Exercice 1 : Tangente et position relativeExercise 1: Tangent and relative positionEjercicio 1: Tangente y posición relativa
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
Soit $a$ un réel non nul et $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.
Déterminer l'équation de la tangente $T_a$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
Montrer que pour tout réel $x$, on a : $x^3 - (3a^2x - 2a^3) = (x-a)^2(x+2a)$.
En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à sa tangente $T_a$.
La tangente traverse-t-elle la courbe ? Si oui, en quel point ?
Consider the function $f$ defined on $\mathbb{R}$ by $f(x) = x^3$ and its representative curve $\mathcal{C}_f$.
Let $a$ be a non-zero real number and $A$ be the point on $\mathcal{C}_f$ with abscissa $a$.
Determine the equation of the tangent line $T_a$ to $\mathcal{C}_f$ at point $A$.
Show that for any real number $x$: $x^3 - (3a^2x - 2a^3) = (x-a)^2(x+2a)$.
Deduce the relative position of the curve $\mathcal{C}_f$ with respect to its tangent line $T_a$.
Does the tangent cross the curve? If so, at which point?
Consideramos la función $f$ definida en $\mathbb{R}$ por $f(x) = x^3$ y su curva representativa $\mathcal{C}_f$.
Sea $a$ un número real distinto de cero y $A$ el punto de $\mathcal{C}_f$ con abscisa $a$.
Determinar la ecuación de la recta tangente $T_a$ a $\mathcal{C}_f$ en el punto $A$.
Demostrar que para todo número real $x$: $x^3 - (3a^2x - 2a^3) = (x-a)^2(x+2a)$.
Deducir la posición relativa de la curva $\mathcal{C}_f$ respecto a su recta tangente $T_a$.
¿La tangente cruza la curva? Si es así, ¿en qué punto?
Corrigé :Solution:Solución:
L'équation de la tangente est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Avec $f(x)=x^3$, on a $f'(x)=3x^2$ d'où $f'(a)=3a^2$ et $f(a)=a^3$.
L'équation est donc $y = 3a^2(x - a) + a^3 = 3a^2x - 3a^3 + a^3 = 3a^2x - 2a^3$.
Résultat : $T_a : y = 3a^2x - 2a^3$
On développe l'expression $(x-a)^2(x+2a)$ :
$(x^2 - 2ax + a^2)(x + 2a) = x^3 + 2ax^2 - 2ax^2 - 4a^2x + a^2x + 2a^3$.
Les termes en $x^2$ s'annulent ($2ax^2 - 2ax^2 = 0$).
Il reste : $x^3 - 3a^2x + 2a^3 = x^3 - (3a^2x - 2a^3)$. L'égalité est donc bien démontrée.
Pour étudier la position, on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - (3a^2x - 2a^3)$.
D'après la question 2, $d(x) = (x-a)^2(x+2a)$.
Comme $(x-a)^2 \ge 0$, le signe de $d(x)$ est strictement celui de $(x+2a)$ pour $x \neq a$.
$x+2a = 0 \iff x = -2a$.
Si $x > -2a$, $d(x) \ge 0$, donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T_a$.
Si $x < -2a$, $d(x) \le 0$, donc $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T_a$.
Puisque la différence change de signe en $x = -2a$, on en déduit que la tangente $T_a$ traverse la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = -2a$.
The equation of the tangent is $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
With $f(x)=x^3$, we have $f'(x)=3x^2$ hence $f'(a)=3a^2$ and $f(a)=a^3$.
The equation is therefore $y = 3a^2(x - a) + a^3 = 3a^2x - 3a^3 + a^3 = 3a^2x - 2a^3$.
Result: $T_a : y = 3a^2x - 2a^3$
We expand the expression $(x-a)^2(x+2a)$:
$(x^2 - 2ax + a^2)(x + 2a) = x^3 + 2ax^2 - 2ax^2 - 4a^2x + a^2x + 2a^3$.
