Équations produit nul et Factorisation

1) Résolution de $ 9x^2 - 16 = 0 $

On reconnaît l'identité remarquable $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ avec $ a = 3x $ et $ b = 4 $.

$ (3x)^2 - 4^2 = 0 $
$ (3x - 4)(3x + 4) = 0 $

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
Soit $ 3x - 4 = 0 $, d'où $ 3x = 4 $ et $ x = \dfrac{4}{3} $.
Soit $ 3x + 4 = 0 $, d'où $ 3x = -4 $ et $ x = -\dfrac{4}{3} $.

L'ensemble des solutions est $ S = \left\{-\dfrac{4}{3}; \dfrac{4}{3}\right\} $.

2) Résolution de $ (x-1)^2 - 25 = 0 $

On reconnaît de nouveau l'identité remarquable $ a^2 - b^2 $ avec $ a = x-1 $ et $ b = 5 $.

$ (x-1)^2 - 5^2 = 0 $
$ \left((x-1) - 5\right)\left((x-1) + 5\right) = 0 $
$ (x - 6)(x + 4) = 0 $

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
Soit $ x - 6 = 0 $, d'où $ x = 6 $.
Soit $ x + 4 = 0 $, d'où $ x = -4 $.

L'ensemble des solutions est $ S = \{-4; 6\} $.

1) Résolution de $ (x-5)(2x+1) + x - 5 = 0 $

On met en évidence le facteur commun $ (x-5) $.
$ (x-5)(2x+1) + (x-5) \times 1 = 0 $
$ (x-5) \left[(2x+1) + 1\right] = 0 $
$ (x-5)(2x+2) = 0 $

Soit $ x-5 = 0 $, d'où $ x=5 $.
Soit $ 2x+2 = 0 $, d'où $ 2x = -2 $ et $ x = -1 $.

L'ensemble des solutions est $ S = \{-1; 5\} $.

2) Résolution de $ (3-2x)^2 + (2x-3)(2x-1) = 0 $

On remarque que $ (3-2x) = -(2x-3) $. Donc $ (3-2x)^2 = \left(-(2x-3)\right)^2 = (2x-3)^2 $.

$ (2x-3)^2 + (2x-3)(2x-1) = 0 $
On factorise par $ (2x-3) $.
$ (2x-3) \left[(2x-3) + (2x-1)\right] = 0 $
$ (2x-3) (4x-4) = 0 $

Soit $ 2x-3=0 $, d'où $ 2x=3 $ et $ x = \dfrac{3}{2} $.
Soit $ 4x-4=0 $, d'où $ 4x=4 $ et $ x=1 $.

L'ensemble des solutions est $ S = \left\{1; \dfrac{3}{2}\right\} $.

1) Résolution de $ (3x-1)(x+2) = (3x+1)(x+2) $

On transpose tout dans le membre de gauche :
$ (3x-1)(x+2) - (3x+1)(x+2) = 0 $

On factorise par le facteur commun $ (x+2) $ :
$ (x+2) \left[(3x-1) - (3x+1)\right] = 0 $
$ (x+2) (3x - 1 - 3x - 1) = 0 $
$ (x+2)(-2) = 0 $
$ -2(x+2) = 0 $

Cela implique $ x+2=0 $, donc $ x=-2 $.

La solution est $ S = \{-2\} $.

2) Résolution de $ (2-x)^2 = x^2 + 4x + 4 $

On reconnaît une identité remarquable dans le membre de droite : $ x^2+4x+4 = (x+2)^2 $.
L'équation devient : $ (2-x)^2 = (x+2)^2 $

On transpose tout à gauche :
$ (2-x)^2 - (x+2)^2 = 0 $
On utilise l'identité $ a^2 - b^2 $...
$ \left[(2-x) - (x+2)\right]\left[(2-x) + (x+2)\right] = 0 $
$ (2 - x - x - 2)(2 - x + x + 2) = 0 $
$ (-2x)(4) = 0 $
$ -8x = 0 $

Cela implique $ x=0 $.

La solution est $ S = \{0\} $.

1) Résolution de $ x^2 + 4 = 0 $

Il n'y a ni facteur commun, ni identité remarquable évidente pour factoriser.
On peut remarquer que pour n'importe quel nombre réel $ x $, son carré $ x^2 $ est toujours positif ou nul ($ x^2 \ge 0 $).
Par conséquent, $ x^2 + 4 $ est toujours supérieur ou égal à 4 ($ x^2 + 4 \ge 4 $).
L'expression $ x^2 + 4 $ ne peut donc jamais être égale à 0.

L'équation n'a pas de solution : $ S = \emptyset $ (ensemble vide).

