Exercices sur : Coordonnées, distances et milieux
Exercice 1 : Triangle isocèle ?
- Dans un repère orthonormé, placer les points $A(2;2)$, $B(-4;5)$ et $C(-4;-2)$.
- Montrer que $AC = \sqrt{52}$.
- Calculer $BC$. Le triangle ABC est-il isocèle en C ?
- Construire K, milieu de [AB]. La droite (CK) est-elle la médiatrice de [AB] ? Justifier.
Corrigé :
1. Figure :
2. $AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(-4-2)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}$.
3. $BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(-4-(-4))^2 + (-2-5)^2} = \sqrt{0^2 + (-7)^2} = \sqrt{49} = 7$.
Comme $AC \neq BC$, le triangle n'est pas isocèle en C.
4. Si (CK) était la médiatrice de [AB], le point C serait équidistant de A et B. Or, on vient de montrer que $AC \neq BC$. Donc, (CK) n'est pas la médiatrice de [AB].
Exercice 2 : Triangle isocèle et aire
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-4;3)$, $B(3;2)$ et $C(1;-2)$.
- Calculer $AB$. On admet que $AC=\sqrt{50}$ et $BC=\sqrt{20}$. Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?
- Soit H le milieu de [BC]. Vérifier par le calcul que H a pour coordonnées (2;0).
- Pourquoi le segment [AH] est-il une hauteur du triangle ABC ?
- Prouver que $AH=3\sqrt{5}$ et calculer l'aire du triangle ABC.
Corrigé :
1. $AB = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$.
Comme $AB = AC = \sqrt{50}$, le triangle ABC est isocèle en A.
2. Coordonnées de H, milieu de [BC] : $x_H = \frac{3+1}{2}=2$ et $y_H = \frac{2+(-2)}{2}=0$. Donc H(2;0).
3. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi une hauteur. Comme ABC est isocèle en A et que H est le milieu de [BC], (AH) est la médiane issue de A, et donc aussi la hauteur issue de A.
4. $AH = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$.
Aire(ABC) = $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{BC \times AH}{2} = \frac{\sqrt{20} \times 3\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{2} = 3 \times 5 = 15$.
L'aire du triangle est de 15 cm².
Exercice 3 : Triangle rectangle et rectangle
On considère les points $A(-2;1)$, $B(-1;3)$ et $C(5;0)$.
- Démontrer que $AB = \sqrt{5}$.
- On admet que $AC=5\sqrt{2}$ et $BC=3\sqrt{5}$. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
- Calculer les coordonnées de K, milieu de [AC].
- On appelle D le point tel que ABCD soit un rectangle. Calculer ses coordonnées.
Corrigé :
1. $AB = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
2. On calcule les carrés des longueurs :
$AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$.
$AB^2 + BC^2 = (\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 = 5 + 9 \times 5 = 5+45=50$.
Comme $AC^2 = AB^2 + BC^2$, d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle en B.
3. Coordonnées de K, milieu de [AC] : $x_K = \frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}$ et $y_K = \frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$. Donc $K(\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.
4. Si ABCD est un rectangle, ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu K.
$x_K = \frac{x_B+x_D}{2} \text{ donc } \frac{3}{2} = \frac{-1+x_D}{2} \text{ donc } 3 = -1+x_D \text{ donc } x_D = 4$.
$y_K = \frac{y_B+y_D}{2} \text{ donc } \frac{1}{2} = \frac{3+y_D}{2} \text{ donc } 1 = 3+y_D \text{ donc } y_D = -2$.
Les coordonnées de D sont (4; -2).
Exercice 4 : Parallélogramme ou rectangle ?
On donne les points $A(-4;3)$, $B(-3;-2)$ et $C(10;6)$.
- Calculer les coordonnées du point M tel que ABMC soit un parallélogramme.
- ABMC est-il un rectangle ? Justifier.
Corrigé :
1. Si ABMC est un parallélogramme, ses diagonales [AM] et [BC] ont le même milieu. Soit P ce milieu.
$x_P = \frac{x_B+x_C}{2} = \frac{-3+10}{2} = \frac{7}{2}$.
