Exercices sur : Généralités sur les vecteurs
Exercice 1 : Milieux et vecteurs
On considère la figure ci-dessous où I, J et K sont les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
- Démontrer que $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$.
- Quelle est la nature du quadrilatère BIJK ?
- En déduire deux doubles égalités vectorielles.
Corrigé :
1. K est le milieu de [AB]. Par définition du milieu, les vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{KB}$ ont la même direction, le même sens et la même norme. Ils sont donc égaux : $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$.
2. Dans le triangle ABC, J et K sont les milieux respectifs de [AC] et [AB]. D'après le théorème des milieux, on a $\overrightarrow{KJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Comme I est le milieu de [BC], on a aussi $\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. On en déduit que $\overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{BI}$.
Un quadrilatère qui a deux côtés opposés définis par des vecteurs égaux est un parallélogramme. Ainsi, BIJK est un parallélogramme.
3. Puisque BIJK est un parallélogramme, on a les égalités vectorielles $\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{JI}$.
En utilisant le fait que I est le milieu de [BC] ($\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$) et K est le milieu de [AB] ($\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$), on obtient :
$\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$
$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{JI}$
Exercice 2 : Construction et vecteurs
- Construire un parallélogramme ABCD tel que $AB=5$ cm, $AC=8$ cm et $\widehat{BAC}=30^{\circ}$.
- Construire les points E et F tels que $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}$.
- Démontrer que $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{CF}$.
Corrigé :
1 & 2. Figure :
3. Puisque ABCD est un parallélogramme, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Or, par construction, $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}$. Par transitivité, on a $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$, donc BCED est un parallélogramme. On en déduit que $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{EC}$.
De même, puisque ABCD est un parallélogramme, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Or, par construction, $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}$. Par transitivité, on a $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DC}$, donc BFCD est un parallélogramme. On en déduit que $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CF}$.
Des deux points précédents, on a $\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{DB}$. On conclut donc que $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{CF}$.
Exercice 3 : Diagonales
- Construire un parallélogramme ABCD, puis les points E et F tels que $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}$.
- Démontrer que le quadrilatère BFED est un parallélogramme.
Corrigé :
1. Figure :
2. ABCD est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Or, on a $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}$ par construction. On obtient $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}$. L'égalité $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CE}$ signifie que C est le milieu du segment [BE].
De même, ABCD est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Or, on a $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}$ par construction. Par transitivité, $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DC}$. L'égalité $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CF}$ signifie que C est le milieu du segment [DF].
Le quadrilatère BFED a ses diagonales [BE] et [DF] qui se coupent en leur milieu C. C'est donc un parallélogramme.
Exercice 4 : Milieux multiples
Soit ABC un triangle et M un point quelconque.
- Construire D, E et F tels que MBDC, MCEA et MAFB soient des parallélogrammes.
- Démontrer que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$ et en déduire que [AD] et [BE] ont le même milieu.
- Démontrer que [AD], [BE] et [CF] ont le même milieu.
Corrigé :
1. Figure :
2. MCEA est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{MC}$. MBDC est un parallélogramme donc $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MC}$.
Par transitivité, on en déduit que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$. Cette égalité signifie que le quadrilatère AEDB est un parallélogramme. Ses diagonales [AD] et [BE] se coupent donc en leur milieu.
3. De même, MAFB est un parallélogramme donc $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BF}$ et MCEA est un parallélogramme donc $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CE}$.
On en déduit $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CE}$, donc BFEC est un parallélogramme. Ses diagonales [BE] et [CF] se coupent en leur milieu.
Finalement, [AD] et [BE] ont le même milieu, et [BE] et [CF] ont le même milieu. Donc, les trois segments [AD], [BE] et [CF] ont le même milieu.
Exercice 5 : Nature d'un parallélogramme
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points $A(4;2)$, $B(6;-4)$ et $C(0;-2)$.
- Placer les points.
- Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
- En déduire les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
- Calculer les longueurs AB et BC. En déduire la nature du parallélogramme ABCD.
Corrigé :
1 & 2. Pour calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ -4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$.
Les coordonnées sont $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$.
3. Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Soit $D(x_D; y_D)$. On a $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-x_D \\ -2-y_D \end{pmatrix}$.
En identifiant les coordonnées : $0-x_D = 2$ donc $x_D = -2$ et $-2-y_D = -6$ donc $-y_D = -4$ donc $y_D=4$.
Les coordonnées de D sont (-2; 4).
4. On calcule les longueurs AB et BC :
$AB = \sqrt{(2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40}$.
$BC = \sqrt{(0-6)^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40}$.
Comme $AB=BC$, le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur. C'est donc un losange.
Exercice 6 : Coordonnées dans un repère
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-3;-2)$, $B(-1;9)$ et $C(9;4)$.
- Faire une figure.
- On note M le milieu du segment [AC]. Calculer les coordonnées de M.
- Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
- Calculer la longueur BC (valeur arrondie à 0,1 près).
Corrigé :
1. Figure :
2. Coordonnées de M, milieu de [AC] :
$x_M = \dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{-3+9}{2} = 3$.
$y_M = \dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{-2+4}{2} = 1$.
Les coordonnées sont M(3; 1).
3. Coordonnées des vecteurs :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - (-3) \\ 9 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - (-3) \\ 4 - (-2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix}$.
On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 11 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix}$.
4. Longueur BC :
$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(9 - (-1))^2 + (4-9)^2} = \sqrt{10^2 + (-5)^2} = \sqrt{100+25} = \sqrt{125}$.
$BC \approx 11,2$. La longueur est d'environ 11,2 cm.