La fonction valeur absolueCHAPTER TITLETÍTULO DEL CAPÍTULO
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Exercice 1 : Algèbre : Équations avec valeurs absoluesExercise 1: Algebra: Equations with absolute valuesEjercicio 1: Álgebra: Ecuaciones con valores absolutos
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. Vous justifierez soigneusement votre démarche (propriétés, tableaux de signes, etc.) :
$|2x - 3| = |x + 1|$
$|x - 2| + |x + 3| = 7$
$2|x - 1| - |x + 2| = 1$
$|x^2 - 4| = 5$
$|3x - 1| \times |x - 2| = 0$
Solve the following equations in $\mathbb{R}$. You must carefully justify your approach (properties, sign tables, etc.):
$|2x - 3| = |x + 1|$
$|x - 2| + |x + 3| = 7$
$2|x - 1| - |x + 2| = 1$
$|x^2 - 4| = 5$
$|3x - 1| \times |x - 2| = 0$
Resolver en $\mathbb{R}$ las siguientes ecuaciones. Justifique cuidadosamente su enfoque (propiedades, tablas de signos, etc.):
$|2x - 3| = |x + 1|$
$|x - 2| + |x + 3| = 7$
$2|x - 1| - |x + 2| = 1$
$|x^2 - 4| = 5$
$|3x - 1| \times |x - 2| = 0$
Corrigé :Solution:Solución:
Équation $|2x - 3| = |x + 1|$
Propriété : $|a| = |b| \iff a = b \text{ ou } a = -b$.
Soit $2x - 3 = x + 1 \iff x = 4$.
Soit $2x - 3 = -(x + 1) \iff 2x - 3 = -x - 1 \iff 3x = 2 \iff x = \dfrac{2}{3}$.
Résultat : $S = \left\{\dfrac{2}{3} ; 4\right\}$
Équation $|x - 2| + |x + 3| = 7$
On utilise un tableau pour lever les valeurs absolues. Les racines sont $2$ et $-3$.
- Sur $]-\infty ; -3]$, l'équation devient : $-(x-2) - (x+3) = 7 \iff -2x - 1 = 7 \iff -2x = 8 \iff x = -4$. Et $-4 \in ]-\infty ; -3]$.
- Sur $[-3 ; 2]$, l'équation devient : $-(x-2) + (x+3) = 7 \iff 5 = 7$, impossible.
- Sur $[2 ; +\infty[$, l'équation devient : $(x-2) + (x+3) = 7 \iff 2x + 1 = 7 \iff 2x = 6 \iff x = 3$. Et $3 \in [2 ; +\infty[$.
Résultat : $S = \{-4 ; 3\}$
Équation $2|x - 1| - |x + 2| = 1$
Racines : $1$ et $-2$.
- Sur $]-\infty ; -2]$, l'équation est : $2(-(x-1)) - (-(x+2)) = 1 \iff -2x + 2 + x + 2 = 1 \iff -x + 4 = 1 \iff x = 3$. Or $3 \notin ]-\infty ; -2]$, donc on rejette.
- Sur $[-2 ; 1]$, l'équation est : $2(-(x-1)) - (x+2) = 1 \iff -2x + 2 - x - 2 = 1 \iff -3x = 1 \iff x = -\dfrac{1}{3}$. Et $-\dfrac{1}{3} \in [-2 ; 1]$.
- Sur $[1 ; +\infty[$, l'équation est : $2(x-1) - (x+2) = 1 \iff 2x - 2 - x - 2 = 1 \iff x - 4 = 1 \iff x = 5$. Et $5 \in [1 ; +\infty[$.
Résultat : $S = \left\{-\dfrac{1}{3} ; 5\right\}$
Équation $|x^2 - 4| = 5$
Soit $x^2 - 4 = 5 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \text{ ou } x = -3$.
Soit $x^2 - 4 = -5 \iff x^2 = -1$, impossible dans $\mathbb{R}$.
