La fonction inverseCHAPTER TITLETÍTULO DEL CAPÍTULO
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Exercice 1 : Tangente et position relativeExercise 1: Tangent and relative positionEjercicio 1: Tangente y posición relativa
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
Soit $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $2$.
Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
Étudier le signe de la différence $f(x) - \left(-\dfrac{1}{4}x + 1\right)$ sur $]0 ; +\infty[$.
En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à sa tangente $T$.
Consider the function $f$ defined on $]0 ; +\infty[$ by $f(x) = \dfrac{1}{x}$ and its representative curve $\mathcal{C}_f$.
Let $A$ be the point on $\mathcal{C}_f$ with abscissa $2$.
Determine the equation of the tangent line $T$ to $\mathcal{C}_f$ at point $A$.
Study the sign of the difference $f(x) - \left(-\dfrac{1}{4}x + 1\right)$ on $]0 ; +\infty[$.
Deduce the relative position of the curve $\mathcal{C}_f$ with respect to its tangent $T$.
Consideramos la función $f$ definida en $]0 ; +\infty[$ por $f(x) = \dfrac{1}{x}$ y su curva representativa $\mathcal{C}_f$.
Sea $A$ el punto de $\mathcal{C}_f$ con abscisa $2$.
Determinar la ecuación de la recta tangente $T$ a $\mathcal{C}_f$ en el punto $A$.
Estudiar el signo de la diferencia $f(x) - \left(-\dfrac{1}{4}x + 1\right)$ en $]0 ; +\infty[$.
Deducir la posición relativa de la curva $\mathcal{C}_f$ respecto a su tangente $T$.
Corrigé :Solution:Solución:
L'équation de la tangente est donnée par $y = f'(2)(x - 2) + f(2)$.
On a $f(2) = \dfrac{1}{2}$. La dérivée est $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$.
L'équation est $y = -\dfrac{1}{4}(x - 2) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x + 1$.
Résultat : $T : y = -\dfrac{1}{4}x + 1$
On calcule $d(x) = \dfrac{1}{x} - \left(-\dfrac{1}{4}x + 1\right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4}x - 1$.
On met au même dénominateur (qui est $4x$) :
$d(x) = \dfrac{4}{4x} + \dfrac{x^2}{4x} - \dfrac{4x}{4x} = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{4x}$.
On reconnaît une identité remarquable au numérateur : $d(x) = \dfrac{(x-2)^2}{4x}$.
Sur $]0 ; +\infty[$, $4x > 0$ et $(x-2)^2 \ge 0$. Donc pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $d(x) \ge 0$ (strictement positif si $x \neq 2$).
Puisque $d(x) \ge 0$, on a $f(x) \ge -\dfrac{1}{4}x + 1$.
Conclusion : La courbe $\mathcal{C}_f$ est toujours au-dessus de sa tangente $T$ sur $]0 ; +\infty[$. Le seul point de contact est en $x = 2$.
The tangent equation is given by $y = f'(2)(x - 2) + f(2)$.
We have $f(2) = \dfrac{1}{2}$. The derivative is $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ so $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$.
The equation is $y = -\dfrac{1}{4}(x - 2) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x + 1$.
Result: $T : y = -\dfrac{1}{4}x + 1$
Let's calculate $d(x) = \dfrac{1}{x} - \left(-\dfrac{1}{4}x + 1\right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4}x - 1$.
We put everything over a common denominator ($4x$):
$d(x) = \dfrac{4}{4x} + \dfrac{x^2}{4x} - \dfrac{4x}{4x} = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{4x}$.
We recognize a perfect square in the numerator: $d(x) = \dfrac{(x-2)^2}{4x}$.
On $]0 ; +\infty[$, $4x > 0$ and $(x-2)^2 \ge 0$. Thus for all $x \in ]0 ; +\infty[$, $d(x) \ge 0$ (strictly positive if $x \neq 2$).
Since $d(x) \ge 0$, we have $f(x) \ge -\dfrac{1}{4}x + 1$.
