Inéquations Produit et Tableaux de Signes

1) Résolution de \( \left( x - 2 \right) \left( 8 - 3x \right) > 0 \)

Racines : \( x = 2 \) et \( x = \dfrac{8}{3} \)

On cherche où le produit est strictement positif (\( > 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = \left] 2 ; \dfrac{8}{3} \right[ \).

2) Résolution de \( x^2 - 9 < 0 \)

On factorise : \( \left( x - 3 \right) \left( x + 3 \right) < 0 \). Racines : \( x = 3 \) et \( x = -3 \).

On cherche où le produit est strictement négatif (\( < 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = \left] -3 ; 3 \right[ \).

1) Résolution de \( 2x^2 + 5x \ge -3x \)

On transpose et on simplifie donc \( 2x^2 + 8x \ge 0 \).
On factorise donc \( 2x \left( x + 4 \right) \ge 0 \).
Racines : \( x = 0 \) et \( x = -4 \).

On cherche où le produit est positif ou nul (\( \ge 0 \)).
L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; -4 \right] \cup \left[ 0 ; +\infty \right[ \).

2) Résolution de \( x^2 - 6x + 9 > \left( x - 3 \right) \left( 3x - 7 \right) \)

On factorise donc \( \left( x - 3 \right)^2 - \left( x - 3 \right) \left( 3x - 7 \right) > 0 \).
\( \left( x - 3 \right) \left[ \left( x - 3 \right) - \left( 3x - 7 \right) \right] > 0 \).
\( \left( x - 3 \right) \left( -2x + 4 \right) > 0 \).
Racines : \( x = 3 \) et \( x = 2 \).

On cherche où le produit est strictement positif.
L'ensemble des solutions est \( S = \left] 2 ; 3 \right[ \).

1) Résolution de \( \left( x + 2 \right)^2 < \left( x + 2 \right) \left( 3x + 4 \right) \)

On factorise donc \( \left( x + 2 \right) \left[ \left( x + 2 \right) - \left( 3x + 4 \right) \right] < 0 \).
\( \left( x + 2 \right) \left( -2x - 2 \right) < 0 \).
Racines : \( x = -2 \) et \( x = -1 \).

On cherche où le produit est strictement négatif.
L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left] -1 ; +\infty \right[ \).

2) Résolution de \( \left( 1 + x \right)^2 \le 9 \left( 5 - 3x \right)^2 \)

On transpose et on factorise (identité remarquable \( a^2 - b^2 \)) donc :
\( \left( 10x - 14 \right) \left( -8x + 16 \right) \le 0 \).
Racines : \( x = \dfrac{7}{5} \) et \( x = 2 \).

On cherche où le produit est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; \dfrac{7}{5} \right] \cup \left[ 2 ; +\infty \right[ \).

1) Expression du volume

La base de la boîte est un carré de côté \( 10 - 2x \). La hauteur est \( x \). Le volume est donc bien \( V \left( x \right) = \text{côté} \times \text{côté} \times \text{hauteur} = \left( 10 - 2x \right)^2 \times x \).
Pour que les dimensions existent, il faut \( x > 0 \) et \( 10 - 2x > 0 \implies 10 > 2x \implies 5 > x \). Donc \( x \in \left] 0 ; 5 \right[ \).

2) Résolution de l'inéquation

On veut résoudre \( x \left( 10 - 2x \right)^2 > 72 \), soit \( x \left( 100 - 40x + 4x^2 \right) - 72 > 0 \), ce qui donne \( 4x^3 - 40x^2 + 100x - 72 > 0 \).
On remarque que pour \( x = 2 \), on a \( 4 \left( 8 \right) - 40 \left( 4 \right) + 100 \left( 2 \right) - 72 = 32 - 160 + 200 - 72 = 0 \). Donc \( \left( x - 2 \right) \) est un facteur.
En factorisant donc \( \left( x - 2 \right) \left( 4x^2 - 32x + 36 \right) > 0 \), soit \( 4 \left( x - 2 \right) \left( x^2 - 8x + 9 \right) > 0 \).
Les racines de \( x^2 - 8x + 9 \) sont \( 4 - \sqrt{7} \approx 1,35 \) et \( 4 + \sqrt{7} \approx 6,65 \). Sur l'intervalle \( \left] 0 ; 5 \right[ \), l'inéquation \( V(x) > 72 \) est vérifiée lorsque le produit est positif.
L'étude du signe montre que la solution est \( S = \left] 4 - \sqrt{7} ; 2 \right[ \).

1) Résolution de \( 3x \left( 4 - x \right) \le 0 \)

Racines : \( x = 0 \) et \( x = 4 \).

On cherche où le produit est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; 0 \right] \cup \left[ 4 ; +\infty \right[ \).

2) Résolution de \( \left( x^2 - 4 \right) - \left( x - 2 \right) \left( 3x + 1 \right) \le 0 \)

On factorise donc \( \left( x - 2 \right) \left( x + 2 \right) - \left( x - 2 \right) \left( 3x + 1 \right) \le 0 \).
\( \left( x - 2 \right) \left[ \left( x + 2 \right) - \left( 3x + 1 \right) \right] \le 0 \).
\( \left( x - 2 \right) \left( -2x + 1 \right) \le 0 \).
Racines : \( x = 2 \) et \( x = \dfrac{1}{2} \).

On cherche où le produit est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; \dfrac{1}{2} \right] \cup \left[ 2 ; +\infty \right[ \).