2) Résolution de $ (x+2) - 2(x+1)(x+2) = 0 $

On identifie le facteur commun $ (x+2) $.
$ (x+2) \times 1 - 2(x+1)(x+2) = 0 $
$ (x+2) \left[1 - 2(x+1)\right] = 0 $
$ (x+2) (1 - 2x - 2) = 0 $
$ (x+2)(-2x-1) = 0 $

Soit $ x+2 = 0 $, d'où $ x = -2 $.
Soit $ -2x-1 = 0 $, d'où $ -2x = 1 $ et $ x = -\dfrac{1}{2} $.

L'ensemble des solutions est $ S = \left\{-2; -\dfrac{1}{2}\right\} $.

1) Soit $ x $ la largeur. La longueur est $ x+4 $.
L'aire d'un rectangle est Longueur × largeur.
Donc, $ (x+4)x = 77 $.
En développant, on obtient $ x^2 + 4x = 77 $.
En transposant, on a bien $ x^2 + 4x - 77 = 0 $.

2) Partons de l'expression $ (x+2)^2 - 81 $. On développe :
$ (x+2)^2 - 81 = (x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2) - 81 = x^2 + 4x + 4 - 81 = x^2 + 4x - 77 $.
Les deux expressions sont bien égales. On résout donc $ (x+2)^2 - 81 = 0 $.
On factorise en utilisant $ a^2 - b^2 $ avec $ a = x+2 $ et $ b = 9 $.
$ (x+2)^2 - 9^2 = 0 $
$ \left[(x+2) - 9\right]\left[(x+2) + 9\right] = 0 $
$ (x - 7)(x + 11) = 0 $

Soit $ x-7 = 0 $, d'où $ x=7 $.
Soit $ x+11 = 0 $, d'où $ x=-11 $.

Comme $ x $ représente une largeur, c'est une distance, donc une valeur positive. On ne retient que la solution $ x=7 $.
La largeur est de 7 m. La longueur est $ x+4 = 7+4 = 11 $ m.
Conclusion : le terrain mesure 7 m de large et 11 m de long.

1) $ (4x - 2)(x + 5) - (1 - 2x)(x - 3) = 0 $

On remarque que $ 4x-2 = 2(2x-1) $ et $ 1-2x = -(2x-1) $.
$ 2(2x-1)(x+5) - \left[-(2x-1)\right](x-3) = 0 $
$ 2(2x-1)(x+5) + (2x-1)(x-3) = 0 $
On factorise par $ (2x-1) $ :
$ (2x-1)\left[2(x+5) + (x-3)\right] = 0 \implies (2x-1)(3x+7) = 0 $
Solutions: $ x = \dfrac{1}{2} $ ou $ x = -\dfrac{7}{3} $. $ S = \left\{-\dfrac{7}{3}; \dfrac{1}{2}\right\} $.

2) $ x^2 - 9 + (x+3)(2x-5) = 0 $

On factorise $ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) $.
$ (x-3)(x+3) + (x+3)(2x-5) = 0 $
On factorise par $ (x+3) $ :
$ (x+3)\left[(x-3) + (2x-5)\right] = 0 \implies (x+3)(3x-8) = 0 $
Solutions: $ x = -3 $ ou $ x = \dfrac{8}{3} $. $ S = \left\{-3; \dfrac{8}{3}\right\} $.

3) $ (3x + 1)^2 = (x + 5)^2 $

On transpose et on utilise $ a^2-b^2=0 $ :
$ (3x+1)^2 - (x+5)^2 = 0 $
$ \left[(3x+1) - (x+5)\right]\left[(3x+1) + (x+5)\right] = 0 $
$ (2x-4)(4x+6) = 0 $
Solutions: $ x=2 $ ou $ x = -\dfrac{3}{2} $. $ S = \left\{-\dfrac{3}{2}; 2\right\} $.

4) $ x^2 + 6x + 5 = 0 $

On reconnaît le début de $ (x+3)^2 = x^2+6x+9 $.
$ (x^2+6x+9) - 9 + 5 = 0 \implies (x+3)^2 - 4 = 0 $
$ \left[(x+3)-2\right]\left[(x+3)+2\right] = 0 \implies (x+1)(x+5) = 0 $
Solutions: $ x = -1 $ ou $ x = -5 $. $ S = \{-5; -1\} $.

5) $ 4x^2 - 1 - (2x-1)(3x+2) = 0 $

On factorise $ 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) $.
$ (2x-1)(2x+1) - (2x-1)(3x+2) = 0 $
On factorise par $ (2x-1) $ :
$ (2x-1)\left[(2x+1) - (3x+2)\right] = 0 \implies (2x-1)(-x-1) = 0 $
Solutions: $ x = \dfrac{1}{2} $ ou $ x = -1 $. $ S = \left\{-1; \dfrac{1}{2}\right\} $.