Exercices corrigés sur : Taux d'évolution
Exercice 1
Le prix d'un billet de train est de 55 €. Ce même billet de train est vendu sur Internet à un tarif "moins de 25 ans" au prix de 22 €.
Quel est le pourcentage de réduction pour les "moins de 25 ans" ?
Corrigé de l'Exercice 1 :
Valeur Initiale
$P_0 = 55\text{ €}$
Valeur Finale
$P_1 = 22\text{ €}$
Le taux d'évolution $T$ est donné par la formule : $T = \dfrac{P_1 - P_0}{P_0}$.
Ici, la valeur initiale est $P_0 = 55\text{ €}$ et la valeur finale est $P_1 = 22\text{ €}$.
$T = \dfrac{22 - 55}{55} = \dfrac{-33}{55} = -0,6$.
Pour exprimer ce taux en pourcentage, on le multiplie par 100 ($t = 100 \times T = -60\ \%$). La réduction est donc de 60 %.
Exercice 2
Après une augmentation de $15\%$, un produit coûte $89,70$ €. Quel était son prix initial ?
Corrigé de l'Exercice 2 :
Valeur Initiale
$P_0 = ?$
Valeur Finale
$P_1 = 89,70\text{ €}$
Soit $P_0$ le prix initial et $P_1 = 89,70\text{ €}$ le prix final.
Le taux d'évolution est $T = 15\% = 0,15$.
La relation entre le prix initial et le prix final est $P_1 = P_0 \times (1 + T)$.
On isole $P_0$ dans la formule : $P_0 = \dfrac{P_1}{1 + T}$.
On remplace par les valeurs connues : $P_0 = \dfrac{89,70}{1 + 0,15} = \dfrac{89,70}{1,15} =$ 78 €.
Le prix initial était de 78 €.
Exercice 3
Compléter la facture suivante (les prix sont en euros arrondis au centime) :
| Article | Prix HT | TVA | TVA (€) | Prix TTC | Qté | Montant |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Vêtement | 24,50 | $19,6\%$ | 2 | |||
| Biscuits | 3,90 | $5,5\%$ | 3 | |||
| Boisson | $5,5\%$ | 54,27 | 2 | |||
| Livraison | $19,6\%$ | 16,88 | 1 | |||
| Total : | ||||||
Corrigé de l'Exercice 3 :
On utilise les relations : $\text{TVA (€)} = \text{Prix HT} \times \text{Taux}$ et $\text{Prix TTC} = \text{Prix HT} + \text{TVA (€)}$.
Vêtement : TVA = $24,50 \times 0,196 \approx 4,80\text{ €}$. Prix TTC = $24,50 + 4,80 = 29,30\text{ €}$. Montant = $29,30 \times 2 = 58,60\text{ €}$.
Biscuits : TVA = $3,90 \times 0,055 \approx 0,21\text{ €}$. Prix TTC = $3,90 + 0,21 = 4,11\text{ €}$. Montant = $4,11 \times 3 = 12,33\text{ €}$.
Boisson : Le montant TTC est de 54,27 € pour 2 unités, donc le Prix TTC unitaire est $27,14\text{ €}$. On résout $\text{Prix HT} \times 1,055 = 27,14$, donc $\text{Prix HT} = \dfrac{27,14}{1,055} \approx 25,73\text{ €}$. TVA = $1,41\text{ €}$.
Livraison : On résout $\text{Prix HT} \times 1,196 = 16,88$, donc $\text{Prix HT} = \dfrac{16,88}{1,196} \approx 14,11\text{ €}$. TVA = $2,77\text{ €}$.
| Article | Prix HT | TVA | TVA (€) | Prix TTC | Qté | Montant |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Vêtement | 24,50 | $19,6\%$ | 4,80 | 29,30 | 2 | 58,60 |
| Biscuits | 3,90 | $5,5\%$ | 0,21 | 4,11 | 3 | 12,33 |
| Boisson | 25,73 | $5,5\%$ | 1,41 | 27,14 | 2 | 54,27 |
| Livraison | 14,11 | $19,6\%$ | 2,77 | 16,88 | 1 | 16,88 |
| Total : | 142,08 | |||||
Exercice 4
Voici les résultats du référendum du 29 mai 2005 à Paris :
- Inscrits : $1\,084\,114$
- Abstention : $24,94\%$
- Votes blancs ou nuls (en $\%$ des votants) : $1,61\%$
- "Oui" (en $\%$ des suffrages exprimés) : $66,45\%$
- Calculer le nombre de votants, puis le nombre de suffrages exprimés.
- Quel est le pourcentage de suffrages exprimés par rapport au nombre de votants ? Et par rapport au nombre d'inscrits ?