Résultat : $S = \{-3 ; 3\}$
Équation $|3x - 1| \times |x - 2| = 0$
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Soit $|3x - 1| = 0 \iff 3x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{3}$.
Soit $|x - 2| = 0 \iff x - 2 = 0 \iff x = 2$.
Résultat : $S = \left\{\dfrac{1}{3} ; 2\right\}$
Equation $|2x - 3| = |x + 1|$
Property: $|a| = |b| \iff a = b \text{ or } a = -b$.
Either $2x - 3 = x + 1 \iff x = 4$.
Or $2x - 3 = -(x + 1) \iff 2x - 3 = -x - 1 \iff 3x = 2 \iff x = \dfrac{2}{3}$.
Result: $S = \left\{\dfrac{2}{3} ; 4\right\}$
Equation $|x - 2| + |x + 3| = 7$
We use a sign table for intervals split at $2$ and $-3$.
- On $]-\infty ; -3]$, we solve: $-(x-2) - (x+3) = 7 \iff -2x - 1 = 7 \iff x = -4$. Since $-4 \in ]-\infty ; -3]$, it is a solution.
- On $[-3 ; 2]$, we solve: $-(x-2) + (x+3) = 7 \iff 5 = 7$, impossible.
- On $[2 ; +\infty[$, we solve: $(x-2) + (x+3) = 7 \iff 2x + 1 = 7 \iff x = 3$. Since $3 \in [2 ; +\infty[$, it is a solution.
Result: $S = \{-4 ; 3\}$
Equation $2|x - 1| - |x + 2| = 1$
Roots: $1$ and $-2$.
- On $]-\infty ; -2]$, we solve: $2(-(x-1)) - (-(x+2)) = 1 \iff -x + 4 = 1 \iff x = 3$. Rejected since $3 \notin ]-\infty ; -2]$.
- On $[-2 ; 1]$, we solve: $2(-(x-1)) - (x+2) = 1 \iff -3x = 1 \iff x = -\dfrac{1}{3}$. Accepted.
- On $[1 ; +\infty[$, we solve: $2(x-1) - (x+2) = 1 \iff x - 4 = 1 \iff x = 5$. Accepted.
Result: $S = \left\{-\dfrac{1}{3} ; 5\right\}$
Equation $|x^2 - 4| = 5$
Either $x^2 - 4 = 5 \iff x^2 = 9 \iff x = \pm 3$.
Or $x^2 - 4 = -5 \iff x^2 = -1$, impossible in $\mathbb{R}$.
Result: $S = \{-3 ; 3\}$
Equation $|3x - 1| \times |x - 2| = 0$
A product is zero iff at least one factor is zero.
Either $|3x - 1| = 0 \iff x = \dfrac{1}{3}$.
Or $|x - 2| = 0 \iff x = 2$.
Result: $S = \left\{\dfrac{1}{3} ; 2\right\}$
Ecuación $|2x - 3| = |x + 1|$
Propiedad: $|a| = |b| \iff a = b \text{ o } a = -b$.
O bien $2x - 3 = x + 1 \iff x = 4$.
O bien $2x - 3 = -(x + 1) \iff 2x - 3 = -x - 1 \iff 3x = 2 \iff x = \dfrac{2}{3}$.
Resultado: $S = \left\{\dfrac{2}{3} ; 4\right\}$
Ecuación $|x - 2| + |x + 3| = 7$
Usamos una tabla para intervalos separados en $2$ y $-3$.
- En $]-\infty ; -3]$, resolvemos: $-(x-2) - (x+3) = 7 \iff -2x - 1 = 7 \iff x = -4$. Como $-4 \in ]-\infty ; -3]$, es válida.
- En $[-3 ; 2]$, resolvemos: $-(x-2) + (x+3) = 7 \iff 5 = 7$, imposible.
- En $[2 ; +\infty[$, resolvemos: $(x-2) + (x+3) = 7 \iff 2x + 1 = 7 \iff x = 3$. Como $3 \in [2 ; +\infty[$, es válida.
