La fonction carréThe square functionLa función cuadrado
Exercice 1 : Calculs et antécédentsExercise 1: Calculations and preimagesEjercicio 1: Cálculos y antecedentes
- Développer et simplifier l'expression $\left(\sqrt{5}-7\right)^2$.
- En déduire les antécédents du nombre réel $54 - 14\sqrt{5}$ par la fonction carré.
- Le nombre $3+\sqrt{6}$ est-il un antécédent de $15+3\sqrt{6}$ par la fonction carré ?
- Expand and simplify the expression $\left(\sqrt{5}-7\right)^2$.
- Deduce the preimages of the real number $54 - 14\sqrt{5}$ under the square function.
- Is the number $3+\sqrt{6}$ a preimage of $15+3\sqrt{6}$ under the square function?
- Desarrollar y simplificar la expresión $\left(\sqrt{5}-7\right)^2$.
- Deducir los antecedentes del número real $54 - 14\sqrt{5}$ por la función cuadrado.
- ¿El número $3+\sqrt{6}$ es un antecedente de $15+3\sqrt{6}$ por la función cuadrado?
Corrigé de l'Exercice 1Correction of Exercise 1Corrección del Ejercicio 1
1. En utilisant l'identité remarquable $\left(a-b\right)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$\left(\sqrt{5}-7\right)^2 = \left(\sqrt{5}\right)^2 - 2 \times \sqrt{5} \times 7 + 7^2 = 5 - 14\sqrt{5} + 49 = $ $54 - 14\sqrt{5}$.
2. On cherche $x$ tel que $x^2 = 54 - 14\sqrt{5}$. D'après la question précédente, on sait que $\left(\sqrt{5}-7\right)^2 = 54 - 14\sqrt{5}$.
Donc $x^2 = \left(\sqrt{5}-7\right)^2$. Les solutions sont $x = \sqrt{5}-7$ et $x = -\left(\sqrt{5}-7\right) = 7-\sqrt{5}$.
Les antécédents sont $\sqrt{5}-7$ et $7-\sqrt{5}$.
3. On calcule le carré de $3+\sqrt{6}$ :
$\left(3+\sqrt{6}\right)^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{6} + \left(\sqrt{6}\right)^2 = 9 + 6\sqrt{6} + 6 = 15 + 6\sqrt{6}$.
Comme $15 + 6\sqrt{6} \neq 15 + 3\sqrt{6}$, le nombre $3+\sqrt{6}$ n'est pas un antécédent.
1. Using the remarkable identity $\left(a-b\right)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$\left(\sqrt{5}-7\right)^2 = \left(\sqrt{5}\right)^2 - 2 \times \sqrt{5} \times 7 + 7^2 = 5 - 14\sqrt{5} + 49 = $ $54 - 14\sqrt{5}$.
2. We seek $x$ such that $x^2 = 54 - 14\sqrt{5}$. From the previous question, we know that $\left(\sqrt{5}-7\right)^2 = 54 - 14\sqrt{5}$.
Thus $x^2 = \left(\sqrt{5}-7\right)^2$. The solutions are $x = \sqrt{5}-7$ and $x = -\left(\sqrt{5}-7\right) = 7-\sqrt{5}$.
The preimages are $\sqrt{5}-7$ and $7-\sqrt{5}$.
3. We calculate the square of $3+\sqrt{6}$:
$\left(3+\sqrt{6}\right)^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{6} + \left(\sqrt{6}\right)^2 = 9 + 6\sqrt{6} + 6 = 15 + 6\sqrt{6}$.
Since $15 + 6\sqrt{6} \neq 15 + 3\sqrt{6}$, the number $3+\sqrt{6}$ is not a preimage.
1. Usando la identidad notable $\left(a-b\right)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$\left(\sqrt{5}-7\right)^2 = \left(\sqrt{5}\right)^2 - 2 \times \sqrt{5} \times 7 + 7^2 = 5 - 14\sqrt{5} + 49 = $ $54 - 14\sqrt{5}$.
2. Buscamos $x$ tal que $x^2 = 54 - 14\sqrt{5}$. De la pregunta anterior, sabemos que $\left(\sqrt{5}-7\right)^2 = 54 - 14\sqrt{5}$.
