Systèmes linéaires - Exercices Linear Systems - Exercises Sistemas lineales - Ejercicios

a) $\begin{cases} x = 2y - 1 \quad (L_1) \\ 3x + y = 11 \quad (L_2) \end{cases}$

Dans $(L_1)$, $x$ est déjà exprimé en fonction de $y$. On substitue $x$ par $(2y - 1)$ dans $(L_2)$ :
$3(2y - 1) + y = 11$
$6y - 3 + y = 11$
$7y = 11 + 3$
$7y = 14$
$y = 2$

On remplace $y = 2$ dans $(L_1)$ pour trouver $x$ :
$x = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$

$S = \{(3 ; 2)\}$

b) $\begin{cases} 4x - y = 5 \quad (L_1) \\ y = -x + 10 \quad (L_2) \end{cases}$

Dans $(L_2)$, $y$ est exprimé en fonction de $x$. On substitue $y$ par $(-x + 10)$ dans $(L_1)$ :
$4x - (-x + 10) = 5$
$4x + x - 10 = 5$
$5x = 15$
$x = 3$

On remplace $x = 3$ dans $(L_2)$ pour trouver $y$ :
$y = -(3) + 10 = 7$

$S = \{(3 ; 7)\}$

a) $\begin{cases} x + 3y = 7 \quad (L_1) \\ 2x - 5y = -19 \quad (L_2) \end{cases}$

On exprime $x$ en fonction de $y$ dans $(L_1)$ :
$x = 7 - 3y$

On substitue $x$ par $(7 - 3y)$ dans $(L_2)$ :
$2(7 - 3y) - 5y = -19$
$14 - 6y - 5y = -19$
$-11y = -19 - 14$
$-11y = -33$
$y = 3$

On remplace $y = 3$ dans l'expression de $x$ :
$x = 7 - 3(3) = 7 - 9 = -2$

$S = \{(-2 ; 3)\}$

b) $\begin{cases} 3x - y = 8 \quad (L_1) \\ 4x + 2y = 14 \quad (L_2) \end{cases}$

On exprime $y$ en fonction de $x$ dans $(L_1)$ :
$-y = 8 - 3x \iff y = 3x - 8$

On substitue $y$ par $(3x - 8)$ dans $(L_2)$ :
$4x + 2(3x - 8) = 14$
$4x + 6x - 16 = 14$
$10x = 14 + 16$
$10x = 30$
$x = 3$

On remplace $x = 3$ dans l'expression de $y$ :
$y = 3(3) - 8 = 9 - 8 = 1$

$S = \{(3 ; 1)\}$

a) $\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2 \quad (L_1) \\ x - y = -1 \quad (L_2) \end{cases}$

On exprime $x$ en fonction de $y$ dans $(L_2)$ :
$x = y - 1$

On substitue $x$ par $(y - 1)$ dans $(L_1)$ :
$\dfrac{y - 1}{2} + \dfrac{y}{3} = 2$
On met tout au même dénominateur (ici 6) :
$\dfrac{3(y - 1)}{6} + \dfrac{2y}{6} = \dfrac{12}{6}$
$3y - 3 + 2y = 12$
$5y = 15$
$y = 3$

On remplace $y = 3$ dans l'expression de $x$ :
$x = 3 - 1 = 2$

$S = \{(2 ; 3)\}$

b) $\begin{cases} \sqrt{2}x - y = 1 \quad (L_1) \\ x + \sqrt{2}y = 4 \quad (L_2) \end{cases}$

On exprime $y$ en fonction de $x$ dans $(L_1)$ :
$y = \sqrt{2}x - 1$

On substitue $y$ par $(\sqrt{2}x - 1)$ dans $(L_2)$ :
$x + \sqrt{2}(\sqrt{2}x - 1) = 4$
$x + (\sqrt{2} \times \sqrt{2})x - \sqrt{2} = 4$
$x + 2x = 4 + \sqrt{2}$
$3x = 4 + \sqrt{2}$
$x = \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3}$

On remplace $x$ dans l'expression de $y$ :
$y = \sqrt{2}\left(\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3}\right) - 1 = \dfrac{4\sqrt{2} + 2}{3} - \dfrac{3}{3} = \dfrac{4\sqrt{2} - 1}{3}$

$S = \left\{\left(\dfrac{4 + \sqrt{2}}{3} ; \dfrac{4\sqrt{2} - 1}{3}\right)\right\}$

a) $\begin{cases} 2x + y = 7 \quad (L_1) \\ x - y = 2 \quad (L_2) \end{cases}$

On remarque que les coefficients de $y$ sont opposés ($+1$ et $-1$). On additionne $(L_1)$ et $(L_2)$ :
$(2x + x) + (y - y) = 7 + 2$
$3x = 9$
$x = 3$

On remplace $x = 3$ dans $(L_1)$ :
$2(3) + y = 7$
$6 + y = 7$
$y = 1$

$S = \{(3 ; 1)\}$

b) $\begin{cases} 3x + 4y = 10 \quad (L_1) \\ -3x + 2y = 8 \quad (L_2) \end{cases}$

