LES SUITES NUMÉRIQUES
Définition 1 :
On appelle suite numérique $(u_n)$ une fonction définie sur $\mathbb{N}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
L'image de l'entier naturel $n$ se note $u_n$ et est appelé le terme général de la suite $(u_n)$.
Remarques :
- Le terme général de la suite est aussi appelé terme de rang $n$ ou terme d'indice $n$.
- Une suite peut être définie sur $\{n_0, n_0+1, \dots\}$ où $n_0$ est un entier naturel fixé.
I - Suite définie par une relation explicite
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{N}$ et $(u_n)$ la suite définie par : $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = f(n)$.
Dans ce cas, on peut calculer directement n'importe quel terme de la suite.
Application : suite définie par une relation explicite
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = 3n + 2$ ; ici, pour tout $x \in \mathbb{N},\, f(x) = 3x + 2$.
On peut calculer directement n'importe quel terme de cette suite.
# Programme en Python : Calcul d'un terme d'une suite explicite
def u(n):
return 3 * n + 2
# Exemple d'utilisation : calcul de u(10)
print(u(10))II - Suite définie par une relation de récurrence
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)$ la suite définie par :
Dans ce cas, pour calculer un terme de la suite, il faut connaître la valeur du terme précédent.
Application : suite définie par une relation de récurrence
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $\begin{cases} u_0 = 3 \\ \forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = -2u_n + 4 \end{cases}$ ; ici, pour tout $x \in \mathbb{R},\, f(x) = -2x + 4$.
On ne peut pas calculer directement n'importe quel terme de cette suite. Il faut les calculer dans l'ordre croissant.
# Programme en Python : Calcul d'un terme d'une suite définie par récurrence
def u(n):
valeur = 3
for i in range(n):
valeur = -2 * valeur + 4
return valeur
# Exemple d'utilisation : calcul de u(2)
print(u(2))NUMERIC SEQUENCES
Definition 1:
A numeric sequence $(u_n)$ is a function defined on $\mathbb{N}$ with values in $\mathbb{R}$.
The image of the natural number $n$ is denoted $u_n$ and is called the general term of the sequence $(u_n)$.
Remarks:
- The general term of the sequence is also called the term of rank $n$ or term of index $n$.
- A sequence can be defined on $\{n_0, n_0+1, \dots\}$ where $n_0$ is a fixed natural number.
I - Sequence defined by an explicit formula
Let $f$ be a function defined on $\mathbb{N}$ and $(u_n)$ be the sequence defined by: $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = f(n)$.
In this case, any term of the sequence can be calculated directly.
Application: explicitly defined sequence
Consider the sequence $(u_n)$ defined by: $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = 3n + 2$; here, for all $x \in \mathbb{N},\, f(x) = 3x + 2$.
We can directly calculate any term of this sequence.
# Python program: Calculating a term of an explicit sequence
def u(n):
return 3 * n + 2
# Example of use: calculating u(10)
print(u(10))II - Sequence defined by a recurrence relation
Let $f$ be a function defined on $\mathbb{R}$ and $(u_n)$ be the sequence defined by:
In this case, to calculate a term of the sequence, the value of the previous term must be known.
Application: recurrence relation
Let $(u_n)$ be the sequence defined by: $\begin{cases} u_0 = 3 \\ \forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = -2u_n + 4 \end{cases}$; here, for all $x \in \mathbb{R},\, f(x) = -2x + 4$.
We cannot directly calculate any term of this sequence. They must be calculated in increasing order.
# Python program: Calculating a term of a sequence defined by recurrence
def u(n):
valeur = 3
for i in range(n):
valeur = -2 * valeur + 4
return valeur
# Example of use: calculating u(2)
print(u(2))SUCESIONES NUMÉRICAS
Definición 1:
Una sucesión numérica $(u_n)$ es una función definida en $\mathbb{N}$ con valores en $\mathbb{R}$.
La imagen del número natural $n$ se denota $u_n$ y se llama el término general de la sucesión $(u_n)$.
Observaciones:
- El término general de la sucesión también se llama término de rango $n$ o término de índice $n$.
- Una sucesión puede estar definida en $\{n_0, n_0+1, \dots\}$ donde $n_0$ es un número natural fijo.
I - Sucesión definida por una fórmula explícita
Sea $f$ una función definida en $\mathbb{N}$ y $(u_n)$ la sucesión definida por: $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = f(n)$.
En este caso, se puede calcular directamente cualquier término de la sucesión.
Aplicación: sucesión definida por una fórmula explícita
Consideremos la sucesión $(u_n)$ definida por: $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = 3n + 2$; aquí, para todo $x \in \mathbb{N},\, f(x) = 3x + 2$.
Podemos calcular directamente cualquier término de esta sucesión.
# Programa en Python: Cálculo de un término de una sucesión explícita
def u(n):
return 3 * n + 2
# Ejemplo de uso: cálculo de u(10)
print(u(10))II - Sucesión definida por una relación de recurrencia
Sea $f$ una función definida en $\mathbb{R}$ y $(u_n)$ la sucesión definida por:
En este caso, para calcular un término de la sucesión, se debe conocer el valor del término anterior.
Aplicación: sucesión definida por una relación de recurrencia
Sea $(u_n)$ la sucesión definida por: $\begin{cases} u_0 = 3 \\ \forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1} = -2u_n + 4 \end{cases}$; aquí, para todo $x \in \mathbb{R},\, f(x) = -2x + 4$.
No podemos calcular directamente cualquier término de esta sucesión. Se deben calcular en orden creciente.
# Programa en Python: Cálculo de un término de una sucesión definida por recurrencia
def u(n):
valeur = 3
for i in range(n):
valeur = -2 * valeur + 4
return valeur
# Ejemplo de uso: cálculo de u(2)
print(u(2))