Entonces $x^2 = \left(\sqrt{5}-7\right)^2$. Las soluciones son $x = \sqrt{5}-7$ y $x = -\left(\sqrt{5}-7\right) = 7-\sqrt{5}$.
Los antecedentes son $\sqrt{5}-7$ y $7-\sqrt{5}$.
3. Calculamos el cuadrado de $3+\sqrt{6}$:
$\left(3+\sqrt{6}\right)^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{6} + \left(\sqrt{6}\right)^2 = 9 + 6\sqrt{6} + 6 = 15 + 6\sqrt{6}$.
Como $15 + 6\sqrt{6} \neq 15 + 3\sqrt{6}$, el número $3+\sqrt{6}$ no es un antecedente.
Exercice 2 : EncadrementsExercise 2: BoundsEjercicio 2: Acotaciones
Soit $x$ un nombre réel.
- Sachant que $3 \le x \le 5$, donner un encadrement de $x^2$.
- Sachant que $-6 < x \le -2$, donner un encadrement de $x^2$.
- Sachant que $-4 < x \le 7$, donner un encadrement de $x^2$.
Let $x$ be a real number.
- Knowing that $3 \le x \le 5$, give the bounds of $x^2$.
- Knowing that $-6 < x \le -2$, give the bounds of $x^2$.
- Knowing that $-4 < x \le 7$, give the bounds of $x^2$.
Sea $x$ un número real.
- Sabiendo que $3 \le x \le 5$, dar la acotación de $x^2$.
- Sabiendo que $-6 < x \le -2$, dar la acotación de $x^2$.
- Sabiendo que $-4 < x \le 7$, dar la acotación de $x^2$.
Corrigé de l'Exercice 2Correction of Exercise 2Corrección del Ejercicio 2
1. Si $3 < x \le 7$ :
La fonction carré est croissante sur $\left[0; +\infty\right[$, donc sur $\left[3; 7\right]$. On peut élever au carré en conservant l'ordre.
• $9 < x^2 \le 49$
• On multiplie par 8 : $72 < 8x^2 \le 392$
• On ajoute 3 : $12 < x^2+3 \le 52$
2. Si $-4 \le x < -1$ :
La fonction carré est décroissante sur $\left]-\infty; 0\right]$, donc sur $\left[-4; -1\right]$. On élève au carré en changeant le sens des inégalités.
• $\left(-1\right)^2 < x^2 \le \left(-4\right)^2$, soit $1 < x^2 \le 16$.
• On multiplie par 3 puis on ajoute 4 : $3 < 3x^2 \le 48$, donc $7 < 3x^2+4 \le 52$.
• On multiplie par -1 (on change le sens) puis on ajoute 3 : $-16 \le -x^2 < -1$, donc $-13 \le -x^2+3 < 2$.
1. If $3 < x \le 7$:
The square function is increasing on $\left[0; +\infty\right[$, thus on $\left[3; 7\right]$. We can square while keeping the order.
• $9 < x^2 \le 49$
• We multiply by 8: $72 < 8x^2 \le 392$
• We add 3: $12 < x^2+3 \le 52$
2. If $-4 \le x < -1$:
The square function is decreasing on $\left]-\infty; 0\right]$, thus on $\left[-4; -1\right]$. We square by changing the direction of the inequalities.
• $\left(-1\right)^2 < x^2 \le \left(-4\right)^2$, which is $1 < x^2 \le 16$.
• We multiply by 3 then add 4: $3 < 3x^2 \le 48$, thus $7 < 3x^2+4 \le 52$.
• We multiply by -1 (we change the direction) then add 3: $-16 \le -x^2 < -1$, thus $-13 \le -x^2+3 < 2$.
1. Si $3 < x \le 7$:
La función cuadrado es creciente en $\left[0; +\infty\right[$, por lo tanto en $\left[3; 7\right]$. Podemos elevar al cuadrado conservando el orden.
• $9 < x^2 \le 49$
• Multiplicamos por 8: $72 < 8x^2 \le 392$
• Sumamos 3: $12 < x^2+3 \le 52$
2. Si $-4 \le x < -1$:
La función cuadrado es decreciente en $\left]-\infty; 0\right]$, por lo tanto en $\left[-4; -1\right]$. Elevamos al cuadrado cambiando el sentido de las desigualdades.