The $x^2$ terms cancel out ($2ax^2 - 2ax^2 = 0$).
We are left with: $x^3 - 3a^2x + 2a^3 = x^3 - (3a^2x - 2a^3)$. The equality is thus proven.
To study the position, we study the sign of the difference $d(x) = f(x) - (3a^2x - 2a^3)$.
From question 2, $d(x) = (x-a)^2(x+2a)$.
Since $(x-a)^2 \ge 0$, the sign of $d(x)$ is strictly that of $(x+2a)$ for $x \neq a$.
$x+2a = 0 \iff x = -2a$.
If $x > -2a$, $d(x) \ge 0$, so $\mathcal{C}_f$ is above $T_a$.
If $x < -2a$, $d(x) \le 0$, so $\mathcal{C}_f$ is below $T_a$.
Since the difference changes sign at $x = -2a$, we deduce that the tangent $T_a$ crosses the curve $\mathcal{C}_f$ at the point with abscissa $x = -2a$.
La ecuación de la tangente es $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Con $f(x)=x^3$, tenemos $f'(x)=3x^2$ de ahí $f'(a)=3a^2$ y $f(a)=a^3$.
La ecuación es por tanto $y = 3a^2(x - a) + a^3 = 3a^2x - 3a^3 + a^3 = 3a^2x - 2a^3$.
Resultado: $T_a : y = 3a^2x - 2a^3$
Desarrollamos la expresión $(x-a)^2(x+2a)$:
$(x^2 - 2ax + a^2)(x + 2a) = x^3 + 2ax^2 - 2ax^2 - 4a^2x + a^2x + 2a^3$.
Los términos en $x^2$ se anulan ($2ax^2 - 2ax^2 = 0$).
Queda: $x^3 - 3a^2x + 2a^3 = x^3 - (3a^2x - 2a^3)$. La igualdad queda así demostrada.
Para estudiar la posición, estudiamos el signo de la diferencia $d(x) = f(x) - (3a^2x - 2a^3)$.
Según la pregunta 2, $d(x) = (x-a)^2(x+2a)$.
Como $(x-a)^2 \ge 0$, el signo de $d(x)$ es estrictamente el de $(x+2a)$ para $x \neq a$.
$x+2a = 0 \iff x = -2a$.
Si $x > -2a$, $d(x) \ge 0$, entonces $\mathcal{C}_f$ está por encima de $T_a$.
Si $x < -2a$, $d(x) \le 0$, entonces $\mathcal{C}_f$ está por debajo de $T_a$.
Puesto que la diferencia cambia de signo en $x = -2a$, deducimos que la tangente $T_a$ cruza la curva $\mathcal{C}_f$ en el punto de abscisa $x = -2a$.
Exercice 2 : Optimisation en Économie (Coût Marginal)Exercise 2: Optimization in Economics (Marginal Cost)Ejercicio 2: Optimización en Economía (Costo Marginal)
Une entreprise produit une quantité $q$ de composants électroniques (exprimée en milliers d'unités), avec $q \in [0 ; 12]$.
Le coût total de production, en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C$ définie par :
$C(q) = q^3 - 12q^2 + 60q + 10$
Le coût marginal de production correspond approximativement au coût de la dernière unité produite, et s'obtient mathématiquement en calculant la dérivée du coût total : $C_m(q) = C'(q)$.
Exprimer le coût marginal $C_m(q)$ en fonction de $q$.
Pour trouver le minimum de ce coût marginal, étudier les variations de la fonction $C_m$ sur $[0 ; 12]$.
Quelle quantité $q$ l'entreprise doit-elle produire pour que son coût marginal soit minimal ?
Quel est ce coût marginal minimal (en milliers d'euros) ?
A company produces a quantity $q$ of electronic components (expressed in thousands of units), with $q \in [0 ; 12]$.