- Calculer le nombre de "Oui". Quel pourcentage représente-t-il par rapport au nombre de votants ?
Corrigé de l'Exercice 4 :
1. Nombre de votants $N_1$ : baisse de $24,94\%$ par rapport aux inscrits.
$N_1 = 1\,084\,114 \times \left( 1 - \dfrac{24,94}{100} \right) \approx$ 813 736 votants.
Suffrages exprimés $N_2$ : baisse de $1,61\%$ par rapport aux votants.
$N_2 = 813\,736 \times \left( 1 - \dfrac{1,61}{100} \right) \approx$ 800 635 suffrages exprimés.
2. Rapport $\dfrac{N_2}{N_{\text{votants}}} = \dfrac{800\,635}{813\,736} \approx$ 98,39 %.
Rapport $\dfrac{N_2}{N_{\text{inscrits}}} = \dfrac{800\,635}{1\,084\,114} \approx$ 73,85 %.
3. Nombre de "Oui" : $800\,635 \times \dfrac{66,45}{100} \approx$ 532 021 votes.
Rapport par rapport aux votants : $\dfrac{532\,021}{813\,736} \approx$ 65,38 %.
Exercice 5
Le nombre de visiteurs d'un musée était de $1\,500$ le samedi. Le dimanche, le musée a accueilli $1\,800$ visiteurs.
- Calculer le taux d'évolution du nombre de visiteurs entre le samedi et le dimanche.
- Le samedi suivant, le nombre de visiteurs a baissé de $10\%$ par rapport au dimanche. Combien y a-t-il eu de visiteurs ce samedi-là ?
Corrigé de l'Exercice 5 :
1. Taux d'évolution entre samedi et dimanche :
Valeur Initiale (Samedi)
$V_0 = 1\,500$
Valeur Finale (Dimanche)
$V_1 = 1\,800$
$T = \dfrac{1\,800 - 1\,500}{1\,500} = \dfrac{300}{1\,500} = 0,2$, donc une hausse de 20 %.
2. Baisse de $10\%$ par rapport au dimanche :
Valeur Initiale (Dimanche)
$V_0 = 1\,800$
Valeur Finale (Samedi suivant)
$V_1 = ?$
Nouveau nombre = $1\,800 \times \left( 1 - \dfrac{10}{100} \right) = 1\,800 \times 0,9 =$ 1 620 visiteurs.
Exercice 6
Le prix d'un produit augmente de $5,5\%$ entre 2010 et 2011 puis de $9\text{ €}$ entre 2011 et 2012.
- Sachant qu'il coûte $99,73\text{ €}$ en 2012, quel était son prix en 2010 avant les 2 augmentations ?
- De quel pourcentage doit-il diminuer le prix de 2012 pour retrouver le prix de 2011 ? Arrondir le résultat à $0,01\%$ près.
Corrigé de l'Exercice 6 :
1. On remonte le temps étape par étape :
Passage de 2011 ($P_1$) à 2012 ($P_2$) :
Prix 2011
$P_1 = ?$ €
Prix 2012
$P_2 = 99,73\text{ €}$
Prix en 2011 : $P_1 = P_2 - 9 = 99,73 - 9 = 90,73\text{ €}$.
Passage de 2010 ($P_0$) à 2011 ($P_1$) :
Prix 2010
$P_0 = ?$ €
Prix 2011
$P_1 = 90,73\text{ €}$
$P_1 = P_0 \times \left(1 + \dfrac{5,5}{100}\right) = P_0 \times 1,055$.
On isole $P_0$ : $P_0 = \dfrac{P_1}{1,055} = \dfrac{90,73}{1,055} = 86\text{ €}$.
Le prix en 2010 était de 86 €.
2. Taux d'évolution réciproque $T'$ pour passer de $P_2$ ($99,73\text{ €}$) à $P_1$ ($90,73\text{ €}$) :
Prix 2012
$P_2 = 99,73\text{ €}$
Prix 2011
$P_1 = 90,73\text{ €}$
$T' = \dfrac{P_1 - P_2}{P_2} = \dfrac{90,73 - 99,73}{99,73} = \dfrac{-9}{99,73} \approx -0,09024$.
Il faut donc une baisse d'environ 9,02 %.
Exercice 7
La population d'une ville était de $180\,943$ habitants en 1968.
- Entre 1968 et 1975, elle a augmenté de $9,6\%$. Calculer la population en 1975 (arrondir à l'unité).
- En 1982, la population était de $194\,656$ habitants. Calculer le taux d'évolution global entre 1968 et 1982 (en pourcentage, arrondi à $0,1\%$).