Resultado: $S = \{-4 ; 3\}$
Ecuación $|x^2 - 4| = 5$
O bien $x^2 - 4 = 5 \iff x^2 = 9 \iff x = \pm 3$.
O bien $x^2 - 4 = -5 \iff x^2 = -1$, imposible en $\mathbb{R}$.
Resultado: $S = \{-3 ; 3\}$
Ecuación $|3x - 1| \times |x - 2| = 0$
Un producto es cero si y solo si algún factor es cero.
O bien $|3x - 1| = 0 \iff x = \dfrac{1}{3}$.
O bien $|x - 2| = 0 \iff x = 2$.
Resultado: $S = \left\{\dfrac{1}{3} ; 2\right\}$
Exercice 2 : Algèbre : Inéquations avec valeurs absoluesExercise 2: Algebra: Inequalities with absolute valuesEjercicio 2: Álgebra: Inecuaciones con valores absolutos
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
$|2x - 5| \le 3$
$|x + 4| > |2x - 1|$
$|x - 1| + |x + 2| < 5$
$|x^2 - 1| \ge 8$
$\dfrac{|x - 2|}{|x + 1|} \le 2$
Solve the following inequalities in $\mathbb{R}$:
$|2x - 5| \le 3$
$|x + 4| > |2x - 1|$
$|x - 1| + |x + 2| < 5$
$|x^2 - 1| \ge 8$
$\dfrac{|x - 2|}{|x + 1|} \le 2$
Resolver en $\mathbb{R}$ las siguientes inecuaciones:
Exercice 3 : Application Économique : Contrôle qualitéExercise 3: Economic Application: Quality controlEjercicio 3: Aplicación Económica: Control de calidad
Une entreprise fabrique des tiges métalliques. La longueur idéale est de $50$ mm.
Pour toute tige de longueur $x$ (en mm), le coût de non-qualité (pénalité liée au défaut, en euros) est modélisé par $C(x) = 15|x - 50|$.
Exprimer $C(x)$ sans utiliser le symbole de la valeur absolue selon les valeurs de $x$ par rapport à $50$.
L'entreprise souhaite que le coût de non-qualité pour une tige soit strictement inférieur à $4,50$ €. Traduire cela par une inéquation avec valeur absolue.
Résoudre l'inéquation et interpréter le résultat pour la production (intervalle de tolérance de la longueur $x$).
A company manufactures metal rods. The ideal length is $50$ mm.
For any rod of length $x$ (in mm), the non-quality cost (penalty related to the defect, in euros) is modeled by $C(x) = 15|x - 50|$.
Express $C(x)$ without using the absolute value symbol according to the values of $x$ relative to $50$.
The company wants the non-quality cost for a rod to be strictly less than $4.50$ €. Translate this into an inequality with absolute value.
Solve the inequality and interpret the result for the production (tolerance interval of length $x$).
Una empresa fabrica varillas de metal. La longitud ideal es de $50$ mm.
Para cualquier varilla de longitud $x$ (en mm), el costo de no calidad (penalización relacionada con el defecto, en euros) se modela mediante $C(x) = 15|x - 50|$.
Exprese $C(x)$ sin usar el símbolo de valor absoluto según los valores de $x$ con respecto a $50$.
La empresa desea que el costo de no calidad de una varilla sea estrictamente inferior a $4,50$ €. Traduzca esto a una inecuación con valor absoluto.
Resuelva la inecuación e interprete el resultado para la producción (intervalo de tolerancia de la longitud $x$).
Corrigé :Solution:Solución:
Expression sans valeur absolue :
- Si $x \ge 50$, alors $x - 50 \ge 0$, donc $C(x) = 15(x - 50) = 15x - 750$.
- Si $x < 50$, alors $x - 50 < 0$, donc $C(x) = -15(x - 50) = -15x + 750$.
On résout l'inéquation :
$15|x - 50| < 4,5 \iff |x - 50| < \dfrac{4,5}{15} \iff |x - 50| < 0,3$.
