CALCUL VECTORIEL
Exercice 1 : Égalité vectorielle et parallélogramme
Soient $A, B$ et $C$ trois points non alignés du plan.
Soit $D$ le point tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ et $E$ le point tel que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BE}$.
Démontrer que le point $B$ est le milieu du segment $[DE]$.
Corrigé :
La propriété du cours dit : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC$ est un parallélogramme.
Si l'on considère la coquille classique où l'énoncé veut dire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (ce qui fait de $ABCD$ un parallélogramme), alors $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$, ou encore $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AC}$.
L'énoncé donne $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BE}$.
Par substitution, on obtient $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BE}$.
L'égalité $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BE}$ prouve exactement que $B$ est le milieu du segment $[DE]$.
Exercice 2 : Simplification avec la relation de Chasles
En utilisant la relation de Chasles et la notion de vecteur opposé, simplifier au maximum les expressions vectorielles suivantes :
Corrigé :
-
On applique la relation de Chasles de gauche à droite :
$\vec{u} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CA}$ = $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}$ = $\overrightarrow{AA} =$ $\overrightarrow{0}$. -
On transforme la soustraction en addition de l'opposé ($-\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{NP}$) :
$\vec{v} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ}$ = $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ} =$ $\overrightarrow{MQ}$. -
On transforme d'abord toutes les soustractions en utilisant les opposés :
$\vec{w} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}$
$\vec{w} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{AB} =$ $\overrightarrow{AB}$. -
$\vec{x} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD}$
$\vec{x} = (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC})$ = $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CC} =$ $\overrightarrow{0}$. - $\vec{y} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{HE}$ = $\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{HE} = \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HE} = \overrightarrow{EE} =$ $\overrightarrow{0}$.
-
On réordonne et on transforme la soustraction :
$\vec{z} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$ = $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BB} = $ $\overrightarrow{0}$. -
On transforme la soustraction :
$\vec{t} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{AB}$
On réordonne : $\vec{t} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{AB}$
$\vec{t} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BA} = $ $2\overrightarrow{BA}$ (ou $-2\overrightarrow{AB}$).
Exercice 3 : Expression en fonction de deux vecteurs
Soit $ABCD$ un parallélogramme. Exprimer les vecteurs suivants en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ :
- 1. $\overrightarrow{AC}$
- 2. $\overrightarrow{BD}$
- 3. $\overrightarrow{CB}$
- 4. $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}$
- 5. $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CD}$
- 6. $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DC}$
Corrigé :
- Dans le parallélogramme $ABCD$, on a $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ (règle du parallélogramme).
- Avec Chasles, $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}$. Comme $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, on a $\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
- $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}$. Or, puisque $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, donc $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{AD}$.
- $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD}$. D'après la question 2, $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
- $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA}$. Or $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}$, donc $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AD}$.
- On sait que $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. En remplaçant : $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = $ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ (qui est égal à $\overrightarrow{AC}$).
Exercice 4 : Vrai ou Faux ?
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse :
- Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
- Si les distances $AB$ et $CD$ sont égales ($AB = CD$), alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
- Pour tous points $A, B, C$, on a : $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}$.
- Pour tous points $A$ et $B$, l'égalité $\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{BB}$ est vraie.
- Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
Corrigé :
- VRAI. Deux vecteurs égaux ont la même direction, ce qui signifie que les droites qui les portent sont parallèles (ou confondues).
- FAUX. Avoir la même longueur ne suffit pas. Il faut aussi que les vecteurs aient la même direction et le même sens.
- VRAI. En utilisant la définition de la soustraction : $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. D'après Chasles, on obtient bien $\overrightarrow{AC}$.
- VRAI. Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ représente le vecteur nul $\overrightarrow{0}$, tout comme le vecteur $\overrightarrow{BB}$. Ils sont donc bien égaux.
- FAUX. Attention à l'ordre des points ! Si $ABCD$ est un parallélogramme, l'égalité correcte liant ces points est $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont des sens opposés.
Exercice 5 : Démonstration d'une identité vectorielle
Pour tous points $A, B, C, D$ du plan, démontrer que : $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$
Corrigé :
Pour démontrer cette égalité, nous allons partir du membre de gauche et utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître les vecteurs du membre de droite.
Dans le vecteur $\overrightarrow{AD}$, on introduit le point $C$ avec la relation de Chasles :
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$
Dans le vecteur $\overrightarrow{BC}$, on introduit le point $D$ avec la relation de Chasles :
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}$
En additionnant ces deux égalités :
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}) + (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC})$
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC})$
Or, $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CC} = \overrightarrow{0}$.
Par conséquent, on a bien : $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$.