Exercice 1 : Valeurs remarquables Exercise 1: Remarkable values Ejercicio 1: Valores notables

À l'aide du tableau des valeurs remarquables et du cercle trigonométrique, donnez la valeur exacte de chacune des expressions suivantes :

1. $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$

2. $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$

3. $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)$

4. $\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)$

5. $\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$

6. $\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$

7. $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{3}\right)$

8. $\sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right)$

Corrigé : Solution: Solución:

L'angle $-\dfrac{3\pi}{4}$ correspond à une réflexion par rapport à l'axe des abscisses de l'angle $\dfrac{3\pi}{4}$. Son cosinus est donc le même. $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
L'angle $\dfrac{5\pi}{6}$ est associé à $\dfrac{\pi}{6}$ par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
L'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ se trouve dans le 3ème quadrant, le cosinus y est négatif. $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$.
$\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$. On se trouve dans le 3ème quadrant, le sinus y est négatif. $\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$. 3ème quadrant, cosinus négatif. $\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}$. 3ème quadrant, sinus négatif. $\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$-\dfrac{5\pi}{3} = -2\pi + \dfrac{\pi}{3}$. Il a la même position que $\dfrac{\pi}{3}$. $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$.
$\dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6}$. Il a la même position que $-\dfrac{\pi}{6}$. $\sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$.

Exercice 2 : Détermination de cosinus ou sinus Exercise 2: Determining cosine or sine Ejercicio 2: Determinación del coseno o seno

Sachant que $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ et que $x \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$, déterminer $\sin(x)$.
Sachant que $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et que $x \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$, déterminer $\cos(x)$.
Sachant que $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et que $x \in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$, déterminer $\sin(x)$.

Corrigé : Solution: Solución:

Rappel : On utilise la relation fondamentale de la trigonométrie $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \sin^2(x) = 1 \iff \dfrac{1}{4} + \sin^2(x) = 1 \iff \sin^2(x) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
Comme $x \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$ (1er quadrant), le sinus est positif. Donc, $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos^2(x) + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 \iff \cos^2(x) + \dfrac{3}{4} = 1 \iff \cos^2(x) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$.
Comme $x \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$ (1er quadrant), le cosinus est positif. Donc, $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$.
$\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \sin^2(x) = 1 \iff \dfrac{2}{4} + \sin^2(x) = 1 \iff \sin^2(x) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.
Comme $x \in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$ (2ème quadrant), le sinus est positif. Donc, $\sin(x) = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = $ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Exercice 3 : Calcul d'expressions Exercise 3: Calculating expressions Ejercicio 3: Cálculo de expresiones

Calculer la valeur exacte des expressions suivantes :

$A = \cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + \sin^2\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$

$B = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \times \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

$C = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

$D = 2\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) + \sqrt{3}$

Corrigé : Solution: Solución:

$A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} = $ $1$.
$B = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{2}{4} = $ $\dfrac{1}{2}$.
$C = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = $ $0$.
$D = 2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \sqrt{3} = -\sqrt{3} + \sqrt{3} = $ $0$.

Exercice 4 : Équations trigonométriques Exercise 4: Trigonometric equations Ejercicio 4: Ecuaciones trigonométricas

Résoudre les équations trigonométriques suivantes dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ :

1. $\cos(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\sin(x) = -\dfrac{1}{2}$

3. $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

4. $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Corrigé : Solution: Solución:

On cherche les points du cercle trigonométrique d'abscisse $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$, cela correspond aux angles $\mathcal{S} = \left\{-\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{4}\right\}$.
On cherche les points du cercle trigonométrique d'ordonnée $-\dfrac{1}{2}$.
Dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$, cela correspond aux angles $\mathcal{S} = \left\{-\dfrac{5\pi}{6} ; -\dfrac{\pi}{6}\right\}$.
On cherche les points du cercle trigonométrique d'abscisse $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$, cela correspond aux angles $\mathcal{S} = \left\{-\dfrac{5\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right\}$.
On cherche les points du cercle trigonométrique d'ordonnée $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$, cela correspond aux angles $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{2\pi}{3}\right\}$.