Cela équivaut à : $-0,3 < x - 50 < 0,3 \iff 49,7 < x < 50,3$. Interprétation : L'intervalle de tolérance pour la longueur de la tige métallique est $]49,7 ; 50,3[$ mm pour garantir un coût de non-qualité inférieur à $4,50$ €.
Expression without absolute value:
- If $x \ge 50$, then $x - 50 \ge 0$, so $C(x) = 15(x - 50) = 15x - 750$.
- If $x < 50$, then $x - 50 < 0$, so $C(x) = -15(x - 50) = -15x + 750$.
The inequality is: $C(x) < 4.50 \iff 15|x - 50| < 4.5$.
We solve the inequality:
$15|x - 50| < 4.5 \iff |x - 50| < \dfrac{4.5}{15} \iff |x - 50| < 0.3$.
This is equivalent to: $-0.3 < x - 50 < 0.3 \iff 49.7 < x < 50.3$. Interpretation: The tolerance interval for the length of the metal rod is $]49.7 ; 50.3[$ mm to guarantee a non-quality cost below $4.50$ €.
Expresión sin valor absoluto:
- Si $x \ge 50$, entonces $x - 50 \ge 0$, luego $C(x) = 15(x - 50) = 15x - 750$.
- Si $x < 50$, entonces $x - 50 < 0$, luego $C(x) = -15(x - 50) = -15x + 750$.
Resolvemos la inecuación:
$15|x - 50| < 4,5 \iff |x - 50| < \dfrac{4,5}{15} \iff |x - 50| < 0,3$.
Esto equivale a: $-0,3 < x - 50 < 0,3 \iff 49,7 < x < 50,3$. Interpretación: El intervalo de tolerancia para la longitud de la varilla de metal es $]49,7 ; 50,3[$ mm para garantizar un costo de no calidad inferior a $4,50$ €.
Exercice 4 : Application Géométrique : Somme de distancesExercise 4: Geometric Application: Sum of distancesEjercicio 4: Aplicación Geométrica: Suma de distancias
Sur un axe gradué rectiligne (l'unité est le kilomètre), deux usines sont situées aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $2$ et $8$.
On souhaite implanter un entrepôt au point $M$ d'abscisse $x$. On note $f(x)$ la somme des distances de l'entrepôt aux deux usines : $f(x) = AM + BM$.
Exprimer $f(x)$ à l'aide de valeurs absolues.
Écrire $f(x)$ sans valeur absolue selon les intervalles $]-\infty ; 2]$, $[2 ; 8]$ et $[8 ; +\infty[$.
En déduire la (ou les) position(s) du point $M$ pour laquelle la somme des distances est minimale, et préciser cette distance minimale.
On a straight graduated axis (the unit is the kilometer), two factories are located at points $A$ and $B$ with respective abscissas $2$ and $8$.
We want to build a warehouse at point $M$ with abscissa $x$. Let $f(x)$ be the sum of the distances from the warehouse to the two factories: $f(x) = AM + BM$.
Express $f(x)$ using absolute values.
Write $f(x)$ without absolute value according to the intervals $]-\infty ; 2]$, $[2 ; 8]$ and $[8 ; +\infty[$.
Deduce the position(s) of point $M$ for which the sum of distances is minimal, and specify this minimal distance.
En un eje rectilíneo graduado (la unidad es el kilómetro), dos fábricas están ubicadas en los puntos $A$ y $B$ con abscisas respectivas $2$ y $8$.
Se desea construir un almacén en el punto $M$ de abscisa $x$. Sea $f(x)$ la suma de las distancias del almacén a las dos fábricas: $f(x) = AM + BM$.
Expresar $f(x)$ utilizando valores absolutos.
Escribir $f(x)$ sin valor absoluto según los intervalos $]-\infty ; 2]$, $[2 ; 8]$ y $[8 ; +\infty[$.
Deducir la(s) posición(es) del punto $M$ para la(s) que la suma de las distancias es mínima, y especificar esta distancia mínima.