On remarque que les coefficients de $x$ sont opposés ($+3$ et $-3$). On additionne $(L_1)$ et $(L_2)$ :
$(3x - 3x) + (4y + 2y) = 10 + 8$
$6y = 18$
$y = 3$

On remplace $y = 3$ dans $(L_1)$ :
$3x + 4(3) = 10$
$3x + 12 = 10$
$3x = -2$
$x = -\dfrac{2}{3}$

$S = \left\{\left(-\dfrac{2}{3} ; 3\right)\right\}$

a) $\begin{cases} x + 3y = 5 \quad (L_1) \\ 2x - 4y = -10 \quad (L_2) \end{cases}$

On multiplie $(L_1)$ par $-2$ pour obtenir des coefficients opposés pour $x$ :
$\begin{cases} -2x - 6y = -10 \quad (-2 \times L_1) \\ 2x - 4y = -10 \quad (L_2) \end{cases}$

On additionne les deux lignes :
$-10y = -20$
$y = 2$

On remplace $y = 2$ dans $(L_1)$ :
$x + 3(2) = 5$
$x + 6 = 5$
$x = -1$

$S = \{(-1 ; 2)\}$

b) $\begin{cases} 5x - 2y = 4 \quad (L_1) \\ 3x + y = 9 \quad (L_2) \end{cases}$

On multiplie $(L_2)$ par $2$ pour obtenir des coefficients opposés pour $y$ :
$\begin{cases} 5x - 2y = 4 \quad (L_1) \\ 6x + 2y = 18 \quad (2 \times L_2) \end{cases}$

On additionne les deux lignes :
$11x = 22$
$x = 2$

On remplace $x = 2$ dans $(L_2)$ :
$3(2) + y = 9$
$6 + y = 9$
$y = 3$

$S = \{(2 ; 3)\}$

a) $\begin{cases} 3x + 4y = 1 \quad (L_1) \\ 2x - 3y = 12 \quad (L_2) \end{cases}$

On multiplie $(L_1)$ par $3$ et $(L_2)$ par $4$ pour éliminer $y$ :
$\begin{cases} 9x + 12y = 3 \quad (3 \times L_1) \\ 8x - 12y = 48 \quad (4 \times L_2) \end{cases}$

On additionne :
$17x = 51$
$x = \dfrac{51}{17} = 3$

On remplace $x = 3$ dans $(L_1)$ :
$3(3) + 4y = 1$
$9 + 4y = 1$
$4y = -8$
$y = -2$

$S = \{(3 ; -2)\}$

b) $\begin{cases} 5x + 3y = 2 \quad (L_1) \\ 4x + 7y = -3 \quad (L_2) \end{cases}$

On multiplie $(L_1)$ par $4$ et $(L_2)$ par $-5$ pour éliminer $x$ :
$\begin{cases} 20x + 12y = 8 \quad (4 \times L_1) \\ -20x - 35y = 15 \quad (-5 \times L_2) \end{cases}$

On additionne :
$-23y = 23$
$y = -1$

On remplace $y = -1$ dans $(L_1)$ :
$5x + 3(-1) = 2$
$5x - 3 = 2$
$5x = 5$
$x = 1$

$S = \{(1 ; -1)\}$

a) $\begin{cases} x = 3y + 2 \quad (L_1) \\ 5x - 2y = 23 \quad (L_2) \end{cases}$

La méthode la plus rapide ici est la substitution car $x$ est déjà isolé dans $(L_1)$.

On remplace $x$ par $(3y + 2)$ dans $(L_2)$ :
$5(3y + 2) - 2y = 23$
$15y + 10 - 2y = 23$
$13y = 13$
$y = 1$

On calcule $x$ à l'aide de $(L_1)$ :
$x = 3(1) + 2 = 5$

$S = \{(5 ; 1)\}$

b) $\begin{cases} 4x + 5y = 12 \quad (L_1) \\ 6x - 5y = 18 \quad (L_2) \end{cases}$

La méthode la plus rapide ici est la combinaison linéaire car les coefficients de $y$ sont opposés.

On additionne les deux lignes :
$10x = 30$
$x = 3$

On remplace $x = 3$ dans $(L_1)$ :
$4(3) + 5y = 12$
$12 + 5y = 12$
$5y = 0$
$y = 0$

$S = \{(3 ; 0)\}$

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \quad (L_1) \\ 2x^2 - 3y^2 = 6 \quad (L_2) \end{cases}$

Posons $X = x^2$ et $Y = y^2$. Le système devient linéaire :
$\begin{cases} X + Y = 13 \quad (L_1) \\ 2X - 3Y = 6 \quad (L_2) \end{cases}$

On multiplie $(L_1)$ par $3$ :
$\begin{cases} 3X + 3Y = 39 \quad (3 \times L_1) \\ 2X - 3Y = 6 \quad (L_2) \end{cases}$

On additionne :
$5X = 45 \implies X = 9$

On remplace $X = 9$ dans $(L_1)$ :
$9 + Y = 13 \implies Y = 4$

Revenons aux variables d'origine :
$x^2 = 9 \implies x = 3$ ou $x = -3$
$y^2 = 4 \implies y = 2$ ou $y = -2$

Les solutions du système forment les couples $(x ; y)$ possibles :
$S = \{(3 ; 2), (3 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2)\}$