• $\left(-1\right)^2 < x^2 \le \left(-4\right)^2$, o sea $1 < x^2 \le 16$.
• Multiplicamos por 3 y luego sumamos 4: $3 < 3x^2 \le 48$, por lo tanto $7 < 3x^2+4 \le 52$.
• Multiplicamos por -1 (cambiamos el sentido) y luego sumamos 3: $-16 \le -x^2 < -1$, por lo tanto $-13 \le -x^2+3 < 2$.
Exercice 3 : Équations et inéquations
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2 - 18 = 0$.
- En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l'équation $2x^4 - 18 = 0$.
- Étudier le signe de $f\left(x\right) = 2x^2 - 18$ à l'aide d'un tableau de signes.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2x^4 - 18 \ge 0$.
Corrigé de l'Exercice 3Correction of Exercise 3Corrección del Ejercicio 3
1. $2x^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 = 18 \Leftrightarrow x^2 = 9$. Les solutions sont $x=3$ et $x=-3$.
2. $2x^4 - 18 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 9$. En posant $X=x^2$, on a $X^2=9$, donc $X=3$ ou $X=-3$.
$x^2=3$ donne $x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}$.
$x^2=-3$ n'a pas de solution réelle. Les solutions sont donc $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$.
3. Pour étudier le signe de $f\left(x\right) = 2x^2 - 18$, on factorise l'expression : $f\left(x\right) = 2\left(x^2 - 9\right) = 2\left(x-3\right)\left(x+3\right)$. On étudie ensuite le signe de chaque facteur.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x+3\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x-3\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
4. $2x^4-18 \ge 0 \Leftrightarrow x^4 \ge 9 \Leftrightarrow x^2 \ge 3$ (car $x^2 \ge 0$).
Cela est vrai pour $x \ge \sqrt{3}$ ou $x \le -\sqrt{3}$.
L'ensemble des solutions est $\left]-\infty; -\sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}; +\infty\right[$.
1. $2x^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 = 18 \Leftrightarrow x^2 = 9$. The solutions are $x=3$ and $x=-3$.
2. $2x^4 - 18 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 9$. By letting $X=x^2$, we have $X^2=9$, so $X=3$ or $X=-3$.
$x^2=3$ yields $x=\sqrt{3}$ or $x=-\sqrt{3}$.
$x^2=-3$ has no real solution. The solutions are therefore $\sqrt{3}$ and $-\sqrt{3}$.
3. To study the sign of $f\left(x\right) = 2x^2 - 18$, we factor the expression: $f\left(x\right) = 2\left(x^2 - 9\right) = 2\left(x-3\right)\left(x+3\right)$. We then study the sign of each factor.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x+3\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x-3\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
4. $2x^4-18 \ge 0 \Leftrightarrow x^4 \ge 9 \Leftrightarrow x^2 \ge 3$ (because $x^2 \ge 0$).
This is true for $x \ge \sqrt{3}$ or $x \le -\sqrt{3}$.
The set of solutions is $\left]-\infty; -\sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}; +\infty\right[$.
1. $2x^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 = 18 \Leftrightarrow x^2 = 9$. Las soluciones son $x=3$ y $x=-3$.
2. $2x^4 - 18 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 9$. Sustituyendo $X=x^2$, tenemos $X^2=9$, luego $X=3$ o $X=-3$.
$x^2=3$ da $x=\sqrt{3}$ o $x=-\sqrt{3}$.
$x^2=-3$ no tiene solución real. Las soluciones son por lo tanto $\sqrt{3}$ y $-\sqrt{3}$.
3. Para estudiar el signo de $f\left(x\right) = 2x^2 - 18$, factorizamos la expresión: $f\left(x\right) = 2\left(x^2 - 9\right) = 2\left(x-3\right)\left(x+3\right)$. Luego estudiamos el signo de cada factor.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}1}x+3\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x-3\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
4. $2x^4-18 \ge 0 \Leftrightarrow x^4 \ge 9 \Leftrightarrow x^2 \ge 3$ (ya que $x^2 \ge 0$).
Esto es cierto para $x \ge \sqrt{3}$ o $x \le -\sqrt{3}$.
El conjunto de soluciones es $\left]-\infty; -\sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}; +\infty\right[$.
Exercice 4 : Formes d'une fonctionExercise 4: Forms of a functionEjercicio 4: Formas de una función
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right) = 2\left(x-3\right)^2 - 18$.
