Exercice 1 : Opérations sur les évènementsExercise 1: Operations on eventsEjercicio 1: Operaciones con sucesos
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (cartes de 7 à As, 4 couleurs : Cœur, Carreau, Trèfle, Pique). On considère les évènements suivants :
$A$ : « La carte tirée est un roi »
$B$ : « La carte tirée est rouge (Cœur ou Carreau) »
1. Décrire par une phrase l'évènement $\bar{A}$. Combien d'issues contient-il ?
2. Décrire par une phrase l'évènement $A \cap B$. Calculer $p(A \cap B)$.
3. Décrire par une phrase l'évènement $A \cup B$.
4. Calculer $p(A)$ et $p(B)$.
5. En déduire la probabilité $p(A \cup B)$ à l'aide d'une formule du cours.
A card is drawn at random from a 32-card deck (cards from 7 to Ace, 4 suits: Hearts, Diamonds, Clubs, Spades). Consider the following events:
$A$: "The drawn card is a king"
$B$: "The drawn card is red (Hearts or Diamonds)"
1. Describe the event $\bar{A}$ with a sentence. How many outcomes does it contain?
2. Describe the event $A \cap B$ with a sentence. Calculate $p(A \cap B)$.
3. Describe the event $A \cup B$ with a sentence.
4. Calculate $p(A)$ and $p(B)$.
5. Deduce the probability $p(A \cup B)$ using a formula from the lesson.
Se extrae una carta al azar de una baraja de 32 cartas (cartas del 7 al As, 4 palos: Corazones, Diamantes, Tréboles, Picas). Consideramos los siguientes sucesos:
$A$: "La carta extraída es un rey"
$B$: "La carta extraída es roja (Corazones o Diamantes)"
1. Describe el suceso $\bar{A}$ con una frase. ¿Cuántos resultados contiene?
2. Describe el suceso $A \cap B$ con una frase. Calcula $p(A \cap B)$.
3. Describe el suceso $A \cup B$ con una frase.
4. Calcula $p(A)$ y $p(B)$.
5. Deduce la probabilidad $p(A \cup B)$ usando una fórmula del curso.
Corrigé :Solution:Solución:
L'évènement $\bar{A}$ est l'évènement contraire de $A$, donc : « La carte tirée n'est pas un roi ». Il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes, donc $\bar{A}$ contient $32 - 4 = $ $28$ issues.
L'évènement $A \cap B$ correspond à l'intersection, donc : « La carte tirée est un roi et est rouge ». Cela correspond au Roi de Cœur et au Roi de Carreau. Il y a 2 issues favorables sur 32 possibles. $p(A \cap B) = \dfrac{2}{32} = $ $\dfrac{1}{16}$.
L'évènement $A \cup B$ correspond à l'union, donc : « La carte tirée est un roi ou est rouge (ou les deux) ».
Il y a 4 rois, donc $p(A) = \dfrac{4}{32} = $ $\dfrac{1}{8}$. La moitié des cartes sont rouges, donc $p(B) = \dfrac{16}{32} = $ $\dfrac{1}{2}$.
On utilise la formule $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
$p(A \cup B) = \dfrac{4}{32} + \dfrac{16}{32} - \dfrac{2}{32} = \dfrac{18}{32} = $ $\dfrac{9}{16}$.
Event $\bar{A}$ is the complement of $A$, so: "The drawn card is not a king". There are 4 kings in a 32-card deck, so $\bar{A}$ contains $32 - 4 = $ $28$ outcomes.
Event $A \cap B$ corresponds to the intersection, so: "The drawn card is a king and is red". This corresponds to the King of Hearts and the King of Diamonds. There are 2 favorable outcomes out of 32 possible. $p(A \cap B) = \dfrac{2}{32} = $ $\dfrac{1}{16}$.
Event $A \cup B$ corresponds to the union, so: "The drawn card is a king or is red (or both)".
There are 4 kings, so $p(A) = \dfrac{4}{32} = $ $\dfrac{1}{8}$. Half of the cards are red, so $p(B) = \dfrac{16}{32} = $ $\dfrac{1}{2}$.