The total production cost, in thousands of euros, is modeled by the function $C$ defined by:
$C(q) = q^3 - 12q^2 + 60q + 10$
The marginal production cost corresponds approximately to the cost of the last produced unit, and is obtained mathematically by calculating the derivative of the total cost: $C_m(q) = C'(q)$.
Express the marginal cost $C_m(q)$ as a function of $q$.
To find the minimum of this marginal cost, study the variations of the function $C_m$ on $[0 ; 12]$.
What quantity $q$ should the company produce so that its marginal cost is minimal?
What is this minimal marginal cost (in thousands of euros)?
Una empresa produce una cantidad $q$ de componentes electrónicos (expresada en miles de unidades), con $q \in [0 ; 12]$.
El costo total de producción, en miles de euros, está modelado por la función $C$ definida por:
$C(q) = q^3 - 12q^2 + 60q + 10$
El costo marginal de producción corresponde aproximadamente al costo de la última unidad producida, y se obtiene matemáticamente calculando la derivada del costo total: $C_m(q) = C'(q)$.
Expresar el costo marginal $C_m(q)$ en función de $q$.
Para encontrar el mínimo de este costo marginal, estudiar las variaciones de la función $C_m$ en $[0 ; 12]$.
¿Qué cantidad $q$ debe producir la empresa para que su costo marginal sea mínimo?
¿Cuál es este costo marginal mínimo (en miles de euros)?
Corrigé :Solution:Solución:
On dérive la fonction de coût total pour obtenir le coût marginal : $C_m(q) = C'(q) = 3q^2 - 24q + 60$.
Pour étudier les variations de la fonction $C_m$, il faut calculer sa propre dérivée (on dérive donc une deuxième fois) :
$C'_m(q) = 3 \times (2q) - 24 = 6q - 24$.
Étudions le signe de $6q - 24$ : $6q - 24 = 0 \iff 6q = 24 \iff q = 4$.
Sur $[0 ; 4[$, $6q - 24 < 0$ donc $C_m$ est strictement décroissante.
Sur $]4 ; 12]$, $6q - 24 > 0$ donc $C_m$ est strictement croissante.
D'après l'étude précédente, la fonction $C_m$ admet un minimum en $q = 4$.
L'entreprise doit donc produire 4 milliers de composants (soit 4000 pièces) pour minimiser le coût marginal.
Le coût marginal minimal s'obtient en calculant $C_m(4)$ :
$C_m(4) = 3(4^2) - 24(4) + 60 = 3(16) - 96 + 60 = 48 - 96 + 60 = 12$.
Le coût marginal minimal est de 12 milliers d'euros.
We differentiate the total cost function to obtain the marginal cost: $C_m(q) = C'(q) = 3q^2 - 24q + 60$.
To study the variations of the function $C_m$, we must calculate its own derivative (thus deriving a second time):
$C'_m(q) = 3 \times (2q) - 24 = 6q - 24$.
Let's study the sign of $6q - 24$: $6q - 24 = 0 \iff 6q = 24 \iff q = 4$.
On $[0 ; 4[$, $6q - 24 < 0$ so $C_m$ is strictly decreasing.
On $]4 ; 12]$, $6q - 24 > 0$ so $C_m$ is strictly increasing.
According to the previous study, the function $C_m$ reaches a minimum at $q = 4$.
The company must therefore produce 4 thousands of components (i.e. 4000 parts) to minimize the marginal cost.
The minimal marginal cost is obtained by calculating $C_m(4)$:
$C_m(4) = 3(4^2) - 24(4) + 60 = 3(16) - 96 + 60 = 48 - 96 + 60 = 12$.
The minimal marginal cost is 12 thousands of euros.
Derivamos la función de costo total para obtener el costo marginal: $C_m(q) = C'(q) = 3q^2 - 24q + 60$.
Para estudiar las variaciones de la función $C_m$, debemos calcular su propia derivada (derivamos por tanto una segunda vez):
$C'_m(q) = 3 \times (2q) - 24 = 6q - 24$.