$y_P = \frac{y_B+y_C}{2} = \frac{-2+6}{2} = 2$.
P est aussi le milieu de [AM] :
$x_P = \frac{x_A+x_M}{2} \text{ donc } \frac{7}{2} = \frac{-4+x_M}{2} \text{ donc } 7 = -4+x_M \text{ donc } x_M=11$.
$y_P = \frac{y_A+y_M}{2} \text{ donc } 2 = \frac{3+y_M}{2} \text{ donc } 4 = 3+y_M \text{ donc } y_M=1$.
Les coordonnées sont M(11; 1).
2. Un parallélogramme est un rectangle si ses diagonales ont la même longueur. On calcule le carré des longueurs de [AM] et [BC] :
$AM^2 = (11 - (-4))^2 + (1 - 3)^2 = 15^2 + (-2)^2 = 225 + 4 = 229$.
$BC^2 = (10 - (-3))^2 + (6 - (-2))^2 = 13^2 + 8^2 = 169 + 64 = 233$.
Comme $AM^2 \neq BC^2$, les diagonales n'ont pas la même longueur. ABMC n'est pas un rectangle.
Exercice 5 : Nature d'un quadrilatère
On donne les points $A(5;3)$, $B(2;-3)$ et $C(-2;-1)$.
- Quelle est la nature du triangle ABC ?
- Calculer les coordonnées du point D tel que ACBD soit un parallélogramme.
- Quelle est la nature du quadrilatère BCMA (M est défini dans le corrigé) ?
Corrigé :
1. On calcule le carré des longueurs :
$AB^2 = (2-5)^2 + (-3-3)^2 = (-3)^2 + (-6)^2 = 9+36=45$.
$AC^2 = (-2-5)^2 + (-1-3)^2 = (-7)^2 + (-4)^2 = 49+16=65$.
$BC^2 = (-2-2)^2 + (-1-(-3))^2 = (-4)^2 + 2^2 = 16+4=20$.
On a $AB^2+BC^2 = 45+20=65 = AC^2$. D'après la réciproque de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en B.
2. Si ACBD est un parallélogramme, [AB] et [CD] ont le même milieu K.
$K(\frac{5+2}{2}; \frac{3-3}{2}) = K(\frac{7}{2}; 0)$.
$x_K = \frac{x_C+x_D}{2} \text{ donc } \frac{7}{2} = \frac{-2+x_D}{2} \text{ donc } 7 = -2+x_D \text{ donc } x_D = 9$.
$y_K = \frac{y_C+y_D}{2} \text{ donc } 0 = \frac{-1+y_D}{2} \text{ donc } y_D = 1$.
Les coordonnées sont D(9; 1).
3. Le point M est tel que BCMA est un parallélogramme. On trouve M(1;5).
Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Comme ABC est rectangle en B, le parallélogramme BCMA est un rectangle.
Exercice 6 : Orthocentre
On considère les points $A(1;5)$, $B(-2;-1)$, $C(7;-1)$ et $H(1;2)$.
- Déterminer les coordonnées des points D et E tels que ABDC et ACBE soient des parallélogrammes.
- Montrer que le triangle HBE est rectangle en B.
- Montrer que la droite (HB) est la médiatrice du segment [ED].
- Que représente le point H pour le triangle ABC ?
Corrigé :
1. Pour ABDC parallélogramme, les diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu K.
$K(\frac{-2+7}{2}; \frac{-1-1}{2}) = K(\frac{5}{2}; -1)$.
$x_K = \frac{1+x_D}{2} \text{ donc } 5=1+x_D \text{ donc } x_D=4$.
$y_K = \frac{5+y_D}{2} \text{ donc } -2=5+y_D \text{ donc } y_D=-7$. Donc D(4;-7).
Pour ACBE parallélogramme, [AB] et [EC] ont le même milieu L.
$L(\frac{1-2}{2}; \frac{5-1}{2}) = L(-\frac{1}{2}; 2)$.
$x_L = \frac{x_E+7}{2} \text{ donc } -1=x_E+7 \text{ donc } x_E=-8$.
