Inéquations quotientsQuotient InequalitiesInecuaciones cocientes

a) $\dfrac{2x - 4}{x + 3} \ge 0$
Valeur interdite : $x + 3 eq 0 \iff x eq -3$.
Racine du numérateur : $2x - 4 = 0 \iff x = 2$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & 2 & & +\infty \\ \hline \text{Signe de } 2x - 4 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline \text{Signe de } x + 3 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline \text{Quotient} & & + & || & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = ]-\infty ; -3[ \cup [2 ; +\infty[$

b) $\dfrac{-3x + 9}{2x - 1} < 0$
Valeur interdite : $2x - 1 eq 0 \iff x eq \frac{1}{2}$.
Racine du numérateur : $-3x + 9 = 0 \iff x = 3$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccc|} \hline x & -\infty & & \frac{1}{2} & & 3 & & +\infty \\ \hline \text{Signe de } -3x + 9 & & + & | & + & 0 & - & \\ \hline \text{Signe de } 2x - 1 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline \text{Quotient} & & - & || & + & 0 & - & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = \left]-\infty ; \frac{1}{2}\right[ \cup ]3 ; +\infty[$

c) $\dfrac{5 - x}{x + 2} \le 0$
Valeur interdite : $x eq -2$. Racine numérateur : $x = 5$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 5 & & +\infty \\ \hline \text{Signe de } 5 - x & & + & | & + & 0 & - & \\ \hline \text{Signe de } x + 2 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline \text{Quotient} & & - & || & + & 0 & - & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = ]-\infty ; -2[ \cup [5 ; +\infty[$

d) $\dfrac{4x + 8}{-x + 5} > 0$
Valeur interdite : $x eq 5$. Racine numérateur : $x = -2$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 5 & & +\infty \\ \hline \text{Signe de } 4x + 8 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline \text{Signe de } -x + 5 & & + & | & + & 0 & - & \\ \hline \text{Quotient} & & - & 0 & + & || & - & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = ]-2 ; 5[$

e) $\dfrac{x}{2x - 3} \le 0$
Valeur interdite : $x eq \frac{3}{2}$. Racine numérateur : $x = 0$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & \frac{3}{2} & & +\infty \\ \hline \text{Signe de } x & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline \text{Signe de } 2x - 3 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline \text{Quotient} & & + & 0 & - & || & + & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = \left[0 ; \frac{3}{2}\right[$

a) $\dfrac{(x - 1)(x + 4)}{2x + 6} \ge 0$
Valeur interdite : $x eq -3$. Racines numérateur : $x = 1$ et $x = -4$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -4 & & -3 & & 1 & & +\infty \\ \hline x - 1 & & - & | & - & | & - & 0 & + & \\ \hline x + 4 & & - & 0 & + & | & + & | & + & \\ \hline 2x + 6 & & - & | & - & 0 & + & | & + & \\ \hline \text{Quotient} & & - & 0 & + & || & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = [-4 ; -3[ \cup [1 ; +\infty[$

b) $\dfrac{2x - 5}{(x + 1)(x - 3)} < 0$
Valeurs interdites : $x eq -1$ et $x eq 3$. Racine numérateur : $x = \frac{5}{2}$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & \frac{5}{2} & & 3 & & +\infty \\ \hline 2x - 5 & & - & | & - & 0 & + & | & + & \\ \hline x + 1 & & - & 0 & + & | & + & | & + & \\ \hline x - 3 & & - & | & - & | & - & 0 & + & \\ \hline \text{Quotient} & & - & || & + & 0 & - & || & + & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = ]-\infty ; -1[ \cup \left]\frac{5}{2} ; 3\right[$

c) $\dfrac{x(x + 2)}{-x + 4} \le 0$
Valeur interdite : $x eq 4$. Racines numérateur : $x = 0$ et $x = -2$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 0 & & 4 & & +\infty \\ \hline x & & - & | & - & 0 & + & | & + & \\ \hline x + 2 & & - & 0 & + & | & + & | & + & \\ \hline -x + 4 & & + & | & + & | & + & 0 & - & \\ \hline \text{Quotient} & & + & 0 & - & 0 & + & || & - & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = [-2 ; 0] \cup ]4 ; +\infty[$

