Exercices sur les généralités sur les fonctions
Exercice 1 : Domaines de définition
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
- $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$
- $g(x) = \sqrt{x+4}$
- $h(x) = \dfrac{5}{\sqrt{2x-6}}$
- $i(x) = \dfrac{3x}{x^2-4}$
- $j(x) = \sqrt{-3x+12}$
Corrigé :
- $f(x)$ existe si le dénominateur est non nul :
$x - 3 \neq 0 \iff x \neq 3$.
Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ ou $D_f = ]-\infty ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[$. - $g(x)$ existe si l'expression sous la racine est positive ou nulle :
$x + 4 \ge 0 \iff x \ge -4$.
Donc $D_g = [-4 ; +\infty[$. - $h(x)$ existe si l'expression sous la racine est strictement positive (car au dénominateur) :
$2x - 6 > 0 \iff 2x > 6 \iff x > 3$.
Donc $D_h = ]3 ; +\infty[$. - $i(x)$ existe si le dénominateur est non nul :
$x^2 - 4 \neq 0 \iff (x-2)(x+2) \neq 0 \iff x \neq 2$ et $x \neq -2$.
Donc $D_i = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}$ ou $D_i = ]-\infty ; -2[ \cup ]-2 ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$. - $j(x)$ existe si l'expression sous la racine est positive ou nulle :
$-3x + 12 \ge 0 \iff -3x \ge -12 \iff x \le 4$ (attention, on divise par $-3$ qui est négatif, le sens change).
Donc $D_j = ]-\infty ; 4]$.
Exercice 2 : Lecture d'images
Ci-contre, on donne la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$.
Déterminer graphiquement les valeurs suivantes (si elles existent) :
- L'image de $-2$ par $f$
- $f(1)$
- $f(3)$
- L'image de $4$ par $f$
- $f(-4)$
Corrigé :
Pour lire l'image de $x$, on se place sur l'axe des abscisses (horizontal) en $x$, on rejoint verticalement la courbe, puis on lit l'ordonnée correspondante (axe vertical).
- Le point de la courbe d'abscisse $-2$ a pour ordonnée $0$. L'image de $-2$ est donc $0$.
- Le point de la courbe d'abscisse $1$ a pour ordonnée $-1$. Donc $f(1) = -1$.
- Le point de la courbe d'abscisse $3$ a pour ordonnée $2$. Donc $f(3) = 2$.
- Le point de la courbe d'abscisse $4$ a pour ordonnée $-4$. L'image de $4$ est $-4$.
- Il n'y a pas de courbe au-dessus ou en dessous de l'abscisse $-4$ (la courbe s'arrête à $x=-3$). Donc $-4$ n'a pas d'image par $f$ (ou bien $f(-4)$ n'existe pas).
Exercice 3 : Lecture d'antécédents
Ci-contre, on donne la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$.
Déterminer graphiquement les éventuels antécédents des valeurs suivantes :
- Les antécédents de $-2$
- Les antécédents de $0$
- Les antécédents de $2$
- Les antécédents de $4$
- Les antécédents de $-4$
Corrigé :
Pour trouver les antécédents d'un nombre $k$, on trace une droite horizontale au niveau $y = k$. Les antécédents sont les abscisses des points d'intersection entre cette droite et la courbe.
- La droite horizontale en $y = -2$ coupe la courbe en deux points d'abscisses approximatives $-3,5$ et $0$. Les antécédents de $-2$ sont $\{-3,5 ; 0\}$.
- La droite horizontale en $y = 0$ (l'axe des abscisses) coupe la courbe en trois points d'abscisses approximatives $-3,2$, $-1$ et $1$. Les antécédents de $0$ sont $\{-3,2 ; -1 ; 1\}$.
- La droite horizontale en $y = 2$ coupe la courbe en deux sommets d'abscisses $-2$ et $2$. Les antécédents de $2$ sont $-2$ et $2$.
- La droite horizontale en $y = 4$ coupe la courbe en un seul point d'abscisse $4$. Le seul antécédent de $4$ est $4$.
- La droite horizontale en $y = -4$ ne coupe pas la courbe (qui s'arrête à $y=-3$ à gauche). Donc $-4$ n'admet aucun antécédent.
Exercice 4 : Tableau de variation et valeur interdite
Ci-contre, on donne la courbe représentative $\mathcal{C}_h$ d'une fonction $h$.
Dresser le tableau de variation de la fonction $h$. Penser à indiquer l'éventuelle valeur interdite.
Corrigé :
La fonction est définie sur $[-5 ; 1[ \cup ]1 ; 5]$. L'abscisse $x=1$ est une valeur interdite, signalée par une double barre dans le tableau.
| $x$ | $-5$ | $-2$ | $1$ | $3$ | $5$ | ||||
| $h(x)$ | $-4$ | $-1$ |
|
$2$ | $4$ |
Exercice 5 : Lecture d'extremums sur différents intervalles
Ci-contre, on donne la courbe représentative $\mathcal{C}_k$ d'une fonction $k$ définie sur $[-4 ; 5]$.
Déterminer graphiquement les extremums (maximum ou minimum) demandés et pour quelle(s) valeur(s) de $x$ ils sont atteints :
- Le maximum de $k$ sur son domaine de définition $[-4 ; 5]$
- Le minimum de $k$ sur son domaine de définition $[-4 ; 5]$
- Le maximum de $k$ sur l'intervalle $[-4 ; 0]$
- Le minimum de $k$ sur l'intervalle $[0 ; 5]$
- Le maximum de $k$ sur l'intervalle $[-1 ; 2]$
Corrigé :
- Sur tout son domaine, le point le plus haut de la courbe est atteint pour $x = -2$. Le maximum est de $3$, atteint en $x = -2$.
- Sur tout son domaine, le point le plus bas de la courbe est atteint pour $x = 1$. Le minimum est de $-4$, atteint en $x = 1$.
- Si on ne regarde la courbe que sur $[-4 ; 0]$ (c'est-à-dire les abscisses négatives), le point le plus haut est toujours le même. Le maximum est de $3$, atteint en $x = -2$.
- Si on ne regarde la courbe que sur $[0 ; 5]$, le point le plus bas est atteint pour $x=1$. Le minimum est donc de $-4$, atteint en $x = 1$.
- Si on ne regarde que la portion de courbe entre $x=-1$ et $x=2$, la fonction est d'abord décroissante puis légèrement croissante. Le point le plus haut sur ce petit bout de courbe correspond à $x=-1$ (car $f(-1) \approx 0$), ou bien à $x=2$ (car $f(2) \approx -1$). Ici, graphiquement, le maximum sur $[-1 ; 2]$ se trouve au bord gauche, à $x=-1$, et vaut $0$.