Conclusion: The curve $\mathcal{C}_f$ is always above its tangent line $T$ on $]0 ; +\infty[$. The only point of contact is at $x = 2$.
La ecuación de la tangente está dada por $y = f'(2)(x - 2) + f(2)$.
Tenemos $f(2) = \dfrac{1}{2}$. La derivada es $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ así que $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$.
La ecuación es $y = -\dfrac{1}{4}(x - 2) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x + 1$.
Resultado: $T : y = -\dfrac{1}{4}x + 1$
Calculamos $d(x) = \dfrac{1}{x} - \left(-\dfrac{1}{4}x + 1\right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{4}x - 1$.
Ponemos bajo un denominador común ($4x$):
$d(x) = \dfrac{4}{4x} + \dfrac{x^2}{4x} - \dfrac{4x}{4x} = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{4x}$.
Reconocemos un cuadrado perfecto en el numerador: $d(x) = \dfrac{(x-2)^2}{4x}$.
En $]0 ; +\infty[$, $4x > 0$ y $(x-2)^2 \ge 0$. Por lo tanto para todo $x \in ]0 ; +\infty[$, $d(x) \ge 0$ (estrictamente positivo si $x \neq 2$).
Puesto que $d(x) \ge 0$, tenemos $f(x) \ge -\dfrac{1}{4}x + 1$.
Conclusión: La curva $\mathcal{C}_f$ está siempre por encima de su tangente $T$ en $]0 ; +\infty[$. El único punto de contacto es en $x = 2$.
Exercice 2 : Optimisation en Économie (Coût moyen)Exercise 2: Optimization in Economics (Average Cost)Ejercicio 2: Optimización en Economía (Costo Medio)
Une entreprise fabrique des objets. Le coût total de production de $q$ milliers d'objets est donné, en milliers d'euros, par :
$C(q) = 2q^2 + 8q + 18$
On suppose que la quantité produite $q$ est comprise entre $1$ et $10$ ($q \in [1 ; 10]$).
Le coût moyen unitaire, c'est-à-dire le coût par millier d'objets, est donné par $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$.
Exprimer $C_M(q)$ en fonction de $q$.
Calculer la dérivée $C'_M(q)$ puis étudier le signe de cette dérivée sur $[1 ; 10]$.
Dresser le tableau de variations de la fonction $C_M$.
Quelle quantité $q$ l'entreprise doit-elle produire pour que le coût moyen soit minimal ? Préciser alors ce coût moyen minimal en euros.
A company manufactures items. The total production cost for $q$ thousands of items is given, in thousands of euros, by:
$C(q) = 2q^2 + 8q + 18$
Assume that the produced quantity $q$ is between $1$ and $10$ ($q \in [1 ; 10]$).
The average unit cost, that is the cost per thousand items, is given by $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$.
Express $C_M(q)$ as a function of $q$.
Calculate the derivative $C'_M(q)$ and study its sign on $[1 ; 10]$.
Draw the variation table of the function $C_M$.
What quantity $q$ should the company produce so that the average cost is minimal? Specify this minimal average cost in euros.
Una empresa fabrica objetos. El costo total de producción de $q$ miles de objetos está dado, en miles de euros, por:
$C(q) = 2q^2 + 8q + 18$
Se supone que la cantidad producida $q$ está comprendida entre $1$ y $10$ ($q \in [1 ; 10]$).
El costo medio unitario, es decir el costo por millar de objetos, viene dado por $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$.
Expresar $C_M(q)$ en función de $q$.
Calcular la derivada $C'_M(q)$ y estudiar el signo de esta derivada en $[1 ; 10]$.
Elaborar la tabla de variaciones de la función $C_M$.
¿Qué cantidad $q$ debe producir la empresa para que el costo medio sea mínimo? Especificar este costo medio mínimo en euros.