We use the formula $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
$p(A \cup B) = \dfrac{4}{32} + \dfrac{16}{32} - \dfrac{2}{32} = \dfrac{18}{32} = $ $\dfrac{9}{16}$.
El suceso $\bar{A}$ es el suceso contrario de $A$, por tanto: "La carta extraída no es un rey". Hay 4 reyes en una baraja de 32 cartas, así que $\bar{A}$ contiene $32 - 4 = $ $28$ resultados.
El suceso $A \cap B$ corresponde a la intersección, por tanto: "La carta extraída es un rey y es roja". Esto corresponde al Rey de Corazones y al Rey de Diamantes. Hay 2 resultados favorables de 32 posibles. $p(A \cap B) = \dfrac{2}{32} = $ $\dfrac{1}{16}$.
El suceso $A \cup B$ corresponde a la unión, por tanto: "La carta extraída es un rey o es roja (o ambos)".
Hay 4 reyes, así que $p(A) = \dfrac{4}{32} = $ $\dfrac{1}{8}$. La mitad de las cartas son rojas, así que $p(B) = \dfrac{16}{32} = $ $\dfrac{1}{2}$.
Usamos la fórmula $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
$p(A \cup B) = \dfrac{4}{32} + \dfrac{16}{32} - \dfrac{2}{32} = \dfrac{18}{32} = $ $\dfrac{9}{16}$.
Exercice 2 : Tableau à double entrée en effectifsExercise 2: Two-way table with frequenciesEjercicio 2: Tabla de doble entrada con frecuencias
Dans un club de sport comptant 150 adhérents, on étudie la répartition entre les hommes ($H$) et les femmes ($F$), ainsi que la pratique du tennis ($T$) ou du badminton ($B$). Chaque adhérent pratique un et un seul de ces deux sports.
Il y a $60$ femmes dans le club.
$80$ adhérents pratiquent le tennis.
Parmi les femmes, $25$ pratiquent le badminton.
1. Construire et compléter un tableau à double entrée représentant ces effectifs (colonnes : $H, F, \text{Total}$ ; lignes : $T, B, \text{Total}$).
2. On choisit un adhérent au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit un homme qui pratique le tennis (évènement $H \cap T$) ?
3. Quelle est la probabilité que l'adhérent choisi soit une femme ou qu'il pratique le badminton (évènement $F \cup B$) ?
4. Décrire par une phrase l'évènement $\overline{F \cup T}$.
5. Calculer la probabilité de l'évènement $\overline{F \cup T}$.
In a sports club with 150 members, we study the distribution between men ($H$) and women ($F$), as well as the practice of tennis ($T$) or badminton ($B$). Each member practices exactly one of these two sports.
There are $60$ women in the club.
$80$ members practice tennis.
Among the women, $25$ practice badminton.
1. Construct and complete a two-way table representing these frequencies (columns: $H, F, \text{Total}$; rows: $T, B, \text{Total}$).
2. A member is chosen at random. What is the probability that it is a man who practices tennis (event $H \cap T$)?
3. What is the probability that the chosen member is a woman or practices badminton (event $F \cup B$)?
4. Describe the event $\overline{F \cup T}$ with a sentence.
5. Calculate the probability of the event $\overline{F \cup T}$.
En un club deportivo con 150 socios, estudiamos la distribución entre hombres ($H$) y mujeres ($F$), así como la práctica de tenis ($T$) o bádminton ($B$). Cada socio practica exactamente uno de estos dos deportes.
Hay $60$ mujeres en el club.
$80$ socios practican tenis.
Entre las mujeres, $25$ practican bádminton.
1. Construye y completa una tabla de doble entrada que represente estas frecuencias (columnas: $H, F, \text{Total}$; filas: $T, B, \text{Total}$).
2. Se elige un socio al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre que practica tenis (suceso $H \cap T$)?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el socio elegido sea una mujer o practique bádminton (suceso $F \cup B$)?
