Exercices sur : La fonction inverse
Exercice 1 : Encadrements
Soit $x$ un nombre réel. Si $1 \le x \le 2$, déterminer un encadrement de :
- $\dfrac{1}{x}$
- $\dfrac{-2}{x}$
- $\dfrac{5}{x}+1$
- $\dfrac{-1}{x-3}$
Corrigé :
La fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0; +\infty\right[$.
1. De $1 \le x \le 2$, on déduit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{1}$, soit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{x} \le 1$.
2. On multiplie l'encadrement précédent par $-2$ (on change le sens des inégalités) :
$-2 \times 1 \le \dfrac{-2}{x} \le -2 \times \dfrac{1}{2}$, soit $-2 \le \dfrac{-2}{x} \le -1$.
3. On repart de $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{x} \le 1$. On multiplie par $5$ puis on ajoute $1$ :
$\dfrac{5}{2} \le \dfrac{5}{x} \le 5$, puis $\dfrac{5}{2}+1 \le \dfrac{5}{x}+1 \le 5+1$, soit $\dfrac{7}{2} \le \dfrac{5}{x}+1 \le 6$.
4. On part de $1 \le x \le 2$. On soustrait $3$ : $-2 \le x-3 \le -1$. Cet intervalle est dans $\left]-\infty; 0\right[$, où la fonction inverse est décroissante.
On inverse en changeant le sens : $\dfrac{1}{-1} \le \dfrac{1}{x-3} \le \dfrac{1}{-2}$.
On multiplie par $-1$ en changeant le sens : $-\dfrac{1}{-2} \le \dfrac{-1}{x-3} \le -\dfrac{1}{-1}$, soit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{-1}{x-3} \le 1$.
Exercice 2 : Étude d'une fonction homographique
On considère la fonction $f$ définie par $f\left(x\right) = \dfrac{2x-1}{x}$.
- Déterminer le domaine de définition de $f$.
- Montrer que $f\left(x\right) = 2 - \dfrac{1}{x}$.
- Étudier les variations de $f$ sur $\left]0; +\infty\right[$ et sur $\left]-\infty; 0\right[$ puis dresser son tableau de variation.
- Étudier la position relative de la courbe de $f$ par rapport à la droite d'équation $y=2$.
Corrigé :
1. La fonction n'est pas définie lorsque son dénominateur est nul, c'est-à-dire pour $x=0$. Le domaine de définition est donc $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
2. On met au même dénominateur : $2 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x-1}{x}$. C'est bien $f\left(x\right)$.
3. Sur $\left]0; +\infty\right[$, la fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante. Donc $x \mapsto -\dfrac{1}{x}$ est croissante. Ajouter $2$ ne change pas les variations. Donc $f$ est croissante sur $\left]0; +\infty\right[$.
De même, sur $\left]-\infty; 0\right[$, $f$ est croissante.
Tableau de variation :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) |
4. On étudie le signe de $f\left(x\right) - 2 = \left(2 - \dfrac{1}{x}\right) - 2 = -\dfrac{1}{x}$.
Si $x>0$, $-\dfrac{1}{x} < 0$, donc la courbe est en dessous de la droite.
Si $x<0$, $-\dfrac{1}{x} > 0$, donc la courbe est au-dessus de la droite.
Exercice 3 : Position relative
On s'intéresse à la position relative des courbes des fonctions $f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}$ et $g\left(x\right) = x^2$.
- Conjecturer graphiquement la position relative de ces deux courbes.
- Montrer que pour tout $x<0$, $f\left(x\right) < g\left(x\right)$.
- Pour $x>0$, étudier le signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right)$ et conclure.
Corrigé :
1. Sur une calculatrice, on observe que pour $x<0$, la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$. Pour $x>0$, elles se coupent en $x=1$. Avant $1$, $f$ est au-dessus, après $1$, $g$ est au-dessus.
2. Si $x<0$, $f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}$ est négatif. $g\left(x\right)=x^2$ est positif. Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif, donc $f(x) < g(x)$.
3. On étudie le signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right) = x^2 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^3-1}{x}$.
Pour $x>0$, le dénominateur $x$ est positif. Le signe de la différence est donc celui de $x^3-1$.
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(x^3-1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| Position relative | \(C_g\) est en dessous de \(C_f\) | intersection | \(C_g\) est au-dessus de \(C_f\) |