d) $\dfrac{(2x + 1)(x - 2)}{(x + 3)(x - 5)} > 0$
Valeurs interdites : $x eq -3$ et $x eq 5$. Racines numérateur : $x = -\frac{1}{2}$ et $x = 2$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & -\frac{1}{2} & & 2 & & 5 & & +\infty \\ \hline 2x + 1 & & - & | & - & 0 & + & | & + & | & + & \\ \hline x - 2 & & - & | & - & | & - & 0 & + & | & + & \\ \hline x + 3 & & - & 0 & + & | & + & | & + & | & + & \\ \hline x - 5 & & - & | & - & | & - & | & - & 0 & + & \\ \hline \text{Quotient} & & + & || & - & 0 & + & 0 & - & || & + & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = ]-\infty ; -3[ \cup \left]-\frac{1}{2} ; 2\right[ \cup ]5 ; +\infty[$

e) $\dfrac{x^2 - 4}{x + 1} \le 0$
On factorise : $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 1} \le 0$. Valeur interdite : $x eq -1$. Racines numérateur : $x = 2, x = -2$.
Tableau de signes :
$ \begin{array}{|l|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & -1 & & 2 & & +\infty \\ \hline x - 2 & & - & | & - & | & - & 0 & + & \\ \hline x + 2 & & - & 0 & + & | & + & | & + & \\ \hline x + 1 & & - & | & - & 0 & + & | & + & \\ \hline \text{Quotient} & & - & 0 & + & || & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} $
$\mathcal{S} = ]-\infty ; -2] \cup ]-1 ; 2]$

a) $\dfrac{2x + 1}{x - 3} - 2 \ge 0$
$\iff \dfrac{2x + 1 - 2(x - 3)}{x - 3} \ge 0 \iff \dfrac{2x + 1 - 2x + 6}{x - 3} \ge 0 \iff \dfrac{7}{x - 3} \ge 0$.
Comme $7 > 0$, le quotient est positif ssi $x - 3 > 0 \iff x > 3$.
$\mathcal{S} = ]3 ; +\infty[$

b) $\dfrac{3x - 1}{x + 2} - 1 < 0$
$\iff \dfrac{3x - 1 - (x + 2)}{x + 2} < 0 \iff \dfrac{3x - 1 - x - 2}{x + 2} < 0 \iff \dfrac{2x - 3}{x + 2} < 0$.
Racine numérateur : $x = \frac{3}{2}$. Valeur interdite : $x = -2$. Tableau de signes...
$\mathcal{S} = \left]-2 ; \frac{3}{2}\right[$

c) $\dfrac{x - 4}{2x - 1} + 1 \le 0$
$\iff \dfrac{x - 4 + 2x - 1}{2x - 1} \le 0 \iff \dfrac{3x - 5}{2x - 1} \le 0$.
Racine numérateur : $x = \frac{5}{3}$. Valeur interdite : $x = \frac{1}{2}$.
$\mathcal{S} = \left]\frac{1}{2} ; \frac{5}{3}\right]$

d) $\dfrac{4x}{x + 1} - 3 > 0$
$\iff \dfrac{4x - 3(x + 1)}{x + 1} > 0 \iff \dfrac{4x - 3x - 3}{x + 1} > 0 \iff \dfrac{x - 3}{x + 1} > 0$.
Racine numérateur : $x = 3$. Valeur interdite : $x = -1$.
$\mathcal{S} = ]-\infty ; -1[ \cup ]3 ; +\infty[$

e) $\dfrac{2 - x}{x - 1} - 2 \ge 0$
$\iff \dfrac{2 - x - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0 \iff \dfrac{2 - x - 2x + 2}{x - 1} \ge 0 \iff \dfrac{-3x + 4}{x - 1} \ge 0$.
Racine numérateur : $x = \frac{4}{3}$. Valeur interdite : $x = 1$.
$\mathcal{S} = \left]1 ; \frac{4}{3}\right]$

a) $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1} \ge 0$
$\iff \dfrac{(x + 1) - x}{x(x + 1)} \ge 0 \iff \dfrac{1}{x(x + 1)} \ge 0$.
Racines dénominateur : $0$ et $-1$. Le numérateur $1$ est positif.
$\mathcal{S} = ]-\infty ; -1[ \cup ]0 ; +\infty[$

b) $\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 2} < 0$
$\iff \dfrac{2(x + 2) - 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} < 0 \iff \dfrac{2x + 4 - 3x + 3}{(x - 1)(x + 2)} < 0 \iff \dfrac{-x + 7}{(x - 1)(x + 2)} < 0$.
Racine numérateur : $x = 7$. Valeurs interdites : $1$ et $-2$.
$\mathcal{S} = ]-2 ; 1[ \cup ]7 ; +\infty[$