4. Describe el suceso $\overline{F \cup T}$ con una frase.
5. Calcula la probabilidad del suceso $\overline{F \cup T}$.
Corrigé :Solution:Solución:
Tableau complété (en gras les valeurs données dans l'énoncé) :
$H$
$F$
Total
$T$
45
35
80
$B$
45
25
70
Total
90
60
150
Détail des calculs : $T \cap F = 60 - 25 = 35$. Total $H = 150 - 60 = 90$. Total $B = 150 - 80 = 70$. $B \cap H = 70 - 25 = 45$. $T \cap H = 80 - 35 = 45$.
On lit l'effectif dans la case $H$ et $T$ : il y a 45 hommes jouant au tennis. Donc $p(H \cap T) = \dfrac{45}{150} = $ $0,3$ (ou $\dfrac{3}{10}$).
$p(F \cup B) = p(F) + p(B) - p(F \cap B) = \dfrac{60}{150} + \dfrac{70}{150} - \dfrac{25}{150} = \dfrac{105}{150} = $ $0,7$ (ou $\dfrac{7}{10}$). On pouvait aussi additionner les cases : $F \cap T + F \cap B + H \cap B = 35 + 25 + 45 = 105$.
L'évènement $\overline{F \cup T}$ est le contraire de « être une femme OU jouer au tennis ». C'est donc l'évènement : « Ne pas être une femme ET ne pas jouer au tennis », ce qui revient à « Être un homme ET jouer au badminton » (soit l'évènement $H \cap B$).
D'après la question précédente, $\overline{F \cup T} = H \cap B$. Donc $p(\overline{F \cup T}) = p(H \cap B) = \dfrac{45}{150} = $ $0,3$.
Completed table (bold values were given):
$H$
$F$
Total
$T$
45
35
80
$B$
45
25
70
Total
90
60
150
Calculation details: $T \cap F = 60 - 25 = 35$. Total $H = 150 - 60 = 90$. Total $B = 150 - 80 = 70$. $B \cap H = 70 - 25 = 45$. $T \cap H = 80 - 35 = 45$.
We read the frequency in the $H$ and $T$ cell: there are 45 men playing tennis. Thus $p(H \cap T) = \dfrac{45}{150} = $ $0.3$ (or $\dfrac{3}{10}$).
$p(F \cup B) = p(F) + p(B) - p(F \cap B) = \dfrac{60}{150} + \dfrac{70}{150} - \dfrac{25}{150} = \dfrac{105}{150} = $ $0.7$ (or $\dfrac{7}{10}$). We could also sum the cells: $F \cap T + F \cap B + H \cap B = 35 + 25 + 45 = 105$.
Event $\overline{F \cup T}$ is the complement of "being a woman OR playing tennis". It is therefore the event: "Not being a woman AND not playing tennis", which means "Being a man AND playing badminton" (which is event $H \cap B$).
From the previous question, $\overline{F \cup T} = H \cap B$. Thus $p(\overline{F \cup T}) = p(H \cap B) = \dfrac{45}{150} = $ $0.3$.
Tabla completada (los valores en negrita fueron dados):
$H$
$F$
Total
$T$
45
35
80
$B$
45
25
70
Total
90
60
150
Detalle de los cálculos: $T \cap F = 60 - 25 = 35$. Total $H = 150 - 60 = 90$. Total $B = 150 - 80 = 70$. $B \cap H = 70 - 25 = 45$. $T \cap H = 80 - 35 = 45$.
Leemos la frecuencia en la casilla $H$ y $T$: hay 45 hombres jugando al tenis. Así $p(H \cap T) = \dfrac{45}{150} = $ $0.3$ (o $\dfrac{3}{10}$).
$p(F \cup B) = p(F) + p(B) - p(F \cap B) = \dfrac{60}{150} + \dfrac{70}{150} - \dfrac{25}{150} = \dfrac{105}{150} = $ $0.7$ (o $\dfrac{7}{10}$). También podríamos sumar las casillas: $F \cap T + F \cap B + H \cap B = 35 + 25 + 45 = 105$.
El suceso $\overline{F \cup T}$ es el contrario de "ser mujer O jugar al tenis". Por lo tanto, es el suceso: "No ser mujer Y no jugar al tenis", lo que significa "Ser hombre Y jugar al bádminton" (que es el suceso $H \cap B$).
