Probabilités conditionnelles : évènements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

1. Calculons le produit des probabilités :

$$ P(A) \times P(B) = 0.4 \times 0.75 = 0.3 $$

2. Comparons avec $P(A \cap B)$ :

On a $P(A \cap B) = 0.3$.

Puisque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, les événements sont indépendants.

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

1. Calculons les probabilités des événements :

1. $P(C) = \frac{60}{100} = 0.6$
2. $P(D) = \frac{30}{100} = 0.3$
3. $P(C \cap D) = \frac{20}{100} = 0.2$

2. Comparons $P(C \cap D)$ et $P(C) \times P(D)$ :

$$ P(C) \times P(D) = 0.6 \times 0.3 = 0.18 $$

3. Conclusion :

Puisque $P(C \cap D) = 0.2$ et $P(C) \times P(D) = 0.18$, alors $P(C \cap D) \ne P(C) \times P(D)$.

Les événements $C$ et $D$ ne sont pas indépendants.

Pour que $E$ et $F$ soient indépendants, il faut que $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$.

De plus, la formule d'addition des probabilités donne :

$$ P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) $$

1. On substitue la condition d'indépendance dans la formule d'addition :

$$ P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E) \times P(F) $$

2. On remplace par les valeurs données :

$$ 0.9 = 0.8 + x - 0.8 \times x $$

3. Résolvons l'équation en $x$ :

$$ 0.9 - 0.8 = x(1 - 0.8) $$ $$ 0.1 = 0.2x $$ $$ x = \frac{0.1}{0.2} = 0.5 $$ Les événements $E$ et $F$ sont indépendants si $x = 0.5$.

Illustration de l'arbre pondéré

1. Calculons les probabilités simples :

$P(A) = P(\text{1ère est rouge}) = \frac{5}{8}$

2. Calculons la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ :

$P_A(B)$ est la probabilité que la deuxième boule soit rouge, sachant que la première était rouge.

Si la première est rouge, il reste 7 boules dans l'urne, dont 4 rouges.

$$ P_A(B) = \frac{4}{7} $$

3. Comparons $P(B)$ et $P_A(B)$ :

L'indépendance de $A$ et $B$ est vérifiée si et seulement si $P_A(B) = P(B)$.

On sait que $P_A(B) = \frac{4}{7}$.

Pour trouver $P(B)$, on peut utiliser la formule des probabilités totales :

$$ P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) $$ $$ P(B) = \left(P(A) \times P_A(B)\right) + \left(P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)\right) $$ $$ P(B) = \left(\frac{5}{8} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{3}{8} \times \frac{5}{7}\right) $$ $$ P(B) = \frac{20}{56} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac{5}{8} $$

4. Conclusion :

Puisque $P_A(B) = \frac{4}{7}$ et $P(B) = \frac{5}{8}$, et que $\frac{4}{7} \ne \frac{5}{8}$ (car $4 \times 8 = 32$ et $5 \times 7 = 35$), les événements ne sont pas indépendants.

Le tirage sans remise rend le deuxième tirage dépendant du résultat du premier.

Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.