Équations quotientsQuotient EquationsEcuaciones cocientes

Pour chaque équation, on utilise la propriété fondamentale : si $B \neq 0$, alors $\dfrac{A}{B} = 0 \iff A = 0$.

a)
Valeur interdite : $x + 3 \neq 0 \iff x \neq -3$.
Pour $x \neq -3$, $\dfrac{2x - 4}{x + 3} = 0 \iff 2x - 4 = 0 \iff 2x = 4 \iff x = 2$.
$\mathcal{S} = \{ 2 \}$

b)
Valeur interdite : $2x - 1 \neq 0 \iff x \neq \frac{1}{2}$.
Pour $x \neq \frac{1}{2}$, $\dfrac{-3x + 9}{2x - 1} = 0 \iff -3x + 9 = 0 \iff -3x = -9 \iff x = 3$.
$\mathcal{S} = \{ 3 \}$

c)
Valeur interdite : $x + 2 \neq 0 \iff x \neq -2$.
Pour $x \neq -2$, $\dfrac{5x + 10}{x + 2} = 0 \iff 5x + 10 = 0 \iff 5x = -10 \iff x = -2$.
Or, $-2$ est une valeur interdite. L'équation n'a donc pas de solution.
$\mathcal{S} = \emptyset$

d)
Valeur interdite : $2x + 6 \neq 0 \iff x \neq -3$.
Pour $x \neq -3$, $\dfrac{(x - 1)(x + 4)}{2x + 6} = 0 \iff (x - 1)(x + 4) = 0 \iff x = 1$ ou $x = -4$.
Les deux solutions sont valables.
$\mathcal{S} = \{-4 \; ; \; 1\}$

e)
Valeur interdite : $2x - 5 \neq 0 \iff x \neq \frac{5}{2}$.
Pour $x \neq \frac{5}{2}$, $\dfrac{(2x - 5)(x + 1)}{2x - 5} = 0 \iff (2x - 5)(x + 1) = 0 \iff x = \frac{5}{2}$ ou $x = -1$.
Or, $\frac{5}{2}$ est une valeur interdite. La seule solution est $-1$.
$\mathcal{S} = \{-1\}$

a) Valeur interdite : $x \neq 2$.
On met tout du même côté et on réduit au même dénominateur :
$\dfrac{3x + 1}{x - 2} - 2 = 0 \iff \dfrac{3x + 1 - 2(x - 2)}{x - 2} = 0 \iff \dfrac{3x + 1 - 2x + 4}{x - 2} = 0 \iff \dfrac{x + 5}{x - 2} = 0$.
Pour $x \neq 2$, $\dfrac{x + 5}{x - 2} = 0 \iff x + 5 = 0 \iff x = -5$.
$\mathcal{S} = \{-5\}$

b) Valeur interdite : $x \neq -\frac{1}{2}$.
$\dfrac{4x - 5}{2x + 1} + 1 = 0 \iff \dfrac{4x - 5 + 1(2x + 1)}{2x + 1} = 0 \iff \dfrac{4x - 5 + 2x + 1}{2x + 1} = 0 \iff \dfrac{6x - 4}{2x + 1} = 0$.
Pour $x \neq -\frac{1}{2}$, $\dfrac{6x - 4}{2x + 1} = 0 \iff 6x - 4 = 0 \iff 6x = 4 \iff x = \dfrac{2}{3}$.
$\mathcal{S} = \left\{ \frac{2}{3} \right\}$

c) Valeur interdite : $x \neq 1$.
$\dfrac{x + 5}{x - 1} - 1 = 0 \iff \dfrac{x + 5 - (x - 1)}{x - 1} = 0 \iff \dfrac{x + 5 - x + 1}{x - 1} = 0 \iff \dfrac{6}{x - 1} = 0$.
Pour $x \neq 1$, $\dfrac{6}{x - 1} = 0 \iff 6 = 0$. C'est impossible.
$\mathcal{S} = \emptyset$

d) Valeurs interdites : $(x - 2)(x + 1) \neq 0 \iff x \neq 2$ et $x \neq -1$.
L'équation est déjà sous la forme $\dfrac{A}{B} = 0$.
Pour $x \neq 2$ et $x \neq -1$, $\dfrac{x - 3}{(x - 2)(x + 1)} = 0 \iff x - 3 = 0 \iff x = 3$.
$\mathcal{S} = \{3\}$

e) Valeurs interdites : $(x + 2)(x - 5) \neq 0 \iff x \neq -2$ et $x \neq 5$.
Pour $x \neq -2$ et $x \neq 5$, $\dfrac{2x + 4}{(x + 2)(x - 5)} = 0 \iff 2x + 4 = 0 \iff x = -2$.
Or, $-2$ est une valeur interdite !
$\mathcal{S} = \emptyset$

