NOMBRE DÉRIVÉ ET TANGENTE À UNE COURBE
I - Nombre dérivé
Sécante et tangente à une courbe
Soit $A(a ; f(a))$ et $B(a + h ; f(a + h))$ deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
$\frac{f(a+h) - f(a)}{a+h - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
On le note $T(h)$. Il détermine la pente de la droite $(AB)$.
Si $h$ est proche de $0$ alors $B$ est proche de $A$ et la droite $(AB)$ tend à se confondre avec la droite appelée tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$, et $T(h)$ tend vers le coefficient directeur de cette tangente.
Définition 1 :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, contenant les réels $a$ et $a + h$, $h \neq 0$.
On appelle taux d'accroissement de la fonction $f$ entre $a$ et $a + h$ le réel noté $T(h)$ tel que :
$T(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
Définition 2 :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, contenant les réels $a$ et $a + h$, $h \neq 0$.
On appelle, lorsqu'il existe, nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$ le réel noté $f'(a)$ tel que :
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a)$
Remarque :
Lorsque $f'(a)$ existe, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$.
II - Tangente à une courbe
Propriété 1 :
Si $f$ est dérivable en $a$ alors la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est la droite d'équation :
$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Démonstration de l'équation de la tangente :
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente $(t)$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
Donc $(t) : y = f'(a)x + p$ avec $p$ réel.
Or $A(a ; f(a))$ appartient à $(t)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation de $(t)$.
Donc $f(a) = f'(a) \times a + p \quad \text{d'où} \quad p = f(a) - f'(a) \times a$.
On remplace $p$ par sa valeur dans l'équation de $(t)$.
On obtient : $y = f'(a)x + p = f'(a)x + f(a) - f'(a)a = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Vocabulaire :
Le point $A$ est appelé point de contact de la tangente $(t)$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$.
III - Approximation affine
Définition 3 :
Si la fonction $f$ est dérivable en $a$, la fonction affine $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a)$ est appelée l'approximation affine locale de $f$ au voisinage de $a$. Sa représentation graphique est la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.
Application: Calcul d'une valeur approchée
Pour des valeurs de $x$ proches de $a$, la valeur de la fonction $f(x)$ est proche de la valeur donnée par la fonction affine tangente. En posant $x = a + h$ (où $h$ est proche de $0$), on obtient l'approximation suivante :
$f(a + h) \approx f(a) + f'(a) \times h$
Cette formule permet de calculer une valeur approchée de $f(a + h)$ lorsque $h$ est petit.
Exemple: Approximation de $\sqrt{1,01}$.
Soit $f(x) = \sqrt{x}$. On cherche une valeur approchée pour $x = 1,01 = 1 + 0,01$.
On pose $a = 1$ et $h = 0,01$.
On sait que $f(1) = 1$.
La dérivée de la fonction racine carrée est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ (vue plus loin). Donc $f'(1) = \frac{1}{2} = 0,5$.
D'après la formule d'approximation :
(La valeur exacte à la calculatrice est environ $1,00498...$, l'approximation est donc très bonne).
DERIVATIVE NUMBER AND TANGENT LINE
I - Derivative Number
Secant and tangent to a curve
Let $A(a ; f(a))$ and $B(a + h ; f(a + h))$ be two points on the curve $\mathcal{C}_f$ representing a function $f$.
The slope of the line $(AB)$ is:
$\frac{f(a+h) - f(a)}{a+h - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
It is denoted $T(h)$. It determines the slope of the line $(AB)$.
If $h$ is close to $0$, then $B$ is close to $A$ and the line $(AB)$ tends to merge with the line called the tangent to the curve $\mathcal{C}_f$ at point $A$, and $T(h)$ tends towards the slope of this tangent.
Definition 1:
Let $f$ be a function defined on an interval $I$, containing the real numbers $a$ and $a + h$, $h \neq 0$.
The rate of change of the function $f$ between $a$ and $a + h$ is the real number denoted $T(h)$ such that:
$T(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
Definition 2:
Let $f$ be a function defined on an interval $I$, containing the real numbers $a$ and $a + h$, $h \neq 0$.
The derivative number of the function $f$ at $a$, when it exists, is the real number denoted $f'(a)$ such that:
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a)$
Remark:
When $f'(a)$ exists, we say that the function $f$ is differentiable at $a$.
II - Tangent to a curve
Property 1:
If $f$ is differentiable at $a$, then the tangent to $\mathcal{C}_f$ at the point with abscissa $a$ is the line with equation:
$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Proof of the tangent equation:
If $f$ is differentiable at $a$, then $f'(a)$ is the slope of the tangent $(t)$ to $\mathcal{C}_f$ at the point with abscissa $a$.
Thus $(t) : y = f'(a)x + p$ with $p$ a real number.
But $A(a ; f(a))$ belongs to $(t)$, so its coordinates satisfy the equation of $(t)$.
So $f(a) = f'(a) \times a + p \quad \text{hence} \quad p = f(a) - f'(a) \times a$.
Substitute $p$ with its value in the equation of $(t)$.
