CARACTÉRISATION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
On cherche à déterminer une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui soit égale à sa fonction dérivée.
On admet que cette fonction existe.
Propriété 1 :
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f(0) = 1$ et $f' = f$.
$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$
Démonstration :
- La première partie de la propriété est admise.
- On montre $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$.
Soit $h : x \mapsto h(x) = f(x) \times f(-x)$ ;
$h$ est le produit de 2 fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, donc $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$\forall x \in \mathbb{R},\ h'(x) = f'(x) \times f(-x) + f(x) \times (-1) \times f'(-x) = f'(x) \times f(-x) - f(x) \times f'(-x)$.
or $f' = f$ donc $\forall x \in \mathbb{R},\ h'(x) = f(x) \times f(-x) - f(x) \times f(-x) = 0$.
Donc $h$ est une fonction constante sur $\mathbb{R}$.
De plus, $h(0) = f(0) \times f(-0) = f(0)^2 = 1^2 = 1$.
Donc $\forall x \in \mathbb{R},\ h(x) = f(x) \times f(-x) = 1$
d'où $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$ ($A \times B \neq 0 \implies A \neq 0 \text{ et } B \neq 0$).
Définition 1 :
On appelle fonction exponentielle, notée exp, la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
$$ \exp' = \exp \quad \text{et} \quad \exp(0) = 1 $$
Propriété 2 :
$\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)$
Démonstration :
Soit $y$ un réel fixé.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$ (d'après la propriété 1, $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) \neq 0$).
$f$ est le quotient de 2 fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
donc $f$ est une fonction constante.
Or $f(0) = \dfrac{\exp(0+y)}{\exp(0)} = \exp(y)$ donc $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = \exp(y)$.
Donc $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)} = \exp(y)$
d'où $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y)$.
Propriété 3 :
- • $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$
- • $\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
Démonstration :
- D'après la propriété 2, $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x + (-x)) = \exp(x) \times \exp(-x)$
or $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x + (-x)) = \exp(0) = 1$
donc $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) \times \exp(-x) = 1 \iff \forall x \in \mathbb{R},\ \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$. - $\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x - y) = \exp(x + (-y)) = \exp(x) \times \exp(-y)$.
On applique le résultat précédent :
$\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x) \times \exp(-y) = \exp(x) \times \dfrac{1}{\exp(y)} = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
Donc $\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
Propriété 4 :
$\forall x \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \exp(nx) = (\exp(x))^n$
Propriété admise.
Notation :
On note $\exp(1) = e$. En utilisant la calculatrice, on obtient : $e \approx 2{,}718$.
D'où, on peut écrire, $\exp(1 \times n) = (\exp(1))^n = e^n$. On admet qu'on peut étendre cette notation aux réels.
On note donc : $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) = e^x$.
Récapitulatif :
- • $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) = e^x \quad;\quad e^0 = 1 \quad;\quad e^1 = e \approx 2{,}718 \quad;\quad e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$
- • $\forall x, y \in \mathbb{R},\ e^{x+y} = e^x \times e^y \quad;\quad e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} \quad;\quad e^{nx} = (e^x)^n$
Remarque : Pour tout réel $a$, la suite $(e^{na})$ est une suite géométrique de raison $e^a$.
CHARACTERIZATION OF THE EXPONENTIAL FUNCTION
We seek to determine a differentiable function on $\mathbb{R}$ that is equal to its derivative function.
We assume that this function exists.
Property 1:
There exists a unique function $f$ differentiable on $\mathbb{R}$ such that $f(0) = 1$ and $f' = f$.
$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$
Proof:
- The first part of the property is assumed.
- We show $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$.
Let $h : x \mapsto h(x) = f(x) \times f(-x)$ ;
$h$ is the product of 2 differentiable functions on $\mathbb{R}$, so $h$ is differentiable on $\mathbb{R}$.
$\forall x \in \mathbb{R},\ h'(x) = f'(x) \times f(-x) + f(x) \times (-1) \times f'(-x) = f'(x) \times f(-x) - f(x) \times f'(-x)$.
but $f' = f$ so $\forall x \in \mathbb{R},\ h'(x) = f(x) \times f(-x) - f(x) \times f(-x) = 0$.
So $h$ is a constant function on $\mathbb{R}$.
Moreover, $h(0) = f(0) \times f(-0) = f(0)^2 = 1^2 = 1$.
So $\forall x \in \mathbb{R},\ h(x) = f(x) \times f(-x) = 1$
hence $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$ ($A \times B \neq 0 \implies A \neq 0 \text{ and } B \neq 0$).
Definition 1:
We call the exponential function, denoted exp, the differentiable function on $\mathbb{R}$ such that:
$$ \exp' = \exp \quad \text{and} \quad \exp(0) = 1 $$
Property 2:
$\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)$
Proof:
Let $y$ be a fixed real number.
Consider the function $f$ defined on $\mathbb{R}$ by $f(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$ (from Property 1, $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) \neq 0$).
$f$ is the quotient of 2 differentiable functions on $\mathbb{R}$, so $f$ is differentiable on $\mathbb{R}$.
so $f$ is a constant function.