a) Valeurs interdites : $x \neq 1$ et $x \neq -2$.
$\dfrac{x + 1}{x - 1} - \dfrac{x + 3}{x + 2} = 0 \iff \dfrac{(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = 0$
$\iff \dfrac{(x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 - x + 3x - 3)}{(x - 1)(x + 2)} = 0 \iff \dfrac{(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 2x - 3)}{(x - 1)(x + 2)} = 0$
$\iff \dfrac{x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = 0$.
Pour $x \neq 1$ et $x \neq -2$, $x + 5 = 0 \iff x = -5$.
$\mathcal{S} = \{-5\}$

b) Valeurs interdites : $x \neq -1$ et $x \neq -4$.
$\dfrac{2x - 1}{x + 1} - \dfrac{2x + 3}{x + 4} = 0 \iff \dfrac{(2x - 1)(x + 4) - (2x + 3)(x + 1)}{(x + 1)(x + 4)} = 0$
$\iff \dfrac{(2x^2 + 8x - x - 4) - (2x^2 + 2x + 3x + 3)}{(x + 1)(x + 4)} = 0 \iff \dfrac{(2x^2 + 7x - 4) - (2x^2 + 5x + 3)}{(x + 1)(x + 4)} = 0$
$\iff \dfrac{2x - 7}{(x + 1)(x + 4)} = 0$.
Pour $x \neq -1$ et $x \neq -4$, $2x - 7 = 0 \iff 2x = 7 \iff x = \dfrac{7}{2}$.
$\mathcal{S} = \left\{\frac{7}{2}\right\}$

c) Valeurs interdites : $x \neq -2$ et $x \neq -1$.
$\dfrac{x}{x + 2} - \dfrac{x - 1}{x + 1} = 0 \iff \dfrac{x(x + 1) - (x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x + 1)} = 0$
$\iff \dfrac{(x^2 + x) - (x^2 + 2x - x - 2)}{(x + 2)(x + 1)} = 0 \iff \dfrac{(x^2 + x) - (x^2 + x - 2)}{(x + 2)(x + 1)} = 0$
$\iff \dfrac{2}{(x + 2)(x + 1)} = 0$.
Pour $x \neq -2$ et $x \neq -1$, $2 = 0$ ce qui est impossible.
$\mathcal{S} = \emptyset$

d) Valeurs interdites : $x \neq 1$ et $x \neq 2$.
$\dfrac{3x + 2}{x - 1} - \dfrac{3x - 1}{x - 2} = 0 \iff \dfrac{(3x + 2)(x - 2) - (3x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$
$\iff \dfrac{(3x^2 - 6x + 2x - 4) - (3x^2 - 3x - x + 1)}{(x - 1)(x - 2)} = 0 \iff \dfrac{(3x^2 - 4x - 4) - (3x^2 - 4x + 1)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$
$\iff \dfrac{-5}{(x - 1)(x - 2)} = 0$.
Pour $x \neq 1$ et $x \neq 2$, $-5 = 0$ ce qui est impossible.
$\mathcal{S} = \emptyset$

e) Valeurs interdites : $x \neq \frac{3}{2}$ et $x \neq -\frac{1}{2}$.
$\dfrac{x + 2}{2x - 3} - \dfrac{x - 1}{2x + 1} = 0 \iff \dfrac{(x + 2)(2x + 1) - (x - 1)(2x - 3)}{(2x - 3)(2x + 1)} = 0$
$\iff \dfrac{(2x^2 + x + 4x + 2) - (2x^2 - 3x - 2x + 3)}{(2x - 3)(2x + 1)} = 0 \iff \dfrac{(2x^2 + 5x + 2) - (2x^2 - 5x + 3)}{(2x - 3)(2x + 1)} = 0$
$\iff \dfrac{10x - 1}{(2x - 3)(2x + 1)} = 0$.
Pour $x \neq \frac{3}{2}$ et $x \neq -\frac{1}{2}$, $10x - 1 = 0 \iff 10x = 1 \iff x = \dfrac{1}{10}$.
$\mathcal{S} = \left\{\frac{1}{10}\right\}$

a) Valeur interdite : $x \neq 3$.
$\dfrac{2x + 1}{x - 3} - \dfrac{x + 5}{2(x - 3)} = 0 \iff \dfrac{2(2x + 1) - (x + 5)}{2(x - 3)} = 0 \iff \dfrac{4x + 2 - x - 5}{2(x - 3)} = 0 \iff \dfrac{3x - 3}{2(x - 3)} = 0$.
Pour $x \neq 3$, $3x - 3 = 0 \iff 3x = 3 \iff x = 1$.
$\mathcal{S} = \{1\}$

b) Valeur interdite : $x \neq -1$.
$\dfrac{x - 2}{x + 1} - \dfrac{3x - 4}{3(x + 1)} = 0 \iff \dfrac{3(x - 2) - (3x - 4)}{3(x + 1)} = 0 \iff \dfrac{3x - 6 - 3x + 4}{3(x + 1)} = 0 \iff \dfrac{-2}{3(x + 1)} = 0$.
Pour $x \neq -1$, $-2 = 0$ ce qui est impossible.
$\mathcal{S} = \emptyset$

