Exercices sur : La fonction affine
Exercice 1 : Tracer une fonction affine
Tracer dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions affines suivantes :
- $f(x) = 2x - 3$
- $g(x) = -x + 4$
- $h(x) = \frac{1}{2}x + 1$
- $i(x) = -3x - 2$
- $j(x) = 3$
Corrigé :
Pour tracer la représentation graphique d'une fonction affine (qui est une droite), il suffit de déterminer les coordonnées de deux points appartenant à cette droite.
-
Pour $f(x) = 2x - 3$ : $f(0) = -3$ et $f(2) = 1$. La droite passe par les points $(0 ; -3)$ et $(2 ; 1)$.
-
Pour $g(x) = -x + 4$ : $g(0) = 4$ et $g(4) = 0$. La droite passe par les points $(0 ; 4)$ et $(4 ; 0)$.
-
Pour $h(x) = \frac{1}{2}x + 1$ : $h(0) = 1$ et $h(2) = 2$. La droite passe par les points $(0 ; 1)$ et $(2 ; 2)$.
-
Pour $i(x) = -3x - 2$ : $i(0) = -2$ et $i(-1) = 1$. La droite passe par les points $(0 ; -2)$ et $(-1 ; 1)$.
-
Pour $j(x) = 3$ : C'est une fonction constante, la droite est parallèle à l'axe des abscisses et passe par $(0 ; 3)$.
Exercice 2 : Tableaux de variations et racines
Pour chacune des fonctions affines suivantes, déterminer la valeur de la racine, puis dresser le tableau de variations complet en y incluant la racine.
- $f(x) = 3x - 6$
- $g(x) = -2x + 5$
- $h(x) = \frac{2}{3}x + 4$
- $i(x) = -x - 7$
Corrigé :
1. $f(x) = 3x - 6$
Le coefficient directeur est $a = 3 > 0$, donc la fonction est strictement croissante.
Racine : $3x - 6 = 0 \iff 3x = 6 \iff$ $x = 2$.
| $x$ | $-\infty$ | $2$ | $+\infty$ |
| $f(x)$ | 0 | ||
2. $g(x) = -2x + 5$
Le coefficient directeur est $a = -2 < 0$, donc la fonction est strictement décroissante.
Racine : $-2x + 5 = 0 \iff -2x = -5 \iff$ $x = \frac{5}{2}$.
| $x$ | $-\infty$ | $\frac{5}{2}$ | $+\infty$ |
| $g(x)$ | 0 | ||
3. $h(x) = \frac{2}{3}x + 4$
Le coefficient directeur est $a = \frac{2}{3} > 0$, donc la fonction est strictement croissante.
Racine : $\frac{2}{3}x + 4 = 0 \iff \frac{2}{3}x = -4 \iff x = -4 \times \frac{3}{2} \iff$ $x = -6$.
| $x$ | $-\infty$ | $-6$ | $+\infty$ |
| $h(x)$ | 0 | ||
4. $i(x) = -x - 7$
Le coefficient directeur est $a = -1 < 0$, donc la fonction est strictement décroissante.
Racine : $-x - 7 = 0 \iff -x = 7 \iff$ $x = -7$.
| $x$ | $-\infty$ | $-7$ | $+\infty$ |
| $i(x)$ | 0 | ||
Exercice 3 : Calculs d'images et d'antécédents
Soit la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -4x + 6$.
- Calculer l'image de $3$, de $-2$ et de $\frac{1}{2}$.
- Déterminer l'antécédent de $14$ et de $0$.
- Le point $A(5 ; -14)$ appartient-il à la courbe représentative de la fonction $f$ ?
Corrigé :
1. L'image de $3$ est $f(3) = -4 \times 3 + 6 = -12 + 6 = -6$.
L'image de $-2$ est $f(-2) = -4 \times (-2) + 6 = 8 + 6 = 14$.
L'image de $\frac{1}{2}$ est $f\left(\frac{1}{2}\right) = -4 \times \frac{1}{2} + 6 = -2 + 6 = 4$.
2. Pour déterminer l'antécédent de $14$, on résout l'équation $f(x) = 14$ :
$-4x + 6 = 14 \iff -4x = 8 \iff x = \frac{8}{-4} =$ $-2$. (On retrouve le résultat de la question 1).
Pour déterminer l'antécédent de $0$, on résout l'équation $f(x) = 0$ :
$-4x + 6 = 0 \iff -4x = -6 \iff x = \frac{-6}{-4} =$ $\frac{3}{2}$.
3. Le point $A(5 ; -14)$ appartient à la courbe si $f(5) = -14$.
$f(5) = -4 \times 5 + 6 = -20 + 6 = -14$.
Oui, le point $A$ appartient à la droite.
Exercice 4 : Signe d'une fonction affine et inéquations
- Résoudre l'inéquation $5x - 15 \ge 0$.
- Dresser le tableau de signes de la fonction $g$ définie par $g(x) = -3x + 12$.
- À l'aide d'un tableau de signes, résoudre l'inéquation $(2x + 6)(-x + 4) > 0$.
