Exercices sur : Transformations du plan
Exercice 1 : Translations
On considère le triangle RST.
- Construire I, image de R par la translation de vecteur $\overrightarrow{ST}$.
- Construire J, image de S par la translation de vecteur $\overrightarrow{TR}$.
- Démontrer que R est le milieu du segment [IJ].
Corrigé :
1 & 2. Figure :
3. Par définition de la translation :
I est l'image de R par la translation de vecteur $\overrightarrow{ST}$ signifie que $\overrightarrow{RI} = \overrightarrow{ST}$.
J est l'image de S par la translation de vecteur $\overrightarrow{TR}$ signifie que $\overrightarrow{SJ} = \overrightarrow{TR}$.
L'égalité $\overrightarrow{SJ} = \overrightarrow{TR}$ signifie que SJRT est un parallélogramme. Donc on a aussi $\overrightarrow{ST} = \overrightarrow{JR}$.
Par transitivité, de $\overrightarrow{RI} = \overrightarrow{ST}$ et $\overrightarrow{ST} = \overrightarrow{JR}$, on déduit $\overrightarrow{RI} = \overrightarrow{JR}$.
L'égalité vectorielle $\overrightarrow{JR} = \overrightarrow{RI}$ signifie par définition que R est le milieu de [IJ].
Exercice 2 : Losange et symétrie
- Construire un triangle ABC tel que $AB=7$ cm, $AC=6$ cm et $BC=5$ cm. On appelle I le point de [AB] tel que $AI=2$ cm.
- Construire J, image de I par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$. Démontrer que (BJ) et (CI) sont perpendiculaires.
- Construire K, image de J par la symétrie de centre I. Quelle est la nature du quadrilatère BCIK ?
Corrigé :
1 & 2a. Figure :
2b. J est l'image de I par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$, donc $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{BC}$. Ceci signifie que BCJI est un parallélogramme. On a $BI = AB - AI = 7-2=5$ cm. Comme $BC=5$ cm, on a $BI=BC$.
Le parallélogramme BCJI a deux côtés consécutifs de même longueur, c'est donc un losange. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, donc (BJ) $\perp$ (CI).
3. K est le symétrique de J par rapport à I, ce qui signifie que I est le milieu de [JK]. Vectoriellement, $\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{IK}$.
On sait que BCJI est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{IJ}$. On a donc $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{IK}$. Cette égalité signifie que BCIK est un parallélogramme.
Exercice 3 : Symétrie axiale et losange
- Construire un triangle ABC tel que $AB=7,5$ cm, $AC=6$ cm et $BC=4.5$ cm.
- Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
- On appelle I et J les milieux de [AB] et [AD], où D est le symétrique de B par rapport à (AC). Démontrer que AICJ est un losange.
Corrigé :
1 & 2. Figure et démonstration :
D'après la réciproque du théorème de Pythagore ($7,5^2 = 6^2 + 4,5^2 = 56,25$), le triangle ABC est rectangle en C.
3. Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse. Ici, [CI] est la médiane relative à l'hypoténuse [AB], donc $IC = \dfrac{1}{2}AB = AI$.
J est le symétrique de I par rapport à l'axe (AC). La symétrie axiale conserve les longueurs, donc $AJ = AI$ et $CJ = CI$.
On a donc $AI = IC = CJ = JA$. Le quadrilatère AICJ a ses quatre côtés de même longueur, c'est un losange.
Exercice 4 : Composition de symétries
- Sur la figure, construire la figure $\mathcal{F}_{1}$, image de $\mathcal{F}$ par la symétrie centrale de centre B.
- Construire la figure $\mathcal{F}_{2}$, image de $\mathcal{F}_{1}$ par la symétrie centrale de centre C.
- Quelle transformation permet de passer directement de la figure $\mathcal{F}$ à la figure $\mathcal{F}_{2}$ ?