- Déterminer la forme développée de $f$.
- Déterminer la forme factorisée de $f$.
- Étudier le signe de $f\left(x\right)$ et en déduire la position de sa courbe par rapport à l'axe des abscisses.
Consider the function $f$ defined on $\mathbb{R}$ by $f\left(x\right) = 2\left(x-3\right)^2 - 18$.
- Determine the expanded form of $f$.
- Determine the factored form of $f$.
- Study the sign of $f\left(x\right)$ and deduce the position of its curve relative to the x-axis.
Se considera la función $f$ definida en $\mathbb{R}$ por $f\left(x\right) = 2\left(x-3\right)^2 - 18$.
- Determinar la forma desarrollada de $f$.
- Determinar la forma factorizada de $f$.
- Estudiar el signo de $f\left(x\right)$ y deducir la posición de su curva con respecto al eje de abscisas.
Corrigé de l'Exercice 4Correction of Exercise 4Corrección del Ejercicio 4
1. Forme développée :
$f\left(x\right) = 2\left(x^2 - 6x + 9\right) - 18 = 2x^2 - 12x + 18 - 18 = $ $2x^2 - 12x$.
2. Forme factorisée :
À partir de la forme développée : $f\left(x\right) = 2x\left(x-6\right)$.
À partir de la forme canonique : $f\left(x\right) = 2\left[\left(x-3\right)^2 - 9\right] = 2\left[\left(x-3\right)-3\right]\left[\left(x-3\right)+3\right] = 2\left(x-6\right)x$.
La forme factorisée est $f(x)=2x(x-6)$.
3. Pour étudier le signe de $f\left(x\right)$, on utilise sa forme factorisée $f\left(x\right)=2x\left(x-6\right)$. Les racines sont $x=0$ et $x=6$.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(6\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}2}x\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x-6\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
La courbe $C_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x \in \left]-\infty; 0\right[ \cup \left]6; +\infty\right[$.
Elle est en dessous pour $x \in \left]0; 6\right[$.
1. Expanded form:
$f\left(x\right) = 2\left(x^2 - 6x + 9\right) - 18 = 2x^2 - 12x + 18 - 18 = $ $2x^2 - 12x$.
2. Factored form:
From the expanded form: $f\left(x\right) = 2x\left(x-6\right)$.
From the vertex form: $f\left(x\right) = 2\left[\left(x-3\right)^2 - 9\right] = 2\left[\left(x-3\right)-3\right]\left[\left(x-3\right)+3\right] = 2\left(x-6\right)x$.
The factored form is $f(x)=2x(x-6)$.
3. To study the sign of $f\left(x\right)$, we use its factored form $f\left(x\right)=2x\left(x-6\right)$. The roots are $x=0$ and $x=6$.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(6\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}2}x\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x-6\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
The curve $C_f$ is above the x-axis for $x \in \left]-\infty; 0\right[ \cup \left]6; +\infty\right[$.
It is below for $x \in \left]0; 6\right[$.
1. Forma desarrollada:
$f\left(x\right) = 2\left(x^2 - 6x + 9\right) - 18 = 2x^2 - 12x + 18 - 18 = $ $2x^2 - 12x$.
2. Forma factorizada:
A partir de la forma desarrollada: $f\left(x\right) = 2x\left(x-6\right)$.
A partir de la forma canónica: $f\left(x\right) = 2\left[\left(x-3\right)^2 - 9\right] = 2\left[\left(x-3\right)-3\right]\left[\left(x-3\right)+3\right] = 2\left(x-6\right)x$.
La forma factorizada es $f(x)=2x(x-6)$.
3. Para estudiar el signo de $f\left(x\right)$, usamos su forma factorizada $f\left(x\right)=2x\left(x-6\right)$. Las raíces son $x=0$ y $x=6$.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(6\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \({\color{red}2}x\) | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | | | \(\color{red}{+}\) | ||
| \({\color{red}1}x-6\) | \(-\) | | | \(-\) | \(0\) | \(\color{red}{+}\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
La curva $C_f$ está por encima del eje de abscisas para $x \in \left]-\infty; 0\right[ \cup \left]6; +\infty\right[$.
Está por debajo para $x \in \left]0; 6\right[$.