De la pregunta anterior, $\overline{F \cup T} = H \cap B$. Así $p(\overline{F \cup T}) = p(H \cap B) = \dfrac{45}{150} = $ $0.3$.
Exercice 3 : Tableau à double entrée en probabilitésExercise 3: Two-way table with probabilitiesEjercicio 3: Tabla de doble entrada con probabilidades
Dans un lycée, on a mené une enquête sur les élèves concernant la possession d'un vélo ($V$) ou d'une trottinette ($T$).
On sait que :
La probabilité qu'un élève possède un vélo est $p(V) = 0,65$.
La probabilité qu'un élève possède une trottinette est $p(T) = 0,40$.
La probabilité qu'un élève ne possède aucun de ces deux moyens de transport est $p(\overline{V} \cap \overline{T}) = 0,15$.
1. Construire et compléter un tableau à double entrée contenant les \textbf{probabilités} de ces évènements et de leurs intersections.
2. Quelle est la probabilité qu'un élève possède à la fois un vélo et une trottinette ?
3. Quelle est la probabilité qu'un élève possède un vélo mais pas de trottinette ?
4. Calculer la probabilité qu'un élève possède au moins l'un des deux moyens de transport (évènement $V \cup T$).
5. Vérifier que la formule $p(V \cup T) = p(V) + p(T) - p(V \cap T)$ est bien satisfaite.
In a high school, a survey was conducted among students regarding the ownership of a bicycle ($V$) or a scooter ($T$).
We know that:
The probability that a student owns a bicycle is $p(V) = 0.65$.
The probability that a student owns a scooter is $p(T) = 0.40$.
The probability that a student owns neither of these two means of transportation is $p(\overline{V} \cap \overline{T}) = 0.15$.
1. Construct and complete a two-way table containing the \textbf{probabilities} of these events and their intersections.
2. What is the probability that a student owns both a bicycle and a scooter?
3. What is the probability that a student owns a bicycle but no scooter?
4. Calculate the probability that a student owns at least one of the two means of transportation (event $V \cup T$).
5. Verify that the formula $p(V \cup T) = p(V) + p(T) - p(V \cap T)$ is satisfied.
En un instituto, se realizó una encuesta entre los estudiantes sobre la posesión de una bicicleta ($V$) o un patinete ($T$).
Sabemos que:
La probabilidad de que un estudiante tenga una bicicleta es $p(V) = 0.65$.
La probabilidad de que un estudiante tenga un patinete es $p(T) = 0.40$.
La probabilidad de que un estudiante no tenga ninguno de estos dos medios de transporte es $p(\overline{V} \cap \overline{T}) = 0.15$.
1. Construye y completa una tabla de doble entrada que contenga las \textbf{probabilidades} de estos sucesos y sus intersecciones.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga tanto una bicicleta como un patinete?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga una bicicleta pero no un patinete?
4. Calcula la probabilidad de que un estudiante tenga al menos uno de los dos medios de transporte (suceso $V \cup T$).
5. Verifica que se cumple la fórmula $p(V \cup T) = p(V) + p(T) - p(V \cap T)$.
Corrigé :Solution:Solución:
Tableau de probabilités (en gras les valeurs données dans l'énoncé) :
$V$
$\overline{V}$
Total
$T$
0,20
0,20
0,40
$\overline{T}$
0,45
0,15
0,60
Total
0,65
0,35
1
Détail : Total $\overline{V} = 1 - 0,65 = 0,35$. Total $\overline{T} = 1 - 0,40 = 0,60$. $V \cap \overline{T} = 0,65 - 0,20$ (ou par la ligne du bas). Les autres cases s'en déduisent.
Il s'agit de l'évènement $V \cap T$. D'après le tableau, $p(V \cap T) = $ $0,20$.
Il s'agit de l'évènement $V \cap \overline{T}$. D'après le tableau, $p(V \cap \overline{T}) = $ $0,45$.
Posséder au moins l'un des deux, c'est l'évènement $V \cup T$. L'évènement contraire est « n'en posséder aucun », c'est-à-dire $\overline{V} \cap \overline{T}$.