- Entre 1982 et 2007, la population a subi deux hausses successives : $+4,5\%$ puis $+5,2\%$. Quel est le taux d'évolution global sur cette période ?
Corrigé de l'Exercice 7 :
1. Population en 1975 ($P_{1975}$) :
Population 1968
$P_{1968} = 180\,943$
Population 1975
$P_{1975} = ?$
$P_{1975} = 180\,943 \times \left(1 + \dfrac{9,6}{100}\right) = 180\,943 \times 1,096 = 198\,313,528 \approx$ 198 314 habitants.
2. Taux d'évolution global $T$ entre 1968 et 1982 :
Population 1968
$P_{1968} = 180\,943$
Population 1982
$P_{1982} = 194\,656$
$T = \dfrac{P_{1982} - P_{1968}}{P_{1968}} = \dfrac{194\,656 - 180\,943}{180\,943} = \dfrac{13\,713}{180\,943} \approx 0,075786$, soit environ 7,6 %.
3. Taux d'évolution global $T_g$ entre 1982 et 2007 (évolutions successives $T_1 = +4,5\%$ et $T_2 = +5,2\%$) :
Population 1982
$P_{1982}$
Intermédiaire
$P_{\text{inter}}$
Population 2007
$P_{2007}$
Le coefficient multiplicateur global est : $CM_g = (1 + T_1) \times (1 + T_2) = 1,045 \times 1,052 = 1,09934$.
Le taux global est $T_g = CM_g - 1 = 1,09934 - 1 = 0,09934$, soit environ 9,9 %.
Exercice 8
Deux grandes sociétés avaient le même nombre de salariés en 2003. L'une a augmenté l'effectif de $3\%$ en 2004 puis licencié $5\%$ en 2005. L'autre a débauché $20\%$ en 2004 puis augmenté l'effectif de $22\%$ en 2005. Dans quelle entreprise le personnel est-il le plus nombreux fin 2005 ?
Corrigé de l'Exercice 8 :
Soit $N_0$ l'effectif initial commun en 2003.
Société 1 : évolutions de $T_1 = +3\%$ puis $T_2 = -5\%$.
Coefficient multiplicateur global : $CM_1 = (1 + 0,03) \times (1 - 0,05) = 1,03 \times 0,95 = 0,9785$.
Effectif fin 2005 : $N_1 = 0,9785 \times N_0$ (baisse globale de $2,15\%$).
Société 2 : évolutions de $T_1' = -20\%$ puis $T_2' = +22\%$.
Coefficient multiplicateur global : $CM_2 = (1 - 0,20) \times (1 + 0,22) = 0,80 \times 1,22 = 0,9760$.
Effectif fin 2005 : $N_2 = 0,9760 \times N_0$ (baisse globale de $2,4\%$).
Comme $0,9785 > 0,9760$, on a $N_1 > N_2$. Le personnel est donc plus nombreux dans la société 1.
Exercice 9
Un produit subit une augmentation de $12\%$, puis une seconde augmentation de $8\%$. Après ces deux évolutions, son prix est de $725,76\text{ €}$.
Quel était son prix initial ?
Corrigé de l'Exercice 9 :
Prix Initial
$P_0 = ?$
Intermédiaire
$P_1$
Prix Final
$P_2 = 725,76\text{ €}$
La formule des évolutions successives s'écrit : $P_2 = P_0 \times (1 + T_1) \times (1 + T_2)$.
$725,76 = P_0 \times (1 + 0,12) \times (1 + 0,08) = P_0 \times 1,12 \times 1,08 = P_0 \times 1,2096$.
On isole $P_0$ : $P_0 = \dfrac{725,76}{1,2096} = 600\text{ €}$.
Le prix initial était de 600 €.
Exercice 10
Après une augmentation de $25\%$ sur le prix d'un produit, quel devrait être le taux de la baisse pour retrouver le prix de départ ?
Corrigé de l'Exercice 10 :
Prix Initial
$P_0$
Prix Après Hausse
$P_1$
Soit $T = +25\% = +0,25$ le taux de la hausse initiale et $T'$ le taux de la baisse réciproque.
La relation fondamentale des taux réciproques est : $(1 + T)(1 + T') = 1$.
On remplace $T$ par $0,25$ : $(1 + 0,25)(1 + T') = 1 \implies 1,25 \times (1 + T') = 1$.
On isole $(1 + T')$ : $1 + T' = \dfrac{1}{1,25} = 0,8$.
On en déduit $T'$ : $T' = 0,8 - 1 = -0,2 = -20\%$.
Il faut donc une baisse de 20 % pour retrouver le prix de départ.