Corrigé :Solution:Solución:
On divise chaque terme de $C(q)$ par $q$ :
$C_M(q) = \dfrac{2q^2 + 8q + 18}{q} = \dfrac{2q^2}{q} + \dfrac{8q}{q} + \dfrac{18}{q}$.
Résultat : $C_M(q) = 2q + 8 + \dfrac{18}{q}$.
On dérive $C_M(q)$ en utilisant la dérivée de $q \mapsto \dfrac{1}{q}$ (qui est $-\dfrac{1}{q^2}$) :
$C'_M(q) = 2 + 0 + 18 \times \left(-\dfrac{1}{q^2}\right) = 2 - \dfrac{18}{q^2}$.
On réduit au même dénominateur : $C'_M(q) = \dfrac{2q^2 - 18}{q^2} = \dfrac{2(q^2 - 9)}{q^2}$.
Puisque $q^2 > 0$, le signe de $C'_M(q)$ dépend uniquement de $q^2 - 9$.
$q^2 - 9 = 0 \iff q^2 = 9 \iff q = 3$ (car $q > 0$).
Ainsi, $C'_M(q) < 0$ sur $[1 ; 3[$ et $C'_M(q) > 0$ sur $]3 ; 10]$.
La fonction $C_M$ est donc strictement décroissante sur $[1 ; 3]$ et strictement croissante sur $[3 ; 10]$.
D'après le tableau de variations, le coût moyen est minimal pour $q = 3$ milliers d'objets (soit 3000 objets).
On calcule $C_M(3) = 2(3) + 8 + \dfrac{18}{3} = 6 + 8 + 6 = 20$.
Le coût moyen minimal est de 20 milliers d'euros, soit 20 000 euros.
We divide each term of $C(q)$ by $q$:
$C_M(q) = \dfrac{2q^2 + 8q + 18}{q} = \dfrac{2q^2}{q} + \dfrac{8q}{q} + \dfrac{18}{q}$.
Result: $C_M(q) = 2q + 8 + \dfrac{18}{q}$.
We derive $C_M(q)$ using the derivative of $q \mapsto \dfrac{1}{q}$ (which is $-\dfrac{1}{q^2}$):
$C'_M(q) = 2 + 0 + 18 \times \left(-\dfrac{1}{q^2}\right) = 2 - \dfrac{18}{q^2}$.
We bring it to a common denominator: $C'_M(q) = \dfrac{2q^2 - 18}{q^2} = \dfrac{2(q^2 - 9)}{q^2}$.
Since $q^2 > 0$, the sign of $C'_M(q)$ only depends on $q^2 - 9$.
$q^2 - 9 = 0 \iff q^2 = 9 \iff q = 3$ (because $q > 0$).
Thus, $C'_M(q) < 0$ on $[1 ; 3[$ and $C'_M(q) > 0$ on $]3 ; 10]$.
The function $C_M$ is therefore strictly decreasing on $[1 ; 3]$ and strictly increasing on $[3 ; 10]$.
From the variation table, the average cost is minimal for $q = 3$ thousands of items (i.e. 3000 items).
We calculate $C_M(3) = 2(3) + 8 + \dfrac{18}{3} = 6 + 8 + 6 = 20$.
The minimal average cost is 20 thousands of euros, which is 20,000 euros.
Dividimos cada término de $C(q)$ por $q$:
$C_M(q) = \dfrac{2q^2 + 8q + 18}{q} = \dfrac{2q^2}{q} + \dfrac{8q}{q} + \dfrac{18}{q}$.
Resultado: $C_M(q) = 2q + 8 + \dfrac{18}{q}$.
Derivamos $C_M(q)$ usando la derivada de $q \mapsto \dfrac{1}{q}$ (que es $-\dfrac{1}{q^2}$):
$C'_M(q) = 2 + 0 + 18 \times \left(-\dfrac{1}{q^2}\right) = 2 - \dfrac{18}{q^2}$.
Reducimos a un denominador común: $C'_M(q) = \dfrac{2q^2 - 18}{q^2} = \dfrac{2(q^2 - 9)}{q^2}$.
