Systèmes d'équations par substitution

1) Le premier achat se traduit par $ 20x + 30y = 180 $.
Le second achat se traduit par $ 7x + y = 25 $.
Le système à résoudre est donc : $ \begin{cases} 20x + 30y = 180 \quad (L_1) \\ 7x + y = 25 \quad (L_2) \end{cases} $.

2) Le système à résoudre est le même que dans l'exercice 1, question 2. La résolution par substitution a montré que $ x=3 $ et $ y=4 $.
Conclusion : un pack de boissons gazeuses coûte 3 € et un pack de jus coûte 4 €.

1) La première phrase se traduit par l'équation $ 4x + 3y = 108 $.
La deuxième phrase nous donne $ x = \dfrac{3}{5}y $.
Le système est donc : $ \begin{cases} 4x + 3y = 108 \quad (L_1) \\ x = \dfrac{3}{5}y \quad (L_2) \end{cases} $.

2) La méthode par substitution s'impose, car on a déjà une expression de $ x $ en fonction de $ y $ dans $ (L_2) $. On la remplace dans $ (L_1) $.
$ 4 \left( \dfrac{3}{5}y \right) + 3y = 108 $
$ \dfrac{12}{5}y + 3y = 108 $
Pour additionner, on met au même dénominateur : $ \dfrac{12}{5}y + \dfrac{15}{5}y = 108 $
$ \dfrac{27}{5}y = 108 $
$ y = 108 \times \dfrac{5}{27} = 4 \times 5 = 20 $
On remplace $ y $ par sa valeur dans $ (L_2) $ :
$ x = \dfrac{3}{5} \times 20 = 3 \times 4 = 12 $
Conclusion : le prix d'une cravate est de 12 € et le prix d'une chemise est de 20 €.

1) Soit le système $ \begin{cases} x + y = 35 \quad (L_1) \\ 8x + 7y = 260 \quad (L_2) \end{cases} $.
De la ligne $ (L_1) $, on exprime $ x $ : $ x = 35 - y $.
On remplace $ x $ dans la ligne $ (L_2) $ :
$ 8\left(35 - y\right) + 7y = 260 $
$ 280 - 8y + 7y = 260 $
$ 280 - y = 260 $
$ y = 280 - 260 = 20 $

On calcule $ x $ :
$ x = 35 - 20 = 15 $

La solution du système est $ S = \left\{(15; 20)\right\} $.

2) Soit $ x $ le prix du livre et $ y $ le prix du stylo. L'achat initial est $ x + y = 35 $.
Le prix du livre avec 20% de réduction est $ x - 0,2x = 0,8x $.
Le prix du stylo avec 30% de réduction est $ y - 0,3y = 0,7y $.
Le coût total après réduction est $ 0,8x + 0,7y = 26 $. Pour éviter les décimaux, on peut multiplier par 10 : $ 8x + 7y = 260 $.
On retrouve le système de la question 1.
Conclusion : le prix initial du livre était de 15 € et celui du stylo de 20 €.

1) Soit le système $ \begin{cases} x + y = 110 \quad (L_1) \\ 2x - 3y = 20 \quad (L_2) \end{cases} $.
À partir de $ (L_1) $, on exprime $ x $ : $ x = 110 - y $.
On substitue dans $ (L_2) $ :
$ 2\left(110 - y\right) - 3y = 20 $
$ 220 - 2y - 3y = 20 $
$ 220 - 5y = 20 $
$ 200 = 5y $
$ y = \dfrac{200}{5} = 40 $

On calcule $ x $ :
$ x = 110 - 40 = 70 $

La solution du système est $ S = \left\{(70; 40)\right\} $.

2) En appelant $ x $ le premier nombre et $ y $ le second, on obtient le système de la question 1.
Conclusion : les deux nombres sont 70 et 40.