Corrigé :
1. $5x - 15 \ge 0 \iff 5x \ge 15 \iff x \ge \frac{15}{5} \iff x \ge 3$.
L'ensemble des solutions est $S = [3 ; +\infty[$.
2. On cherche la racine : $-3x + 12 = 0 \iff -3x = -12 \iff x = 4$.
Le coefficient de $x$ est $a = -3 < 0$. La règle des signes dit que l'on met le signe de $a$ à droite du zéro.
| $x$ | $-\infty$ | $4$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $-3x+12$ | $+$ | $0$ | $-$ |
3. On détermine les racines de chaque facteur :
$2x + 6 = 0 \iff 2x = -6 \iff x = -3$
$-x + 4 = 0 \iff -x = -4 \iff x = 4$
| $x$ | $-\infty$ | $-3$ | $4$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $2x+6$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $+$ | ||
| $-x+4$ | $+$ | | | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| Produit | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
On cherche où le produit est strictement positif ($> 0$).
L'ensemble des solutions est $S = ]-3 ; 4[$.
Exercice 5 : Déterminer l'expression d'une fonction affine
Déterminer l'expression algébrique de la fonction affine $f(x) = ax + b$ dans chacun des cas suivants :
- $f(2) = 5$ et $f(4) = 9$.
- $f(-1) = 3$ et $f(2) = -6$.
- La fonction $f$ a pour coefficient directeur $3$ et vérifie $f(1) = 2$.
- La droite représentative de $f$ a pour coefficient directeur $-2$ et passe par le point $A(4 ; -5)$.
- La fonction $f$ a pour ordonnée à l'origine $4$ et vérifie $f(3) = 10$.
- La droite représentative de $f$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $-3$ et passe par le point $B(-2 ; 1)$.
- La droite représentative de $f$ est parallèle à la droite d'équation $y = 5x - 2$ et $f(-1) = 4$.
- La droite représentative de $f$ coupe l'axe des abscisses en $x = 2$ et l'axe des ordonnées en $y = 6$.
Corrigé :
1. $f(2) = 5$ et $f(4) = 9$
Calcul du coefficient directeur $a$ :
$a = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Donc $f(x) = 2x + b$. On utilise $f(2) = 5$ pour trouver $b$ :
$2 \times 2 + b = 5 \iff 4 + b = 5 \iff b = 1$.
L'expression de la fonction est : $f(x) = 2x + 1$.
2. $f(-1) = 3$ et $f(2) = -6$
$a = \frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{-6 - 3}{2 + 1} = \frac{-9}{3} = -3$.
Donc $f(x) = -3x + b$. On utilise $f(-1) = 3$ :
$-3 \times (-1) + b = 3 \iff 3 + b = 3 \iff b = 0$.
L'expression de la fonction est : $f(x) = -3x$ (c'est une fonction linéaire).
3. Coefficient directeur $a = 3$
Donc $f(x) = 3x + b$. On utilise $f(1) = 2$ :
$3 \times 1 + b = 2 \iff 3 + b = 2 \iff b = -1$.
L'expression de la fonction est : $f(x) = 3x - 1$.
4. Coefficient directeur $a = -2$ et la droite passe par $A(4 ; -5)$, ce qui signifie que $f(4) = -5$.
Donc $f(x) = -2x + b$. On utilise $f(4) = -5$ :
$-2 \times 4 + b = -5 \iff -8 + b = -5 \iff b = 3$.
L'expression de la fonction est : $f(x) = -2x + 3$.
5. Ordonnée à l'origine $b = 4$
Donc $f(x) = ax + 4$. On utilise $f(3) = 10$ :
$a \times 3 + 4 = 10 \iff 3a = 6 \iff a = 2$.
L'expression de la fonction est : $f(x) = 2x + 4$.
6. Coupe l'axe des ordonnées en $-3$, donc l'ordonnée à l'origine est $b = -3$. La droite passe par $B(-2 ; 1)$, donc $f(-2) = 1$.
Donc $f(x) = ax - 3$. On utilise $f(-2) = 1$ :
$a \times (-2) - 3 = 1 \iff -2a = 4 \iff a = -2$.
L'expression de la fonction est : $f(x) = -2x - 3$.
7. La droite est parallèle à la droite d'équation $y = 5x - 2$. Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur, donc $a = 5$.
Donc $f(x) = 5x + b$. On utilise $f(-1) = 4$ :
$5 \times (-1) + b = 4 \iff -5 + b = 4 \iff b = 9$.
L'expression de la fonction est : $f(x) = 5x + 9$.
8. Coupe l'axe des abscisses en $x = 2$ signifie que $f(2) = 0$ (c'est la racine). Coupe l'axe des ordonnées en $y = 6$ signifie que l'ordonnée à l'origine est $b = 6$.
Donc $f(x) = ax + 6$. On utilise $f(2) = 0$ :
$a \times 2 + 6 = 0 \iff 2a = -6 \iff a = -3$.
L'expression de la fonction est : $f(x) = -3x + 6$.