ÉTUDE D'UNE SUITE NUMÉRIQUE

Cours

I - Représentation graphique d'une suite

Définition 1 :

On appelle représentation graphique d'une suite $(u_n)$ dans un repère l'ensemble de points

$\{M(n, u_n), n \in \mathbb{N}\}$

Application: Représentation graphique d'une suite

Suite définie par une relation explicite.

Soit $(u_n)$ la suite définie par : $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = n^2 + 1$

$n$ 0 1 2 3 4 5
$u_n$ 1 2 5 10 17 26
0 1 2 3 4 5 n 5 10 15 20 25 un

Suite définie par une relation de récurrence.

Soit $(v_n)$ la suite définie par : $\begin{cases} v_0 = 1 \\ \forall n \in \mathbb{N},\, v_{n+1} = v_n^2 + 1 \end{cases}$

$n$ 0 1 2 3 4 5
$v_n$ 1 2 5 26 677 458330
0 1 2 3 n 5 10 15 20 25 vn

II - Sens de variation d'une suite

Définition 2 :

  • On dit qu'une suite est croissante lorsque pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \geq u_n$.
  • On dit qu'une suite est constante lorsque pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n$.
  • On dit qu'une suite est décroissante lorsque pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \leq u_n$.

Remarque :

Si l'inégalité est stricte, on dit que la suite est strictement croissante ou strictement décroissante.

Application: Sens de variation d'une suite

  • On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = 3n + 2$.
    $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n = 3(n+1) + 2 - (3n + 2) = 3n + 3 + 2 - 3n - 2 = 3 > 0$
    donc $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} > u_n$
    donc $(u_n)$ est strictement croissante.
  • On considère la suite $(v_n)$ définie par : $\begin{cases} v_0 = 3 \\ \forall n \in \mathbb{N},\, v_{n+1} = v_n - 4 \end{cases}$
    $\forall n \in \mathbb{N},\, v_{n+1} - v_n = -4 < 0$ donc $\forall n \in \mathbb{N},\, v_{n+1} < v_n$
    donc $(v_n)$ est strictement décroissante.

Propriété 1 :

Soit $f$ une fonction définie sur $[0\,; +\infty[$ et $(u_n)$ la suite définie par : $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = f(n)$.

  • Si $f$ est croissante sur $[0\,; +\infty[$ alors $(u_n)$ est croissante.
  • Si $f$ est décroissante sur $[0\,; +\infty[$ alors $(u_n)$ est décroissante.

Démonstration (cas où $f$ est croissante) :

$\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} - u_n = f(n+1) - f(n)$.

Or $f$ est croissante sur $[0\,; +\infty[$ donc pour tous $x_1, x_2 \in [0\,; +\infty[$, si $x_1 \leq x_2$ alors $f(x_1) \leq f(x_2)$.

On a $n+1 \geq n$, donc $f(n+1) \geq f(n)$ soit $f(n+1) - f(n) \geq 0$.

Donc $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} \geq u_n$, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est croissante.

III - Limite d'une suite

Définition 3 :

Quand, à partir d'un certain rang, l'écart entre les termes d'une suite $(u_n)$ et un nombre donné $\ell$ peut être aussi petit qu'on le veut, on dit que la suite $(u_n)$ tend vers $\ell$ ou bien que la suite $(u_n)$ a pour limite $\ell$ ou bien que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$. On note alors :

$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$

Application: Recherche de limite finie

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N}^*,\, u_n = \dfrac{1}{n}$.

En calculant les premiers termes de cette suite, il semble que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Vérification :

Soit $r > 0$ un réel donné. Peut-on trouver un entier $N$ tel que si $n \geq N$ alors $u_n \leq r$ ?

$0 < u_n \leq r \iff 0 < \dfrac{1}{n} \leq r$. Or la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0\,; +\infty[$.

Donc $\dfrac{1}{n} \leq r \iff n \geq \dfrac{1}{r}$. Il suffit donc de prendre un entier $N \geq \dfrac{1}{r}$.

Par exemple, si $r = 0,001 = 10^{-3}$, alors on peut prendre $N = \dfrac{1}{10^{-3}} = 10^3 = 1000$.

Lorsque $n \geq 1000$, alors $u_n \leq 0,001$.

Application: Recherche de limite infinie

On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $v_n = n^2$.

En calculant les premiers termes de cette suite, on remarque qu'elle devient arbitrairement grande. Il semble que $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

Vérification :

Soit $A > 0$ un réel donné. Peut-on trouver un entier $N$ tel que si $n \geq N$ alors $v_n \geq A$ ?

$v_n \geq A \iff n^2 \geq A$. Or la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,; +\infty[$.

Donc $n^2 \geq A \iff n \geq \sqrt{A}$. Il suffit donc de prendre un entier $N \geq \sqrt{A}$.

Par exemple, si $A = 1\,000\,000 = 10^6$, alors on peut prendre $N = \sqrt{10^6} = 10^3 = 1000$.

Lorsque $n \geq 1000$, alors $v_n \geq 1\,000\,000$.

Application: Suite n'ayant pas de limite

On considère la suite $(w_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $w_n = (-1)^n$.

Les termes de cette suite valent alternativement $1$ et $-1$. En effet : $w_0 = 1$, $w_1 = -1$, $w_2 = 1$, $w_3 = -1$, etc.

Cette suite ne se rapproche d'aucun nombre réel particulier (elle ne converge pas) et elle ne tend pas non plus vers $+\infty$ ou $-\infty$ (elle reste bornée entre $-1$ et $1$).

On dit que la suite $(w_n)$ n'admet pas de limite.

# Programme en Python : Recherche de seuil avec une boucle while

Objectif du programme : On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = n^2$. Le but est de déterminer le plus petit entier $n$ à partir duquel les termes de la suite dépassent une valeur seuil $A$ strictement positive donnée.

def seuil(A):
    n = 0
    while n**2 < A:
        n = n + 1
    return n

# Exemple : à partir de quel rang n^2 dépasse-t-il 1 000 000 ?
print(seuil(1000000))