Donc $p(V \cup T) = 1 - p(\overline{V} \cap \overline{T}) = 1 - 0,15 = $ $0,85$.
Calculons : $p(V) + p(T) - p(V \cap T) = 0,65 + 0,40 - 0,20 = 1,05 - 0,20 = 0,85$. On retrouve bien la même valeur, la formule est vérifiée.
Probability table (bold values were given):
$V$
$\overline{V}$
Total
$T$
0.20
0.20
0.40
$\overline{T}$
0.45
0.15
0.60
Total
0.65
0.35
1
This is event $V \cap T$. From the table, $p(V \cap T) = $ $0.20$.
This is event $V \cap \overline{T}$. From the table, $p(V \cap \overline{T}) = $ $0.45$.
Owning at least one of the two is event $V \cup T$. The complementary event is "owning neither", which is $\overline{V} \cap \overline{T}$.
Thus $p(V \cup T) = 1 - p(\overline{V} \cap \overline{T}) = 1 - 0.15 = $ $0.85$.
Let's calculate: $p(V) + p(T) - p(V \cap T) = 0.65 + 0.40 - 0.20 = 1.05 - 0.20 = 0.85$. We find the same value, the formula is verified.
Tabla de probabilidades (los valores en negrita fueron dados):
$V$
$\overline{V}$
Total
$T$
0.20
0.20
0.40
$\overline{T}$
0.45
0.15
0.60
Total
0.65
0.35
1
Este es el suceso $V \cap T$. Según la tabla, $p(V \cap T) = $ $0.20$.
Este es el suceso $V \cap \overline{T}$. Según la tabla, $p(V \cap \overline{T}) = $ $0.45$.
Tener al menos uno de los dos es el suceso $V \cup T$. El suceso contrario es "no tener ninguno", es decir, $\overline{V} \cap \overline{T}$.
Por tanto $p(V \cup T) = 1 - p(\overline{V} \cap \overline{T}) = 1 - 0.15 = $ $0.85$.
Calculemos: $p(V) + p(T) - p(V \cap T) = 0.65 + 0.40 - 0.20 = 1.05 - 0.20 = 0.85$. Encontramos el mismo valor, la fórmula se verifica.
Exercice 4 : Tirages avec remise et arbre pondéréExercise 4: Draws with replacement and probability treeEjercicio 4: Extracciones con reemplazo y diagrama de árbol
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 6 boules bleues ($B$) et 4 boules vertes ($V$).
On tire au hasard une boule de l'urne, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne. On tire ensuite une seconde boule et on note sa couleur.
1. Construire l'arbre pondéré représentant cette expérience aléatoire.
2. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules bleues.
3. Démontrer que la probabilité d'obtenir exactement une boule verte est égale à $0,48$.
4. Soit $E$ l'évènement : « Obtenir au moins une boule verte ». Quel est l'évènement contraire de $E$ ?
5. En déduire la probabilité de l'évènement $E$.
An urn contains 10 indistinguishable balls: 6 blue balls ($B$) and 4 green balls ($V$).
A ball is drawn at random from the urn, its color is recorded, then it is put back into the urn. A second ball is then drawn and its color is recorded.
1. Construct the probability tree representing this random experiment.
2. Calculate the probability of getting two blue balls.
3. Prove that the probability of getting exactly one green ball is equal to $0.48$.
4. Let $E$ be the event: "Getting at least one green ball". What is the complementary event of $E$?
5. Deduce the probability of event $E$.
Una urna contiene 10 bolas indistinguibles: 6 bolas azules ($B$) y 4 bolas verdes ($V$).
Se extrae una bola al azar de la urna, se anota su color y se devuelve a la urna. Luego se extrae una segunda bola y se anota su color.
1. Construye el diagrama de árbol que representa este experimento aleatorio.
2. Calcula la probabilidad de obtener dos bolas azules.
3. Demuestra que la probabilidad de obtener exactamente una bola verde es igual a $0.48$.
4. Sea $E$ el suceso: "Obtener al menos una bola verde". ¿Cuál es el suceso contrario de $E$?
5. Deduce la probabilidad del suceso $E$.
Corrigé :Solution:Solución:
Le tirage s'effectuant avec remise, la composition de l'urne reste la même (10 boules dont 6B et 4V) pour le 2ème tirage.