Estudiemos el signo de $6q - 24$: $6q - 24 = 0 \iff 6q = 24 \iff q = 4$.
En $[0 ; 4[$, $6q - 24 < 0$ por lo que $C_m$ es estrictamente decreciente.
En $]4 ; 12]$, $6q - 24 > 0$ por lo que $C_m$ es estrictamente creciente.
De acuerdo con el estudio anterior, la función $C_m$ alcanza un mínimo en $q = 4$.
La empresa debe por tanto producir 4 miles de componentes (es decir 4000 piezas) para minimizar el costo marginal.
El costo marginal mínimo se obtiene calculando $C_m(4)$:
$C_m(4) = 3(4^2) - 24(4) + 60 = 3(16) - 96 + 60 = 48 - 96 + 60 = 12$.
El costo marginal mínimo es de 12 miles de euros.
Exercice 3 : Optimisation en Géométrie (Volume d'une boîte)Exercise 3: Optimization in Geometry (Volume of a box)Ejercicio 3: Optimización en Geometría (Volumen de una caja)
Un designer souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à base carrée de côté $x$ (en cm) et de hauteur $h$ (en cm).
La surface totale de matériau disponible pour fabriquer cette boîte est fixée à $300 \text{ cm}^2$.
Exprimer la surface totale $S$ en fonction de $x$ et $h$. En déduire $h$ en fonction de $x$.
Montrer que le volume $V(x)$ de la boîte s'exprime par : $V(x) = 75x - \dfrac{1}{4}x^3$ sur l'intervalle $]0 ; \sqrt{300}[$.
Calculer la dérivée $V'(x)$ et étudier son signe.
Quelles doivent être les dimensions exactes de la boîte (côté $x$ et hauteur $h$) pour que son volume soit maximal ?
Quel est ce volume maximal ?
A designer wants to make a box without a lid with a square base of side $x$ (in cm) and height $h$ (in cm).
The total surface area of material available to make this box is fixed at $300 \text{ cm}^2$.
Express the total surface $S$ as a function of $x$ and $h$. Deduce $h$ as a function of $x$.
Show that the volume $V(x)$ of the box is expressed by: $V(x) = 75x - \dfrac{1}{4}x^3$ on the interval $]0 ; \sqrt{300}[$.
Calculate the derivative $V'(x)$ and study its sign.
What must the exact dimensions of the box be (side $x$ and height $h$) so that its volume is maximal?
What is this maximal volume?
Un diseñador desea fabricar una caja sin tapa con una base cuadrada de lado $x$ (en cm) y altura $h$ (en cm).
La superficie total de material disponible para fabricar esta caja se fija en $300 \text{ cm}^2$.
Expresar la superficie total $S$ en función de $x$ y $h$. Deducir $h$ en función de $x$.
Mostrar que el volumen $V(x)$ de la caja se expresa por: $V(x) = 75x - \dfrac{1}{4}x^3$ en el intervalo $]0 ; \sqrt{300}[$.
Calcular la derivada $V'(x)$ y estudiar su signo.
¿Cuáles deben ser las dimensiones exactas de la caja (lado $x$ y altura $h$) para que su volumen sea máximo?
¿Cuál es este volumen máximo?
Corrigé :Solution:Solución:
La boîte n'a pas de couvercle. Sa surface est donc composée de la base carrée (aire $x^2$) et des 4 faces rectangulaires (aire $4 \times xh$).
On a donc $S = x^2 + 4xh = 300$. On isole $h$ : $4xh = 300 - x^2 \implies$ $h = \dfrac{300 - x^2}{4x}$.
Le volume d'une telle boîte est $V = \text{aire de base} \times \text{hauteur} = x^2 \times h$.
En remplaçant $h$ : $V(x) = x^2 \times \dfrac{300 - x^2}{4x} = x \times \dfrac{300 - x^2}{4} = \dfrac{300x}{4} - \dfrac{x^3}{4}$.