Puesto que $q^2 > 0$, el signo de $C'_M(q)$ depende únicamente de $q^2 - 9$.
$q^2 - 9 = 0 \iff q^2 = 9 \iff q = 3$ (porque $q > 0$).
Así, $C'_M(q) < 0$ en $[1 ; 3[$ y $C'_M(q) > 0$ en $]3 ; 10]$.
La función $C_M$ es por lo tanto estrictamente decreciente en $[1 ; 3]$ y estrictamente creciente en $[3 ; 10]$.
De acuerdo con la tabla de variaciones, el costo medio es mínimo para $q = 3$ miles de objetos (es decir 3000 objetos).
Calculamos $C_M(3) = 2(3) + 8 + \dfrac{18}{3} = 6 + 8 + 6 = 20$.
El costo medio mínimo es de 20 miles de euros, es decir 20.000 euros.
Exercice 3 : Optimisation en GéométrieExercise 3: Optimization in GeometryEjercicio 3: Optimización en Geometría
Un agriculteur doit créer un enclos de forme rectangulaire dont l'aire doit obligatoirement être de $200 \text{ m}^2$. Il souhaite utiliser le moins de grillage possible pour en faire le tour.
Soient $x$ et $y$ les dimensions de l'enclos, en mètres ($x > 0$ et $y > 0$).
Exprimer la dimension $y$ en fonction de $x$.
Le périmètre de l'enclos est $\mathcal{P}(x) = 2x + 2y$. Montrer que l'on peut exprimer $\mathcal{P}(x)$ par : $\mathcal{P}(x) = 2x + \dfrac{400}{x}$.
Calculer la dérivée $\mathcal{P}'(x)$ et prouver que $\mathcal{P}'(x) = \dfrac{2(x^2 - 200)}{x^2}$.
En étudiant le signe de la dérivée sur $]0 ; +\infty[$, déterminer les dimensions optimales de l'enclos. Quelle sera la forme particulière de cet enclos ?
A farmer needs to create a rectangular enclosure whose area must necessarily be $200 \text{ m}^2$. He wants to use the least amount of fencing possible to go around it.
Let $x$ and $y$ be the dimensions of the enclosure, in meters ($x > 0$ and $y > 0$).
Express the dimension $y$ in terms of $x$.
The perimeter of the enclosure is $\mathcal{P}(x) = 2x + 2y$. Show that $\mathcal{P}(x)$ can be expressed as: $\mathcal{P}(x) = 2x + \dfrac{400}{x}$.
Calculate the derivative $\mathcal{P}'(x)$ and prove that $\mathcal{P}'(x) = \dfrac{2(x^2 - 200)}{x^2}$.
By studying the sign of the derivative on $]0 ; +\infty[$, determine the optimal dimensions of the enclosure. What will be the specific shape of this enclosure?
Un agricultor debe crear un recinto de forma rectangular cuya área debe ser obligatoriamente de $200 \text{ m}^2$. Desea utilizar la menor cantidad de cerca posible para rodearlo.
Sean $x$ e $y$ las dimensiones del recinto, en metros ($x > 0$ e $y > 0$).
Expresar la dimensión $y$ en función de $x$.
El perímetro del recinto es $\mathcal{P}(x) = 2x + 2y$. Demostrar que se puede expresar $\mathcal{P}(x)$ como: $\mathcal{P}(x) = 2x + \dfrac{400}{x}$.
Calcular la derivada $\mathcal{P}'(x)$ y probar que $\mathcal{P}'(x) = \dfrac{2(x^2 - 200)}{x^2}$.
Estudiando el signo de la derivada en $]0 ; +\infty[$, determinar las dimensiones óptimas del recinto. ¿Cuál será la forma particular de este recinto?
Corrigé :Solution:Solución:
L'aire du rectangle est $x \times y = 200$. On en déduit que $y = \dfrac{200}{x}$.