Les probabilités pour la branche $B$ sont $\frac{6}{10} = 0,6$ et pour la branche $V$ sont $\frac{4}{10} = 0,4$.
(Arbre : Racine $\to B(0,6)$ et $V(0,4)$. De $B \to B(0,6)$ et $V(0,4)$. De $V \to B(0,6)$ et $V(0,4)$).
Il s'agit du chemin $B-B$. La probabilité est le produit des branches : $p(B \cap B) = 0,6 \times 0,6 = $ $0,36$.
Cet évènement correspond à deux chemins de l'arbre : $B-V$ et $V-B$.
La probabilité est la somme des probabilités de ces chemins : $p(exactement\_une\_verte) = p(B \cap V) + p(V \cap B) = (0,6 \times 0,4) + (0,4 \times 0,6) = 0,24 + 0,24 = $ $0,48$.
L'évènement contraire de « au moins une boule verte » (qui signifie 1 ou 2 boules vertes) est « n'obtenir aucune boule verte », ce qui revient à « obtenir deux boules bleues ». Donc $\bar{E} = B \cap B$.
En utilisant la propriété de l'évènement contraire et la question 2 : $p(E) = 1 - p(\bar{E}) = 1 - p(B \cap B) = 1 - 0,36 = $ $0,64$.
Since the draw is with replacement, the urn composition remains the same (10 balls including 6B and 4V) for the 2nd draw.
The probabilities for branch $B$ are $\frac{6}{10} = 0.6$ and for branch $V$ are $\frac{4}{10} = 0.4$.
This is path $B-B$. The probability is the product of the branches: $p(B \cap B) = 0.6 \times 0.6 = $ $0.36$.
This event corresponds to two paths in the tree: $B-V$ and $V-B$.
The probability is the sum of the probabilities of these paths: $p(exactly\_one\_green) = p(B \cap V) + p(V \cap B) = (0.6 \times 0.4) + (0.4 \times 0.6) = 0.24 + 0.24 = $ $0.48$.
The complementary event of "at least one green ball" (meaning 1 or 2 green balls) is "getting no green ball", which means "getting two blue balls". So $\bar{E} = B \cap B$.
Using the complementary event property and question 2: $p(E) = 1 - p(\bar{E}) = 1 - p(B \cap B) = 1 - 0.36 = $ $0.64$.
Como la extracción es con reemplazo, la composición de la urna sigue siendo la misma (10 bolas incluyendo 6B y 4V) para la 2ª extracción.
Las probabilidades para la rama $B$ son $\frac{6}{10} = 0.6$ y para la rama $V$ son $\frac{4}{10} = 0.4$.
Este es el camino $B-B$. La probabilidad es el producto de las ramas: $p(B \cap B) = 0.6 \times 0.6 = $ $0.36$.
Este suceso corresponde a dos caminos en el árbol: $B-V$ y $V-B$.
La probabilidad es la suma de las probabilidades de estos caminos: $p(exactamente\_una\_verde) = p(B \cap V) + p(V \cap B) = (0.6 \times 0.4) + (0.4 \times 0.6) = 0.24 + 0.24 = $ $0.48$.
El suceso contrario de "al menos una bola verde" (es decir, 1 o 2 bolas verdes) es "no obtener ninguna bola verde", lo que significa "obtener dos bolas azules". Así que $\bar{E} = B \cap B$.
Usando la propiedad del suceso contrario y la pregunta 2: $p(E) = 1 - p(\bar{E}) = 1 - p(B \cap B) = 1 - 0.36 = $ $0.64$.
Exercice 5 : Tirages sans remise et arbre pondéréExercise 5: Draws without replacement and probability treeEjercicio 5: Extracciones sin reemplazo y diagrama de árbol
Dans un jeu télévisé, un candidat se trouve face à une boîte contenant 8 enveloppes d'apparence identique. Parmi ces enveloppes, 2 contiennent un chèque de 1000€ (notées $G$ pour Gagnante) et 6 sont vides (notées $P$ pour Perdante).
