obtenu le tableau ci-dessous :
| Nombre d'écrans | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'élèves | 2 | 8 | 12 | 18 | 20 | 16 | 10 | 8 | 6 | 4 |
- À l'aide de la calculatrice, donner la moyenne, l'écart-type, la médiane et les quartiles de cette série. On arrondira les valeurs au dixième si nécessaire.
- Dessiner le diagramme en boîtes de cette série en choisissant une échelle appropriée.
Corrigé de l'Exercice 2
1. Avec la calculatrice, on obtient :
Moyenne : $\bar{x} \approx 7,3$
Écart-type : $\sigma \approx 2,2$
Médiane : $Me = 7$
Premier quartile : $Q_1 = 6$
Troisième quartile : $Q_3 = 9$
2. Diagramme en boîtes :
Exercice 3
Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Au début de l'année 2010, elle prélève un échantillon dans sa production afin d'en vérifier les masses, en grammes.
| Masse | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 5 | 6 | 9 | 13 | 32 | 16 | 5 | 4 |
- a) Déterminer la médiane et les quartiles. Calculer l'écart interquartile.
b) Dessiner le diagramme en boîte de la série. - Déterminer la masse moyenne, ainsi que l'écart-type des tablettes de cet échantillon arrondis au dixième.
- Un échantillon représentatif de même taille a été prélevé fin 2009. Son diagramme en boîte se trouve ci-dessous.
a) Fin 2009, quel est le pourcentage de tablettes ayant une masse supérieure à 97 grammes ?
b) Déterminer, si possible, la médiane et la moyenne de l'échantillon de fin 2009.
Corrigé de l'Exercice 3
1. a) Avec la calculatrice, on obtient : $Q_1 = 99$, $Me = 100$, $Q_3 = 101$. L'écart interquartile est $Q_3 - Q_1 = 101 - 99 = $ 2.
1. b) Diagramme en boîte :
2. Masse moyenne : $\bar{x} \approx 99,7$ g et écart-type : $\sigma \approx 1,6$ g.
3. a) Par lecture du diagramme, $Q_1=97$ g. Cela signifie que 25% des tablettes ont une masse inférieure ou égale à 97g. Donc, 75% des tablettes ont une masse supérieure à 97g.
3. b) Par lecture graphique, la médiane est $Me = 98$ g. On ne peut pas déterminer la moyenne à partir d'un diagramme en boîte.
Exercice 4
Une entreprise qui conditionne du café en paquets individuels a mis à l'essai deux machines. Le même réglage de 265 grammes a été effectué sur ces deux machines.
1ère machine : échantillon de 40 paquets
256 259 260 260 261 261 261 261 262 262 262 262 263 263 263 264 264 264 264 265 265 265 265 265 265 266 266 266 266 266 266 267 267 268 269 269 270 270 271 273
2ème machine : échantillon de 36 paquets
260 262 263 264 264 265 266 266 267 268 268 268 269 269 269 269 269 269 270 270 271 271 271 271 271 272 272 273 273 274 276 276 277 277 279 280
- Déterminer la médiane et les quartiles de chaque échantillon.
- Comparai les écarts interquartiles des deux séries.
- Construire le diagramme en boîte de chaque série.
- Pour chaque échantillon, calculer le pourcentage de valeurs appartenant à l'intervalle $[\bar{x}-\sigma;\bar{x}+\sigma]$.
Corrigé de l'Exercice 4
1. Série 1 : $Me = 265$ ; $Q_1 = 262$ ; $Q_3 = 266$.
Série 2 : $Me = 269,5$ ; $Q_1 = 267$ ; $Q_3 = 272$.
2. Série 1 : $Q_3 - Q_1 = 266 - 262 = $ 4.
Série 2 : $Q_3 - Q_1 = 272 - 267 = $ 5.
3. Diagrammes en boîte
4. Série 1 : $\bar{x} \approx 264,55$ et $\sigma \approx 3,46$. L'intervalle est $[261,1 ; 268,0]$. Il y a 26 valeurs dans cet intervalle, soit $\dfrac{26}{40} \times 100 = $ 65%.
Série 2 : $\bar{x} \approx 269,97$ et $\sigma \approx 4,62$. L'intervalle est $[265,4 ; 274,6]$. Il y a 24 valeurs dans cet intervalle, soit $\dfrac{24}{36} \times 100 \approx $ 67%.
Exercice 5
On mesure la quantité d'une molécule M dans le sang, sur un groupe de 100 individus. Ils sont répartis en deux groupes : A (sans traitement) et B (avec traitement).
1 - Résultats du groupe A :
| Quantité | 130 | 135 | 140 | 145 | 150 | 155 | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 | 185 | 190 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 3 | 3 | 5 | 3 | 4 | 3 | 7 | 5 | 6 | 3 | 2 | 4 |
- Pour quel pourcentage des individus du groupe A, la quantité mesurée est-elle dans la plage [130; 160] ?
- Déterminer la médiane et les quartiles de cette série.
- Tracer le diagramme en boîte de cette série.
2 - Données du groupe B :
Déterminer approximativement pour quel pourcentage des individus du groupe B la quantité mesurée est dans la plage [130; 160].
Corrigé de l'Exercice 5
1. a) L'effectif total dans [130; 160] est $2+3+3+5+3+4+3=23$. Le pourcentage est $\dfrac{23}{50} \times 100 = $ 46%.
b) $Q_1 = 145$ ; $Me = 165$ ; $Q_3 = 175$.
c) Diagramme en boîte (Série A) :
2. Par lecture, le minimum est 130 et $Q_3=160$. Donc il y a environ 75% des individus du groupe B dans [130; 160].
3. Série A : $\bar{x} \approx 161,7$. Série B : impossible à déterminer.
Exercice 6
On mesure 41 masses de caoutchouc (en grammes) lors d'un contrôle de production :
255,8 258,7 259,7 260,3 260,7 261,2 261,2 261,4 262,1 262,2 262,3 262,4 263,1 263,4 263,4 263,6 264,1 264,4 264,4 264,5 264,5 264,6 264,8 265 265,3 265,5 265,6 265,9 266,1 266,2 266,4 267 267,1 267,6 268,7 268,8 269,7 269,8 271 271,9 272,9
- Pour la série de ces 41 mesures, compléter le tableau suivant :
| médiane $M_e$ | 1er quartile | 3e quartile | min | max | moyenne | écart-type $\sigma$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
- Construire le diagramme en boîte de cette série.
- Quel pourcentage des valeurs obtenues lors de ce contrôle se trouvent entre 261,1 g et 267,9 g ?
- Le contrôle fait-il apparaître des valeurs aberrantes (situées à plus de $2\sigma$ de la médiane) ? Lesquelles ?
Corrigé de l'Exercice 6
1. Tableau complété :
| médiane $M_e$ | 1er quartile | 3e quartile | min | max | moyenne | écart-type $\sigma$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 264,5 | 262,3 | 266,4 | 255,8 | 272,9 | 264,7 | 3,5 |
2. Diagramme en boîte :
3. Il y a 29 valeurs dans l'intervalle $[261,1 ; 267,9]$. Le pourcentage est $\dfrac{29}{41} \times 100 \approx $ 71%.
4. $M_e - 2\sigma = 264,5 - 2 \times 3,5 = 257,5$. $M_e + 2\sigma = 264,5 + 2 \times 3,5 = 271,5$. Les valeurs aberrantes sont celles inférieures à 257,5 g ou supérieures à 271,5 g. Il y en a 3 : 255,8 g, 271,9 g et 272,9 g.