c) Remarque : $4x - 2 = 2(2x - 1)$. Valeur interdite : $x \neq \frac{1}{2}$.
$\dfrac{3x}{2x - 1} - \dfrac{4x + 1}{2(2x - 1)} = 0 \iff \dfrac{2(3x) - (4x + 1)}{2(2x - 1)} = 0 \iff \dfrac{6x - 4x - 1}{2(2x - 1)} = 0 \iff \dfrac{2x - 1}{2(2x - 1)} = 0$.
Pour $x \neq \frac{1}{2}$, $2x - 1 = 0 \iff 2x = 1 \iff x = \frac{1}{2}$.
Or, $\frac{1}{2}$ est une valeur interdite.
$\mathcal{S} = \emptyset$

d) Remarque : $2x + 4 = 2(x + 2)$. Valeur interdite : $x \neq -2$.
$\dfrac{5x - 1}{x + 2} - \dfrac{10x + 3}{2(x + 2)} = 0 \iff \dfrac{2(5x - 1) - (10x + 3)}{2(x + 2)} = 0 \iff \dfrac{10x - 2 - 10x - 3}{2(x + 2)} = 0 \iff \dfrac{-5}{2(x + 2)} = 0$.
Pour $x \neq -2$, $-5 = 0$ ce qui est impossible.
$\mathcal{S} = \emptyset$

e) Remarque : $3x - 6 = 3(x - 2)$. Valeur interdite : $x \neq 2$.
$\dfrac{x + 1}{3(x - 2)} - \dfrac{2x - 1}{x - 2} = 0 \iff \dfrac{x + 1 - 3(2x - 1)}{3(x - 2)} = 0 \iff \dfrac{x + 1 - 6x + 3}{3(x - 2)} = 0 \iff \dfrac{-5x + 4}{3(x - 2)} = 0$.
Pour $x \neq 2$, $-5x + 4 = 0 \iff -5x = -4 \iff x = \dfrac{4}{5}$.
$\mathcal{S} = \left\{\frac{4}{5}\right\}$

a) On factorise : $\dfrac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 0$.
Valeurs interdites : $(x - 2)(x + 2) \neq 0 \iff x \neq 2$ et $x \neq -2$.
Pour $x \neq 2$ et $x \neq -2$, $\dfrac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 0 \iff 2(x + 2) = 0 \iff x + 2 = 0 \iff x = -2$.
Or, $-2$ est une valeur interdite.
$\mathcal{S} = \emptyset$

b) On factorise : $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{2(x - 3)} = 0$.
Valeur interdite : $2(x - 3) \neq 0 \iff x \neq 3$.
Pour $x \neq 3$, $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{2(x - 3)} = 0 \iff (x - 3)(x + 3) = 0 \iff x = 3$ ou $x = -3$.
Or, $3$ est une valeur interdite.
$\mathcal{S} = \{-3\}$

c) On factorise : $\dfrac{(x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = 0$.
Valeurs interdites : $(x - 2)(x + 2) \neq 0 \iff x \neq 2$ et $x \neq -2$.
Pour $x \neq 2$ et $x \neq -2$, $\dfrac{(x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = 0 \iff (x + 2)^2 = 0 \iff x + 2 = 0 \iff x = -2$.
Or, $-2$ est une valeur interdite.
$\mathcal{S} = \emptyset$

d) On factorise par $3x$ en haut : $\dfrac{3x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 0$.
Valeurs interdites : $(x - 4)(x + 4) \neq 0 \iff x \neq 4$ et $x \neq -4$.
Pour $x \neq 4$ et $x \neq -4$, $\dfrac{3x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 0 \iff 3x(x - 4) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 4$.
Or, $4$ est une valeur interdite.
$\mathcal{S} = \{0\}$

e) On factorise : $\dfrac{(x - 3)^2}{x(x - 3)} = 0$.
Valeurs interdites : $x(x - 3) \neq 0 \iff x \neq 0$ et $x \neq 3$.
Pour $x \neq 0$ et $x \neq 3$, $\dfrac{(x - 3)^2}{x(x - 3)} = 0 \iff (x - 3)^2 = 0 \iff x - 3 = 0 \iff x = 3$.
Or, $3$ est une valeur interdite.
$\mathcal{S} = \emptyset$

a)
On cherche $x > 0$ tel que $C(x) = 250$.
L'équation s'écrit $\dfrac{200x + 1500}{x} = 250 \iff \dfrac{200x + 1500}{x} - \dfrac{250x}{x} = 0 \iff \dfrac{-50x + 1500}{x} = 0$.
Pour $x \neq 0$, $-50x + 1500 = 0 \iff -50x = -1500 \iff x = 30$.
Le coût moyen est de 250 € pour 30 objets.

b)
Soit $x > 0$ le nombre de mois. Le coût total est $30x + 60$. Le prix de revient est $\dfrac{30x + 60}{x}$.
L'équation s'écrit $\dfrac{30x + 60}{x} = 35 \iff \dfrac{30x + 60}{x} - \dfrac{35x}{x} = 0 \iff \dfrac{-5x + 60}{x} = 0$.
Pour $x \neq 0$, $-5x + 60 = 0 \iff -5x = -60 \iff x = 12$.
Le prix de revient sera de 35 € au bout de 12 mois.