We get: $y = f'(a)x + p = f'(a)x + f(a) - f'(a)a = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Vocabulary:
The point $A$ is called the point of contact of the tangent $(t)$ with the curve $\mathcal{C}_f$.
III - Affine approximation
Definition 3:
If the function $f$ is differentiable at $a$, the affine function $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a)$ is called the local affine approximation of $f$ near $a$. Its graphical representation is the tangent to the curve of $f$ at the point with abscissa $a$.
Application: Calculating an approximate value
For values of $x$ close to $a$, the value of the function $f(x)$ is close to the value given by the tangent affine function. Setting $x = a + h$ (where $h$ is close to $0$), we get the following approximation:
$f(a + h) \approx f(a) + f'(a) \times h$
This formula allows calculating an approximate value of $f(a + h)$ when $h$ is small.
Example: Approximation of $\sqrt{1.01}$.
Let $f(x) = \sqrt{x}$. We seek an approximate value for $x = 1.01 = 1 + 0.01$.
Let $a = 1$ and $h = 0.01$.
We know that $f(1) = 1$.
The derivative of the square root function is $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ (seen later). Thus $f'(1) = \frac{1}{2} = 0.5$.
According to the approximation formula:
(The exact value on the calculator is approximately $1.00498...$, so the approximation is very good).
NÚMERO DERIVADO Y TANGENTE A UNA CURVA
I - Número derivado
Secante y tangente a una curva
Sean $A(a ; f(a))$ y $B(a + h ; f(a + h))$ dos puntos de la curva $\mathcal{C}_f$ representativa de una función $f$.
La pendiente de la recta $(AB)$ es:
$\frac{f(a+h) - f(a)}{a+h - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
Se denota por $T(h)$. Determina la pendiente de la recta $(AB)$.
Si $h$ está cerca de $0$, entonces $B$ está cerca de $A$ y la recta $(AB)$ tiende a confundirse con la recta llamada tangente a la curva $\mathcal{C}_f$ en el punto $A$, y $T(h)$ tiende hacia la pendiente de esta tangente.
Definición 1:
Sea $f$ una función definida en un intervalo $I$, que contiene los números reales $a$ y $a + h$, $h \neq 0$.
Llamamos tasa de variación de la función $f$ entre $a$ y $a + h$ al número real denotado $T(h)$ tal que:
$T(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
Definición 2:
Sea $f$ una función definida en un intervalo $I$, que contiene los números reales $a$ y $a + h$, $h \neq 0$.
Llamamos, cuando existe, número derivado de la función $f$ en $a$ al número real denotado $f'(a)$ tal que:
$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a)$
Observación:
Cuando $f'(a)$ existe, decimos que la función $f$ es derivable en $a$.
II - Tangente a una curva
Propiedad 1:
Si $f$ es derivable en $a$, entonces la tangente a $\mathcal{C}_f$ en el punto de abscisa $a$ es la recta con ecuación:
$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Demostración de la ecuación de la tangente:
Si $f$ es derivable en $a$, entonces $f'(a)$ es la pendiente de la tangente $(t)$ a $\mathcal{C}_f$ en el punto de abscisa $a$.
Por lo tanto, $(t) : y = f'(a)x + p$ con $p$ real.
Pero $A(a ; f(a))$ pertenece a $(t)$, por lo que sus coordenadas satisfacen la ecuación de $(t)$.
Así que $f(a) = f'(a) \times a + p \quad \text{de donde} \quad p = f(a) - f'(a) \times a$.
Sustituimos $p$ por su valor en la ecuación de $(t)$.
Obtenemos: $y = f'(a)x + p = f'(a)x + f(a) - f'(a)a = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Vocabulario:
El punto $A$ se llama el punto de contacto de la tangente $(t)$ con la curva $\mathcal{C}_f$.
III - Aproximación afín
Definición 3:
Si la función $f$ es derivable en $a$, la función afín $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a)$ se llama aproximación afín local de $f$ en el entorno de $a$. Su representación gráfica es la tangente a la curva de $f$ en el punto de abscisa $a$.
Aplicación: Cálculo de un valor aproximado
Para valores de $x$ cercanos a $a$, el valor de la función $f(x)$ es cercano al valor dado por la función afín tangente. Haciendo $x = a + h$ (donde $h$ es cercano a $0$), obtenemos la siguiente aproximación:
$f(a + h) \approx f(a) + f'(a) \times h$
Esta fórmula permite calcular un valor aproximado de $f(a + h)$ cuando $h$ es pequeño.
Ejemplo: Aproximación de $\sqrt{1,01}$.
Sea $f(x) = \sqrt{x}$. Buscamos un valor aproximado para $x = 1,01 = 1 + 0,01$.
Hacemos $a = 1$ y $h = 0,01$.
Sabemos que $f(1) = 1$.
La derivada de la función raíz cuadrada es $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ (vista más adelante). Por lo tanto, $f'(1) = \frac{1}{2} = 0,5$.
Según la fórmula de aproximación:
(El valor exacto en la calculadora es aproximadamente $1,00498...$, por lo que la aproximación es muy buena).