Le candidat tire au hasard une première enveloppe, la garde sans l'ouvrir, puis en tire au hasard une seconde (c'est donc un tirage successif sans remise).
1. Construire l'arbre pondéré représentant cette expérience, en indiquant les probabilités sur chaque branche sous forme de fraction.
2. Calculer la probabilité que le candidat gagne 2000€ (soit l'évènement : tirer deux enveloppes gagnantes).
3. Calculer la probabilité que le candidat ne gagne rien (soit l'évènement : tirer deux enveloppes perdantes).
4. En déduire la probabilité que le candidat gagne exactement 1000€.
5. On note $A$ l'évènement : « Le candidat gagne au moins 1000€ ». Calculer $p(A)$.
In a TV game show, a contestant faces a box containing 8 identical-looking envelopes. Among these envelopes, 2 contain a €1000 check (denoted $G$ for Winning) and 6 are empty (denoted $P$ for Losing).
The contestant randomly draws a first envelope, keeps it without opening it, then randomly draws a second one (this is therefore a successive draw without replacement).
1. Construct the probability tree representing this experiment, indicating the probabilities on each branch as a fraction.
2. Calculate the probability that the contestant wins €2000 (i.e., the event: drawing two winning envelopes).
3. Calculate the probability that the contestant wins nothing (i.e., the event: drawing two losing envelopes).
4. Deduce the probability that the contestant wins exactly €1000.
5. Let $A$ be the event: "The contestant wins at least €1000". Calculate $p(A)$.
En un concurso de televisión, un participante se enfrenta a una caja que contiene 8 sobres de idéntico aspecto. Entre estos sobres, 2 contienen un cheque de 1000€ (denotados $G$ de Ganador) y 6 están vacíos (denotados $P$ de Perdedor).
El participante extrae al azar un primer sobre, lo guarda sin abrirlo, y luego extrae al azar un segundo (se trata por tanto de una extracción sucesiva sin reemplazo).
1. Construye el diagrama de árbol que representa este experimento, indicando las probabilidades en cada rama en forma de fracción.
2. Calcula la probabilidad de que el participante gane 2000€ (es decir, el suceso: sacar dos sobres ganadores).
3. Calcula la probabilidad de que el participante no gane nada (es decir, el suceso: sacar dos sobres perdedores).
4. Deduce la probabilidad de que el participante gane exactamente 1000€.
5. Sea $A$ el suceso: "El participante gana al menos 1000€". Calcula $p(A)$.
Corrigé :Solution:Solución:
Le tirage étant sans remise, il reste 7 enveloppes pour le second tirage.
- Pour le 1er tirage : $p(G_1) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ et $p(P_1) = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.
- Si $G_1$ : il reste 1G et 6P sur 7. Donc $G_2$ a pour proba $\dfrac{1}{7}$, $P_2$ a pour proba $\dfrac{6}{7}$.
- Si $P_1$ : il reste 2G et 5P sur 7. Donc $G_2$ a pour proba $\dfrac{2}{7}$, $P_2$ a pour proba $\dfrac{5}{7}$.
Il s'agit du chemin $G_1-G_2$. La probabilité est : $p(G_1 \cap G_2) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{7} = $ $\dfrac{1}{28}$.
Il s'agit du chemin $P_1-P_2$. La probabilité est : $p(P_1 \cap P_2) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{7} = $ $\dfrac{15}{28}$.
Gagner exactement 1000€ correspond à l'évènement $B$ : tirer une enveloppe gagnante et une perdante. Puisque la somme des probabilités de toutes les issues (0€, 1000€, 2000€) vaut 1, on peut calculer :
$p(B) = 1 - p(G_1 \cap G_2) - p(P_1 \cap P_2) = 1 - \dfrac{1}{28} - \dfrac{15}{28} = 1 - \dfrac{16}{28} = \dfrac{12}{28} = $ $\dfrac{3}{7}$. (On pouvait aussi faire la somme des chemins $G_1-P_2$ et $P_1-G_2$ : $\left(\frac{1}{4}\times\frac{6}{7}\right) + \left(\frac{3}{4}\times\frac{2}{7}\right) = \frac{6}{28} + \frac{6}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$).