On remplace $y$ dans la formule du périmètre :
$\mathcal{P}(x) = 2x + 2\left(\dfrac{200}{x}\right)$.
Résultat : $\mathcal{P}(x) = 2x + \dfrac{400}{x}$.
On dérive $\mathcal{P}$ en utilisant la fonction inverse :
$\mathcal{P}'(x) = 2 + 400 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = 2 - \dfrac{400}{x^2}$.
Mise au même dénominateur : $\mathcal{P}'(x) = \dfrac{2x^2 - 400}{x^2} = \dfrac{2(x^2 - 200)}{x^2}$.
Sur $]0 ; +\infty[$, $x^2 > 0$ donc le signe dépend de $x^2 - 200$.
$x^2 - 200 = 0 \iff x = \sqrt{200}$ (car $x > 0$). On note que $\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
$\mathcal{P}'(x) < 0$ pour $0 < x < 10\sqrt{2}$ et $\mathcal{P}'(x) > 0$ pour $x > 10\sqrt{2}$.
Le périmètre est donc minimal pour $x = 10\sqrt{2}$.
Calculons $y$ correspondant : $y = \dfrac{200}{10\sqrt{2}} = \dfrac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$.
Conclusion : Les dimensions optimales sont $x = y = 10\sqrt{2}$ mètres (environ $14,14 \text{ m}$).
La forme particulière de cet enclos est donc un carré.
The area of the rectangle is $x \times y = 200$. We deduce that $y = \dfrac{200}{x}$.
We replace $y$ in the perimeter formula:
$\mathcal{P}(x) = 2x + 2\left(\dfrac{200}{x}\right)$.
Result: $\mathcal{P}(x) = 2x + \dfrac{400}{x}$.
We derive $\mathcal{P}$ using the inverse function:
$\mathcal{P}'(x) = 2 + 400 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = 2 - \dfrac{400}{x^2}$.
Common denominator: $\mathcal{P}'(x) = \dfrac{2x^2 - 400}{x^2} = \dfrac{2(x^2 - 200)}{x^2}$.
On $]0 ; +\infty[$, $x^2 > 0$ so the sign depends on $x^2 - 200$.
$x^2 - 200 = 0 \iff x = \sqrt{200}$ (since $x > 0$). Note that $\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
$\mathcal{P}'(x) < 0$ for $0 < x < 10\sqrt{2}$ and $\mathcal{P}'(x) > 0$ for $x > 10\sqrt{2}$.
The perimeter is thus minimal for $x = 10\sqrt{2}$.
Let's calculate the corresponding $y$: $y = \dfrac{200}{10\sqrt{2}} = \dfrac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$.
Conclusion: The optimal dimensions are $x = y = 10\sqrt{2}$ meters (approx. $14.14 \text{ m}$).
The specific shape of this enclosure is therefore a square.
El área del rectángulo es $x \times y = 200$. Deducimos que $y = \dfrac{200}{x}$.
Reemplazamos $y$ en la fórmula del perímetro:
$\mathcal{P}(x) = 2x + 2\left(\dfrac{200}{x}\right)$.
Resultado: $\mathcal{P}(x) = 2x + \dfrac{400}{x}$.
En $]0 ; +\infty[$, $x^2 > 0$ así que el signo depende de $x^2 - 200$.
$x^2 - 200 = 0 \iff x = \sqrt{200}$ (dado que $x > 0$). Notemos que $\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
$\mathcal{P}'(x) < 0$ para $0 < x < 10\sqrt{2}$ y $\mathcal{P}'(x) > 0$ para $x > 10\sqrt{2}$.
El perímetro es por lo tanto mínimo para $x = 10\sqrt{2}$.
Calculemos el $y$ correspondiente: $y = \dfrac{200}{10\sqrt{2}} = \dfrac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$.
Conclusión: Las dimensiones óptimas son $x = y = 10\sqrt{2}$ metros (aprox. $14.14 \text{ m}$).
La forma particular de este recinto es por consiguiente un cuadrado.
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