Corrigé :
1 & 2. Construction :
3. La composition de deux symétries centrales de centres B et C est une translation. Le vecteur de cette translation est $2\overrightarrow{BC}$.
Graphiquement, on voit que pour passer de la figure $\mathcal{F}$ à la figure $\mathcal{F}_{2}$, on effectue une translation de vecteur $\overrightarrow{AT}$, où T est l'image de A après les deux symétries. On a $\overrightarrow{AT} = 2\overrightarrow{BC}$.
Exercice 5 : Translation
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
- Placer les points $A(3;-5)$ et $B(-2;5)$. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et calculer la longueur AB.
- Placer le point $C(-2;-4)$. Construire le point D, image de C par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
- Quelles sont les coordonnées de D ?
- Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Quelles sont les coordonnées du point M, intersection de ses diagonales ?
Corrigé :
1. Figure et calculs :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2-3 \\ 5-(-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 10 \end{pmatrix}$.
$AB = \sqrt{(-5)^2 + 10^2} = \sqrt{25+100} = \sqrt{125}$.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -5 \\ 10 \end{pmatrix}$ et $AB = \sqrt{125}$.
2 & 3. D est l'image de C par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, ce qui signifie que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$.
Soit $D(x_D; y_D)$. $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_D - (-2) \\ y_D - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_D+2 \\ y_D+4 \end{pmatrix}$.
On identifie les coordonnées : $x_D+2 = -5$ donc $x_D = -7$ et $y_D+4 = 10$ donc $y_D=6$.
Les coordonnées sont D(-7; 6).
4. L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que ABDC est un parallélogramme.
Le point M est le milieu des diagonales [AD] et [BC]. Calculons le milieu de [BC] :
$x_M = \dfrac{-2+(-2)}{2} = -2$.
$y_M = \dfrac{5+(-4)}{2} = \dfrac{1}{2}$.
Les coordonnées sont $M(-2; 0.5)$.
Exercice 6 : Homothétie et repère
Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(2 ; 3)$, $B(-1 ; 1)$ et $C(5 ; -1)$.
Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = -2$.
1. Calculer les coordonnées du point $B'$, image de $B$ par l'homothétie $h$.
2. Déterminer les coordonnées du point $C'$, image de $C$ par l'homothétie $h$.
3. Démontrer la relation vectorielle entre $\overrightarrow{B'C'}$ et $\overrightarrow{BC}$.
Figure :
1. Par définition de l'homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $k = -2$, le point $B'$ vérifie : $$\overrightarrow{AB'} = -2\,\overrightarrow{AB}$$ Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$$ D'où les coordonnées de $\overrightarrow{AB'}$ : $$\overrightarrow{AB'} = -2 \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$$ On en déduit les coordonnées de $B'$ : $$x_{B'} - 2 = 6 \iff x_{B'} = 8$$ $$y_{B'} - 3 = 4 \iff y_{B'} = 7$$ L'image de $B$ est donc $B'(8 ; 7)$.
2. De même, pour le point $C'$ image de $C$ par $h$ : $$\overrightarrow{AC'} = -2\,\overrightarrow{AC}$$ Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ : $$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 5 - 2 \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$$ D'où les coordonnées de $\overrightarrow{AC'}$ : $$\overrightarrow{AC'} = -2 \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \end{pmatrix}$$ On en déduit les coordonnées de $C'$ : $$x_{C'} - 2 = -6 \iff x_{C'} = -4$$ $$y_{C'} - 3 = 8 \iff y_{C'} = 11$$ L'image de $C$ est donc $C'(-4 ; 11)$.
3. Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{B'C'}$ : $$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 5 - (-1) \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$$ $$\overrightarrow{B'C'}\begin{pmatrix} -4 - 8 \\ 11 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 4 \end{pmatrix}$$ On constate que $\begin{pmatrix} -12 \\ 4 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$, ce qui prouve la relation vectorielle : $\overrightarrow{B'C'} = -2\,\overrightarrow{BC}$.