But $f(0) = \dfrac{\exp(0+y)}{\exp(0)} = \exp(y)$ so $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = \exp(y)$.
So $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)} = \exp(y)$
hence $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y)$.
Property 3:
- • $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$
- • $\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
Proof:
- From Property 2, $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x + (-x)) = \exp(x) \times \exp(-x)$
but $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x + (-x)) = \exp(0) = 1$
so $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) \times \exp(-x) = 1 \iff \forall x \in \mathbb{R},\ \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$. - $\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x - y) = \exp(x + (-y)) = \exp(x) \times \exp(-y)$.
We apply the previous result:
$\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x) \times \exp(-y) = \exp(x) \times \dfrac{1}{\exp(y)} = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
So $\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
Property 4:
$\forall x \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \exp(nx) = (\exp(x))^n$
Property assumed.
Notation:
We denote $\exp(1) = e$. Using a calculator, we obtain: $e \approx 2.718$.
Hence, we can write, $\exp(1 \times n) = (\exp(1))^n = e^n$. We assume that this notation can be extended to real numbers.
We therefore denote: $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) = e^x$.
Summary:
- • $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) = e^x \quad;\quad e^0 = 1 \quad;\quad e^1 = e \approx 2.718 \quad;\quad e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$
- • $\forall x, y \in \mathbb{R},\ e^{x+y} = e^x \times e^y \quad;\quad e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} \quad;\quad e^{nx} = (e^x)^n$
Note: For any real number $a$, the sequence $(e^{na})$ is a geometric sequence with common ratio $e^a$.
CARACTERIZACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Buscamos determinar una función derivable en $\mathbb{R}$ que sea igual a su función derivada.
Suponemos que esta función existe.
Propiedad 1:
Existe una única función $f$ derivable en $\mathbb{R}$ tal que $f(0) = 1$ y $f' = f$.
$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$
Demostración:
- Se asume la primera parte de la propiedad.
- Mostramos $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$.
Sea $h : x \mapsto h(x) = f(x) \times f(-x)$ ;
$h$ es el producto de 2 funciones derivables en $\mathbb{R}$, luego $h$ es derivable en $\mathbb{R}$.
$\forall x \in \mathbb{R},\ h'(x) = f'(x) \times f(-x) + f(x) \times (-1) \times f'(-x) = f'(x) \times f(-x) - f(x) \times f'(-x)$.
pero $f' = f$ por lo que $\forall x \in \mathbb{R},\ h'(x) = f(x) \times f(-x) - f(x) \times f(-x) = 0$.
Luego $h$ es una función constante en $\mathbb{R}$.
Además, $h(0) = f(0) \times f(-0) = f(0)^2 = 1^2 = 1$.
Luego $\forall x \in \mathbb{R},\ h(x) = f(x) \times f(-x) = 1$
de donde $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$ ($A \times B \neq 0 \implies A \neq 0 \text{ y } B \neq 0$).
Definición 1:
Se llama función exponencial, denotada exp, a la función derivable en $\mathbb{R}$ tal que:
$$ \exp' = \exp \quad \text{y} \quad \exp(0) = 1 $$
Propiedad 2:
$\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)$
Demostración:
Sea $y$ un número real fijado.
Consideramos la función $f$ definida en $\mathbb{R}$ por $f(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$ (según la propiedad 1, $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) \neq 0$).
$f$ es el cociente de 2 funciones derivables en $\mathbb{R}$, luego $f$ es derivable en $\mathbb{R}$.
luego $f$ es una función constante.
Pero $f(0) = \dfrac{\exp(0+y)}{\exp(0)} = \exp(y)$ por lo que $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = \exp(y)$.
Luego $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)} = \exp(y)$
de donde $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y)$.
Propiedad 3:
- • $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$
- • $\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
Demostración:
- Según la propiedad 2, $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x + (-x)) = \exp(x) \times \exp(-x)$
pero $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x + (-x)) = \exp(0) = 1$
luego $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) \times \exp(-x) = 1 \iff \forall x \in \mathbb{R},\ \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$. - $\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x - y) = \exp(x + (-y)) = \exp(x) \times \exp(-y)$.
Aplicamos el resultado anterior:
$\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x) \times \exp(-y) = \exp(x) \times \dfrac{1}{\exp(y)} = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
Luego $\forall x, y \in \mathbb{R},\ \exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
Propiedad 4:
$\forall x \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \exp(nx) = (\exp(x))^n$
Propiedad asumida.
Notación:
Denotamos $\exp(1) = e$. Usando la calculadora, obtenemos: $e \approx 2,718$.
De ahí, podemos escribir, $\exp(1 \times n) = (\exp(1))^n = e^n$. Asumimos que podemos extender esta notación a los números reales.
Por lo tanto denotamos: $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) = e^x$.
Resumen:
- • $\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) = e^x \quad;\quad e^0 = 1 \quad;\quad e^1 = e \approx 2,718 \quad;\quad e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$
- • $\forall x, y \in \mathbb{R},\ e^{x+y} = e^x \times e^y \quad;\quad e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} \quad;\quad e^{nx} = (e^x)^n$
Nota: Para todo real $a$, la sucesión $(e^{na})$ es una sucesión geométrica de razón $e^a$.