Exercice 5 : Inéquations trigonométriques Exercise 5: Trigonometric inequalities Ejercicio 5: Inecuaciones trigonométricas

Résoudre les inéquations trigonométriques suivantes dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ :

1. $\cos(x) \ge \dfrac{1}{2}$

2. $\sin(x) < -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

3. $\cos(x) \le -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

4. $\sin(x) > \dfrac{1}{2}$

Corrigé : Solution: Solución:

On cherche les réels $x \in ]-\pi ; \pi]$ pour lesquels l'abscisse sur le cercle trigonométrique est supérieure ou égale à $\dfrac{1}{2}$.
L'équation $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ a pour solutions $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.
L'arc correspondant aux abscisses supérieures ou égales à $1/2$ se situe entre ces deux valeurs.

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{3}$

$\pi$

$\cos(x) - \dfrac{1}{2}$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

Donc $\mathcal{S} = \left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$.
On cherche les réels $x \in ]-\pi ; \pi]$ pour lesquels l'ordonnée est strictement inférieure à $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
L'équation $\sin(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ a pour solutions $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$.
L'arc correspondant aux ordonnées strictement inférieures à $-\sqrt{3}/2$ est situé "en dessous" de ces deux points.

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{2\pi}{3}$

$-\dfrac{\pi}{3}$

$\pi$

$\sin(x) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$+$

$0$

$-$

$0$

$+$

Donc $\mathcal{S} = \left]-\dfrac{2\pi}{3} ; -\dfrac{\pi}{3}\right[$.
On cherche les réels $x \in ]-\pi ; \pi]$ pour lesquels l'abscisse est inférieure ou égale à $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
L'équation $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ a pour solutions $-\dfrac{3\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$.
L'arc correspondant aux abscisses inférieures ou égales à $-\sqrt{2}/2$ est situé "à gauche" de ces deux points, vers $-\pi$ et $\pi$.

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{3\pi}{4}$

$\dfrac{3\pi}{4}$

$\pi$

$\cos(x) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

Donc $\mathcal{S} = \left]-\pi ; -\dfrac{3\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{4} ; \pi\right]$.
On cherche les réels $x \in ]-\pi ; \pi]$ pour lesquels l'ordonnée est strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}$.
L'équation $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ a pour solutions $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$.
L'arc correspondant aux ordonnées strictement supérieures à $1/2$ est situé "au-dessus" de ces deux points.

$x$

$-\pi$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{5\pi}{6}$

$\pi$

$\sin(x) - \dfrac{1}{2}$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

Donc $\mathcal{S} = \left]\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right[$.

We look for real numbers $x \in ]-\pi ; \pi]$ for which the x-coordinate on the unit circle is greater than or equal to $\dfrac{1}{2}$.
The equation $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ has solutions $-\dfrac{\pi}{3}$ and $\dfrac{\pi}{3}$.
The arc corresponding to x-coordinates greater than or equal to $1/2$ is located between these two values.

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{3}$

$\pi$

$\cos(x) - \dfrac{1}{2}$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

Therefore, $\mathcal{S} = \left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$.
We look for real numbers $x \in ]-\pi ; \pi]$ for which the y-coordinate is strictly less than $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
The equation $\sin(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ has solutions $-\dfrac{2\pi}{3}$ and $-\dfrac{\pi}{3}$.
The arc corresponding to y-coordinates strictly less than $-\sqrt{3}/2$ is located "below" these two points.

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{2\pi}{3}$

$-\dfrac{\pi}{3}$

$\pi$

$\sin(x) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$+$

$0$

$-$

$0$

$+$

Therefore, $\mathcal{S} = \left]-\dfrac{2\pi}{3} ; -\dfrac{\pi}{3}\right[$.
We look for real numbers $x \in ]-\pi ; \pi]$ for which the x-coordinate is less than or equal to $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
The equation $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ has solutions $-\dfrac{3\pi}{4}$ and $\dfrac{3\pi}{4}$.
The arc corresponding to x-coordinates less than or equal to $-\sqrt{2}/2$ is located "to the left" of these two points, towards $-\pi$ and $\pi$.