Corrigé :Solution:Solución:
On sait que $AM = |x - x_A| = |x - 2|$ et $BM = |x - x_B| = |x - 8|$.
Donc $f(x) = |x - 2| + |x - 8|$.
On établit un tableau pour enlever les valeurs absolues :
- Sur $]-\infty ; 2]$ : $x - 2 \le 0$ et $x - 8 \le 0$, donc $f(x) = -(x - 2) - (x - 8) = -2x + 10$.
- Sur $[2 ; 8]$ : $x - 2 \ge 0$ et $x - 8 \le 0$, donc $f(x) = (x - 2) - (x - 8) = 6$.
- Sur $[8 ; +\infty[$ : $x - 2 \ge 0$ et $x - 8 \ge 0$, donc $f(x) = (x - 2) + (x - 8) = 2x - 10$.
D'après la question précédente, on constate que :
- $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; 2]$ car sa dérivée est $-2$.
- $f$ est constante sur $[2 ; 8]$ et vaut $6$.
- $f$ est strictement croissante sur $[8 ; +\infty[$ car sa dérivée est $2$.
La fonction $f$ atteint donc son minimum sur l'intervalle $[2 ; 8]$ entier. Ce minimum vaut $6$. L'entrepôt peut être placé n'importe où entre les deux usines (incluses). La somme des distances sera alors toujours minimale et vaudra 6 km.
We know that $AM = |x - x_A| = |x - 2|$ and $BM = |x - x_B| = |x - 8|$.
So $f(x) = |x - 2| + |x - 8|$.
We use a sign table to remove absolute values:
- On $]-\infty ; 2]$: $x - 2 \le 0$ and $x - 8 \le 0$, so $f(x) = -(x - 2) - (x - 8) = -2x + 10$.
- On $[2 ; 8]$: $x - 2 \ge 0$ and $x - 8 \le 0$, so $f(x) = (x - 2) - (x - 8) = 6$.
- On $[8 ; +\infty[$: $x - 2 \ge 0$ and $x - 8 \ge 0$, so $f(x) = (x - 2) + (x - 8) = 2x - 10$.
From the previous question, we can see that:
- $f$ is strictly decreasing on $]-\infty ; 2]$ because its derivative is $-2$.
- $f$ is constant on $[2 ; 8]$ and equals $6$.
- $f$ is strictly increasing on $[8 ; +\infty[$ because its derivative is $2$.
The function $f$ therefore reaches its minimum on the entire interval $[2 ; 8]$. This minimum is $6$. The warehouse can be placed anywhere between the two factories (inclusive). The sum of distances will always be minimal and will equal 6 km.
Sabemos que $AM = |x - x_A| = |x - 2|$ y $BM = |x - x_B| = |x - 8|$.
Por lo tanto $f(x) = |x - 2| + |x - 8|$.
Usamos una tabla para eliminar los valores absolutos:
- En $]-\infty ; 2]$: $x - 2 \le 0$ y $x - 8 \le 0$, luego $f(x) = -(x - 2) - (x - 8) = -2x + 10$.
- En $[2 ; 8]$: $x - 2 \ge 0$ y $x - 8 \le 0$, luego $f(x) = (x - 2) - (x - 8) = 6$.
- En $[8 ; +\infty[$: $x - 2 \ge 0$ y $x - 8 \ge 0$, luego $f(x) = (x - 2) + (x - 8) = 2x - 10$.
De la pregunta anterior, podemos ver que:
- $f$ es estrictamente decreciente en $]-\infty ; 2]$ porque su derivada es $-2$.
- $f$ es constante en $[2 ; 8]$ y es igual a $6$.
- $f$ es estrictamente creciente en $[8 ; +\infty[$ porque su derivada es $2$.
La función $f$ alcanza por lo tanto su mínimo en todo el intervalo $[2 ; 8]$. Este mínimo es $6$. El almacén se puede colocar en cualquier lugar entre las dos fábricas (inclusive). La suma de las distancias será siempre mínima e igual a 6 km.
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