c) $\dfrac{x}{x + 2} - \dfrac{x - 1}{x + 1} \le 0$
$\iff \dfrac{x(x + 1) - (x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x + 1)} \le 0 \iff \dfrac{x^2 + x - (x^2 + 2x - x - 2)}{(x + 2)(x + 1)} \le 0 \iff \dfrac{2}{(x + 2)(x + 1)} \le 0$.
Le numérateur $2$ est positif, on cherche donc où le dénominateur est négatif.
$\mathcal{S} = ]-2 ; -1[$

d) $\dfrac{x + 1}{x - 2} - \dfrac{x - 1}{x + 2} > 0$
$\iff \dfrac{(x + 1)(x + 2) - (x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} > 0 \iff \dfrac{(x^2 + 3x + 2) - (x^2 - 3x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} > 0 \iff \dfrac{6x}{(x - 2)(x + 2)} > 0$.
Racine numérateur : $x = 0$. Valeurs interdites : $2, -2$.
$\mathcal{S} = ]-2 ; 0[ \cup ]2 ; +\infty[$

e) $\dfrac{2x}{x - 1} - \dfrac{2x + 1}{x} \ge 0$
$\iff \dfrac{2x(x) - (2x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)} \ge 0 \iff \dfrac{2x^2 - (2x^2 - 2x + x - 1)}{x(x - 1)} \ge 0 \iff \dfrac{x + 1}{x(x - 1)} \ge 0$.
Racine numérateur : $x = -1$. Valeurs interdites : $0, 1$.
$\mathcal{S} = [-1 ; 0[ \cup ]1 ; +\infty[$

a) $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{2(x - 3)} \ge 0$
Valeur interdite : $x = 3$. Pour $x eq 3$, cela revient à $\dfrac{x + 3}{2} \ge 0 \iff x + 3 \ge 0 \iff x \ge -3$.
Comme $3$ est interdit, on exclut $3$.
$\mathcal{S} = [-3 ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[$

b) $\dfrac{(x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} < 0$
Valeurs interdites : $x eq 2$ et $x eq -2$.
Pour $x \notin \{2, -2\}$, on simplifie : $\dfrac{x + 2}{x - 2} < 0$.
Tableau de signes pour $\dfrac{x + 2}{x - 2}$.
$\mathcal{S} = ]-2 ; 2[$

c) $\dfrac{3x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} \le 0$
Valeurs interdites : $x eq 4$ et $x eq -4$.
Pour $x \notin \{4, -4\}$, on simplifie : $\dfrac{3x}{x + 4} \le 0$.
Racine numérateur : $x = 0$. Valeur interdite simplifiée : $x = -4$.
$\mathcal{S} = ]-4 ; 0]$

d) $\dfrac{(x - 3)^2}{x(x - 3)} > 0$
Valeurs interdites : $x eq 0$ et $x eq 3$.
Pour $x \notin \{0, 3\}$, on simplifie : $\dfrac{x - 3}{x} > 0$.
$\mathcal{S} = ]-\infty ; 0[ \cup ]3 ; +\infty[$

e) $\dfrac{((2x-1)-3)((2x-1)+3)}{x(x+1)} \le 0 \iff \dfrac{(2x - 4)(2x + 2)}{x(x+1)} \le 0$
On factorise par 2 chaque parenthèse : $\dfrac{4(x - 2)(x + 1)}{x(x + 1)} \le 0$.
Valeurs interdites : $x = 0$ et $x = -1$. Pour $x \notin \{0, -1\}$, $\dfrac{4(x - 2)}{x} \le 0$.
$\mathcal{S} = ]0 ; 2]$

a)
On cherche $x > 0$ tel que $C(x) \le 250$.
$\dfrac{200x + 1500}{x} \le 250 \iff \dfrac{200x + 1500 - 250x}{x} \le 0 \iff \dfrac{-50x + 1500}{x} \le 0$.
Comme $x > 0$, le quotient est négatif ou nul ssi $-50x + 1500 \le 0 \iff -50x \le -1500 \iff x \ge 30$.
Le coût moyen est inférieur ou égal à 250 € si l'entreprise fabrique au moins 30 objets.

b)
Soit $x > 0$ le nombre de mois. Le coût total est $30x + 60$. Le prix de revient est $\dfrac{30x + 60}{x}$.
$\dfrac{30x + 60}{x} < 35 \iff \dfrac{30x + 60 - 35x}{x} < 0 \iff \dfrac{-5x + 60}{x} < 0$.
Comme $x > 0$, $-5x + 60 < 0 \iff -5x < -60 \iff x > 12$.
Le prix de revient sera strictement inférieur à 35 € pour un abonnement de plus de 12 mois.