Inéquations Quotients

1) Résolution de $\dfrac{x+3}{x-2} \le 0$

Racine du numérateur : $x = -3$
Valeur interdite (dénominateur) : $x = 2$

On cherche où le quotient est négatif ou nul ($\le 0$).
L'ensemble des solutions est $S = \left[ -3; 2 \right[$.

2) Résolution de $\dfrac{5}{-2x+5} > 0$

Le numérateur $5$ est toujours positif. Le signe du quotient est donc le signe du dénominateur.
Valeur interdite : $-2x+5 = 0 \implies x = \dfrac{5}{2}$

On cherche où le quotient est strictement positif ($> 0$).
L'ensemble des solutions est $S = \left] -\infty; \dfrac{5}{2} \right[$.

1) Résolution de $\dfrac{3x}{x+1} \ge 1$

On se ramène à zéro : $\dfrac{3x}{x+1} - 1 \ge 0 \implies \dfrac{3x - \left(x+1\right)}{x+1} \ge 0 \implies \dfrac{2x-1}{x+1} \ge 0$
Racine : $x = \dfrac{1}{2}$, Valeur interdite : $x = -1$

On cherche où le quotient est positif ou nul ($\ge 0$).
L'ensemble des solutions est $S = \left] -\infty; -1 \right[ \cup \left[ \dfrac{1}{2}; +\infty \right[$.

2) Résolution de $\dfrac{x-5}{x-2} < \dfrac{2}{3}$

On se ramène à zéro : $\dfrac{x-5}{x-2} - \dfrac{2}{3} < 0 \implies \dfrac{3\left(x-5\right) - 2\left(x-2\right)}{3\left(x-2\right)} < 0 \implies \dfrac{x-11}{3\left(x-2\right)} < 0$
Racine : $x = 11$, Valeur interdite : $x = 2$

On cherche où le quotient est strictement négatif.
L'ensemble des solutions est $S = \left] 2; 11 \right[$.

1) Résolution de $\dfrac{x^2-1}{-3x+2} \le 0$

On factorise : $\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{-3x+2} \le 0$
Racines : $x=1, x=-1$, Valeur interdite : $x = \dfrac{2}{3}$

On cherche où le quotient est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est $S = \left[ -1; \dfrac{2}{3} \right[ \cup \left[ 1; +\infty \right[$.

2) Résolution de $\dfrac{x^2-7}{(x-5)^2} \ge 0$

On factorise le numérateur : $\dfrac{\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)}{(x-5)^2} \ge 0$
Racines : $x=\sqrt{7}, x=-\sqrt{7}$, Valeur interdite : $x = 5$

On ordonne les valeurs : $-\sqrt{7} \approx -2,65 < \sqrt{7} \approx 2,65 < 5$

On cherche où le quotient est positif ou nul.
L'ensemble des solutions est $S = \left] -\infty; -\sqrt{7} \right] \cup \left[ \sqrt{7}; 5 \right[ \cup \left] 5; +\infty \right[$.

On se ramène à zéro : $\dfrac{2x+3}{x+2} - \dfrac{x+2}{2x+3} \le 0$
On met au même dénominateur : $\dfrac{\left(2x+3\right)^2 - \left(x+2\right)^2}{\left(x+2\right)\left(2x+3\right)} \le 0$
On factorise le numérateur ($a^2-b^2$) : $\dfrac{\left(\left(2x+3\right)-\left(x+2\right)\right)\left(\left(2x+3\right)+\left(x+2\right)\right)}{\left(x+2\right)\left(2x+3\right)} \le 0$
Ce qui donne : $\dfrac{\left(x+1\right)\left(3x+5\right)}{\left(x+2\right)\left(2x+3\right)} \le 0$.
Racines : $x=-1, x=-\dfrac{5}{3}$. Valeurs interdites : $x=-2, x=-\dfrac{3}{2}$

Ordre : $-2 < -\dfrac{5}{3} \approx -1,67 < -\dfrac{3}{2} = -1,5 < -1$

On cherche où le quotient est négatif ou nul ($\le 0$).
L'ensemble des solutions est $S = \left] -2; -\dfrac{5}{3} \right] \cup \left] -\dfrac{3}{2}; -1 \right]$.

On se ramène à zéro : $\dfrac{1}{x} - 2 \le 0 \implies \dfrac{1 - 2x}{x} \le 0$
Racine : $x=\dfrac{1}{2}$. Valeur interdite : $x=0$

On cherche où le quotient est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est $S = \left] -\infty; 0 \right[ \cup \left[ \dfrac{1}{2}; +\infty \right[$.