Résultat : $V(x) = 75x - \dfrac{1}{4}x^3$.
On calcule la dérivée : $V'(x) = 75 - \dfrac{3}{4}x^2$.
On factorise : $V'(x) = \dfrac{3}{4}(100 - x^2) = \dfrac{3}{4}(10-x)(10+x)$.
Sur l'intervalle $]0 ; \sqrt{300}[$, $10+x > 0$. Le signe de $V'(x)$ est donc celui de $10-x$.
$V'(x)$ est positive sur $]0 ; 10[$, s'annule en $x=10$, et est négative sur $]10 ; \sqrt{300}[$.
Le volume est maximal pour $x = 10 \text{ cm}$.
Calculons la hauteur correspondante : $h = \dfrac{300 - 10^2}{4(10)} = \dfrac{200}{40} =$ $5 \text{ cm}$.
The box has no lid. Its surface is thus composed of the square base (area $x^2$) and the 4 rectangular faces (area $4 \times xh$).
We thus have $S = x^2 + 4xh = 300$. We isolate $h$: $4xh = 300 - x^2 \implies$ $h = \dfrac{300 - x^2}{4x}$.
The volume of such a box is $V = \text{base area} \times \text{height} = x^2 \times h$.
Replacing $h$: $V(x) = x^2 \times \dfrac{300 - x^2}{4x} = x \times \dfrac{300 - x^2}{4} = \dfrac{300x}{4} - \dfrac{x^3}{4}$.
Result: $V(x) = 75x - \dfrac{1}{4}x^3$.
We calculate the derivative: $V'(x) = 75 - \dfrac{3}{4}x^2$.
We factor: $V'(x) = \dfrac{3}{4}(100 - x^2) = \dfrac{3}{4}(10-x)(10+x)$.
On the interval $]0 ; \sqrt{300}[$, $10+x > 0$. The sign of $V'(x)$ is thus that of $10-x$.
$V'(x)$ is positive on $]0 ; 10[$, equals zero at $x=10$, and is negative on $]10 ; \sqrt{300}[$.
The volume is maximal for $x = 10 \text{ cm}$.
Let's calculate the corresponding height: $h = \dfrac{300 - 10^2}{4(10)} = \dfrac{200}{40} =$ $5 \text{ cm}$.
La caja no tiene tapa. Su superficie está por tanto compuesta por la base cuadrada (área $x^2$) y las 4 caras rectangulares (área $4 \times xh$).
Tenemos entonces $S = x^2 + 4xh = 300$. Aislamos $h$: $4xh = 300 - x^2 \implies$ $h = \dfrac{300 - x^2}{4x}$.
El volumen de tal caja es $V = \text{área de la base} \times \text{altura} = x^2 \times h$.
Sustituyendo $h$: $V(x) = x^2 \times \dfrac{300 - x^2}{4x} = x \times \dfrac{300 - x^2}{4} = \dfrac{300x}{4} - \dfrac{x^3}{4}$.
Resultado: $V(x) = 75x - \dfrac{1}{4}x^3$.
Calculamos la derivada: $V'(x) = 75 - \dfrac{3}{4}x^2$.
Factorizamos: $V'(x) = \dfrac{3}{4}(100 - x^2) = \dfrac{3}{4}(10-x)(10+x)$.
En el intervalo $]0 ; \sqrt{300}[$, $10+x > 0$. El signo de $V'(x)$ es por tanto el de $10-x$.
$V'(x)$ es positiva en $]0 ; 10[$, se anula en $x=10$, y es negativa en $]10 ; \sqrt{300}[$.
El volumen es máximo para $x = 10 \text{ cm}$.
Calculemos la altura correspondiente: $h = \dfrac{300 - 10^2}{4(10)} = \dfrac{200}{40} =$ $5 \text{ cm}$.