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{3\pi}{4}$

$\dfrac{3\pi}{4}$

$\pi$

$\cos(x) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

Therefore, $\mathcal{S} = \left]-\pi ; -\dfrac{3\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{4} ; \pi\right]$.
We look for real numbers $x \in ]-\pi ; \pi]$ for which the y-coordinate is strictly greater than $\dfrac{1}{2}$.
The equation $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ has solutions $\dfrac{\pi}{6}$ and $\dfrac{5\pi}{6}$.
The arc corresponding to y-coordinates strictly greater than $1/2$ is located "above" these two points.

$x$

$-\pi$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{5\pi}{6}$

$\pi$

$\sin(x) - \dfrac{1}{2}$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

Therefore, $\mathcal{S} = \left]\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right[$.

Buscamos los números reales $x \in ]-\pi ; \pi]$ para los que la abscisa en el círculo trigonométrico es mayor o igual a $\dfrac{1}{2}$.
La ecuación $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ tiene como soluciones $-\dfrac{\pi}{3}$ y $\dfrac{\pi}{3}$.
El arco correspondiente a las abscisas mayores o iguales a $1/2$ se encuentra entre estos dos valores.

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{3}$

$\pi$

$\cos(x) - \dfrac{1}{2}$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

Por lo tanto, $\mathcal{S} = \left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$.
Buscamos los números reales $x \in ]-\pi ; \pi]$ para los que la ordenada es estrictamente menor que $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
La ecuación $\sin(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ tiene como soluciones $-\dfrac{2\pi}{3}$ y $-\dfrac{\pi}{3}$.
El arco correspondiente a las ordenadas estrictamente menores que $-\sqrt{3}/2$ está situado "debajo" de estos dos puntos.

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{2\pi}{3}$

$-\dfrac{\pi}{3}$

$\pi$

$\sin(x) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$+$

$0$

$-$

$0$

$+$

Por lo tanto, $\mathcal{S} = \left]-\dfrac{2\pi}{3} ; -\dfrac{\pi}{3}\right[$.
Buscamos los números reales $x \in ]-\pi ; \pi]$ para los que la abscisa es menor o igual que $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
La ecuación $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ tiene como soluciones $-\dfrac{3\pi}{4}$ y $\dfrac{3\pi}{4}$.
El arco correspondiente a las abscisas menores o iguales que $-\sqrt{2}/2$ está situado "a la izquierda" de estos dos puntos, hacia $-\pi$ y $\pi$.

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{3\pi}{4}$

$\dfrac{3\pi}{4}$

$\pi$

$\cos(x) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

Por lo tanto, $\mathcal{S} = \left]-\pi ; -\dfrac{3\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{4} ; \pi\right]$.
Buscamos los números reales $x \in ]-\pi ; \pi]$ para los que la ordenada es estrictamente mayor que $\dfrac{1}{2}$.
La ecuación $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ tiene como soluciones $\dfrac{\pi}{6}$ y $\dfrac{5\pi}{6}$.
El arco correspondiente a las ordenadas estrictamente mayores que $1/2$ está situado "por encima" de estos dos puntos.

$x$

$-\pi$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{5\pi}{6}$

$\pi$

$\sin(x) - \dfrac{1}{2}$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

Por lo tanto, $\mathcal{S} = \left]\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right[$.

COSINUS ET SINUS D'UN NOMBRE RÉEL COSINE AND SINE OF A REAL NUMBER COSENO Y SENO DE UN NÚMERO REAL

Exercice 1 : Valeurs remarquables Exercise 1: Remarkable values Ejercicio 1: Valores notables

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 2 : Détermination de cosinus ou sinus Exercise 2: Determining cosine or sine Ejercicio 2: Determinación del coseno o seno

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 3 : Calcul d'expressions Exercise 3: Calculating expressions Ejercicio 3: Cálculo de expresiones

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 4 : Équations trigonométriques Exercise 4: Trigonometric equations Ejercicio 4: Ecuaciones trigonométricas

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 5 : Inéquations trigonométriques Exercise 5: Trigonometric inequalities Ejercicio 5: Inecuaciones trigonométricas

Corrigé : Solution: Solución:

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