Gagner au moins 1000€, c'est l'évènement contraire de « gagner 0€ » (tirer 2 perdantes).
$p(A) = 1 - p(P_1 \cap P_2) = 1 - \dfrac{15}{28} = $ $\dfrac{13}{28}$. (Ou bien : $p(A) = p(G_1 \cap G_2) + p(exactement\_1000\text{\euro}) = \frac{1}{28} + \frac{12}{28} = \frac{13}{28}$).
Since the draw is without replacement, 7 envelopes remain for the second draw.
- For the 1st draw: $p(G_1) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ and $p(P_1) = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.
- If $G_1$: 1G and 6P out of 7 remain. So $G_2$ has prob $\dfrac{1}{7}$, $P_2$ has prob $\dfrac{6}{7}$.
- If $P_1$: 2G and 5P out of 7 remain. So $G_2$ has prob $\dfrac{2}{7}$, $P_2$ has prob $\dfrac{5}{7}$.
This is path $G_1-G_2$. The probability is: $p(G_1 \cap G_2) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{7} = $ $\dfrac{1}{28}$.
This is path $P_1-P_2$. The probability is: $p(P_1 \cap P_2) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{7} = $ $\dfrac{15}{28}$.
Winning exactly €1000 corresponds to event $B$: drawing one winning and one losing envelope. Since the sum of all outcomes' probabilities (€0, €1000, €2000) is 1, we can calculate:
$p(B) = 1 - p(G_1 \cap G_2) - p(P_1 \cap P_2) = 1 - \dfrac{1}{28} - \dfrac{15}{28} = 1 - \dfrac{16}{28} = \dfrac{12}{28} = $ $\dfrac{3}{7}$. (We could also sum paths $G_1-P_2$ and $P_1-G_2$: $\left(\frac{1}{4}\times\frac{6}{7}\right) + \left(\frac{3}{4}\times\frac{2}{7}\right) = \frac{6}{28} + \frac{6}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$).
Winning at least €1000 is the complementary event of "winning €0" (drawing 2 losers).
$p(A) = 1 - p(P_1 \cap P_2) = 1 - \dfrac{15}{28} = $ $\dfrac{13}{28}$.
Al ser una extracción sin reemplazo, quedan 7 sobres para la segunda extracción.
- Para la 1ª extracción: $p(G_1) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ y $p(P_1) = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.
- Si $G_1$: quedan 1G y 6P de 7. Así que $G_2$ tiene prob $\dfrac{1}{7}$, $P_2$ tiene prob $\dfrac{6}{7}$.
- Si $P_1$: quedan 2G y 5P de 7. Así que $G_2$ tiene prob $\dfrac{2}{7}$, $P_2$ tiene prob $\dfrac{5}{7}$.
Este es el camino $G_1-G_2$. La probabilidad es: $p(G_1 \cap G_2) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{7} = $ $\dfrac{1}{28}$.
Este es el camino $P_1-P_2$. La probabilidad es: $p(P_1 \cap P_2) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{7} = $ $\dfrac{15}{28}$.
Ganar exactamente 1000€ corresponde al suceso $B$: sacar un sobre ganador y uno perdedor. Ya que la suma de las probabilidades de todos los resultados (0€, 1000€, 2000€) es 1, podemos calcular:
$p(B) = 1 - p(G_1 \cap G_2) - p(P_1 \cap P_2) = 1 - \dfrac{1}{28} - \dfrac{15}{28} = 1 - \dfrac{16}{28} = \dfrac{12}{28} = $ $\dfrac{3}{7}$. (También podríamos sumar los caminos $G_1-P_2$ y $P_1-G_2$: $\left(\frac{1}{4}\times\frac{6}{7}\right) + \left(\frac{3}{4}\times\frac{2}{7}\right) = \frac{6}{28} + \frac{6}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$).
Ganar al menos 1000€ es el suceso contrario de "ganar 0€" (sacar 2 perdedores).
$p(A) = 1 - p(P_1 \cap P_2) = 1 - \dfrac{15}{28} = $ $\dfrac{13}{28}$.
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