$y_L = \frac{y_E-1}{2} \text{ donc } 4=y_E-1 \text{ donc } y_E=5$. Donc E(-8;5).
2. On calcule le carré des longueurs dans le triangle HBE :
$HE^2 = (-8-1)^2+(5-2)^2 = (-9)^2+3^2=81+9=90$.
$HB^2 = (-2-1)^2+(-1-2)^2 = (-3)^2+(-3)^2=9+9=18$.
$BE^2 = (-8-(-2))^2+(5-(-1))^2 = (-6)^2+6^2=36+36=72$.
On a $HB^2+BE^2 = 18+72=90=HE^2$. D'après la réciproque de Pythagore, HBE est rectangle en B.
3. E, B, D sont alignés et B est le milieu de [ED]. De plus (BH) est perpendiculaire à (BE), donc à (ED). La droite (BH) est donc la médiatrice de [ED].
4. (BH) $\perp$ (AC) car (ED) // (AC) et (BH) $\perp$ (ED). (AH) $\perp$ (BC). H est donc l'orthocentre du triangle ABC.
Exercice 7 : Cercle et trigonométrie
Dans un repère orthonormé d'origine O, on donne les points $A(-3;4)$ et $B(4;3)$.
- Soit $C$ le cercle de centre O passant par A. Démontrer que B appartient à ce cercle $C$.
- Soit E le symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses. Quelles sont les coordonnées de E ? Ce point appartient-il au cercle $C$ ?
- En considérant le triangle BOE, déterminer la valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{BOE}$ puis son arrondi au dixième de degré.
- Placer D, le symétrique de B par rapport à E. Montrer que (AD) // (OE).
- Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.
Corrigé :
1. $OA = \sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. Le rayon de $C$ est 5.
$OB = \sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
Comme OA = OB, le point B appartient au cercle $C$.
2. E symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses, donc il a la même abscisse et l'ordonnée opposée. E(4; -3).
$OE = \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = 5$. Donc E appartient bien au cercle $C$.
3. Dans le triangle BOE, soit H le point de coordonnées (4;0). OHE et OHB sont des triangles rectangles en H. Le triangle BOE est isocèle en O.
On veut l'angle $\widehat{BOE}$. Utilisons le triangle rectangle OHB : $\cos(\widehat{HOB}) = \frac{OH}{OB} = \frac{4}{5}$.
L'angle $\widehat{HOB} \approx 36,9^\circ$, donc $\widehat{BOE} = 2 \times 36,9^\circ \approx 73,7^\circ$.
4. D est le symétrique de B par rapport à E, donc E est le milieu de [BD].
$x_E = \frac{x_B + x_D}{2} \text{ donc } 4 = \frac{4 + x_D}{2} \text{ donc } x_D = 4$.
$y_E = \frac{y_B + y_D}{2} \text{ donc } -3 = \frac{3 + y_D}{2} \text{ donc } y_D = -9$.
Donc $D(4; -9)$.
Calculons les coefficients directeurs des droites (AD) et (OE) :
$m_{AD} = \frac{-9 - 4}{4 - (-3)} = \frac{-13}{7}$.
$m_{OE} = \frac{-3 - 0}{4 - 0} = \frac{-3}{4}$.
Les coefficients directeurs ne sont pas égaux, les droites ne sont donc pas parallèles. (Note : la question de l'énoncé contient une coquille, si D était le symétrique de B par rapport à O, la suite s'appliquerait).
5. Calculons les carrés des longueurs du triangle ABD :
$AB^2 = (4 - (-3))^2 + (3 - 4)^2 = 7^2 + (-1)^2 = 49 + 1 = 50$.
$AD^2 = (4 - (-3))^2 + (-9 - 4)^2 = 7^2 + (-13)^2 = 49 + 169 = 218$.
$BD^2 = (4 - 4)^2 + (-9 - 3)^2 = 0^2 + (-12)^2 = 144$.
Le triangle n'est pas rectangle car $AB^2 + BD^2 = 50 + 144 = 194 \neq 218$. C'est un triangle quelconque.