Exercice 1 : Test d'Indépendance (Probabilités)
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$. On donne les probabilités suivantes :
- $P(A) = \dfrac{2}{5}$
- $P(B) = \dfrac{3}{4}$
- $P(A \cap B) = \dfrac{3}{10}$
Question :
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
Corrigé de l'Exercice 1
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$1. Calculons le produit des probabilités :
$$ P(A) \times P(B) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} $$2. Comparons avec $P(A \cap B)$ :
On a $P(A \cap B) = \dfrac{3}{10}$.
Puisque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, les événements sont indépendants.
donc les événements $A$ et $B$ sont indépendants.Exercice 2 : Non-Indépendance (Tableau)
Une étude sur 100 personnes examine le fait de posséder un chat ($C$) et de posséder un chien ($D$). Le tableau ci-dessous résume les résultats :
| Possède un chien ($D$) | Ne possède pas de chien ($\bar{D}$) | Total | |
|---|---|---|---|
| Possède un chat ($C$) | 20 | 40 | 60 |
| Ne possède pas de chat ($\bar{C}$) | 10 | 30 | 40 |
| Total | 30 | 70 | 100 |
Question :
Les événements $C$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier.
Corrigé de l'Exercice 2
1. Calculons les probabilités des événements :
- $P(C) = \dfrac{60}{100} = 0,6$
- $P(D) = \dfrac{30}{100} = 0,3$
- $P(C \cap D) = \dfrac{20}{100} = 0,2$
2. Comparons $P(C \cap D)$ et $P(C) \times P(D)$ :
$$ P(C) \times P(D) = 0,6 \times 0,3 = 0,18 $$3. Conclusion :
Puisque $P(C \cap D) = 0,2$ et $P(C) \times P(D) = 0,18$, alors $P(C \cap D) \ne P(C) \times P(D)$.
donc les événements $C$ et $D$ ne sont pas indépendants.Exercice 3 : Détermination de la Condition
Soient $E$ et $F$ deux événements avec $P(E) = \dfrac{4}{5}$, $P(F) = x$ (où $x \in \left[ 0 ; 1 \right]$) et $P(E \cup F) = \dfrac{9}{10}$.
Question :
Déterminer la valeur de $x$ pour que les événements $E$ et $F$ soient indépendants.
Corrigé de l'Exercice 3
Pour que $E$ et $F$ soient indépendants, il faut que $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$.
De plus, la formule d'addition des probabilités donne :
$$ P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) $$1. On substitue la condition d'indépendance dans la formule d'addition :
$$ P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E) \times P(F) $$2. On remplace par les valeurs données :
$$ \dfrac{9}{10} = \dfrac{4}{5} + x - \dfrac{4}{5} \times x $$3. Résolvons l'équation en $x$ :
$$ \dfrac{9}{10} - \dfrac{8}{10} = x \left( 1 - \dfrac{4}{5} \right) $$ $$ \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{5}x $$ $$ x = \dfrac{1}{10} \times 5 = \dfrac{1}{2} $$ donc les événements $E$ et $F$ sont indépendants si $x = \dfrac{1}{2}$.Exercice 4 : Indépendance et Événement Contraire
On sait que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A) = \dfrac{1}{5}$ et $P(B) = \dfrac{3}{5}$.
Questions :
1) Calculer $P(A \cap \bar{B})$.
2) Les événements $A$ et $\bar{B}$ sont-ils indépendants ? Justifier.
Corrigé de l'Exercice 4
1) Calcul de $P(A \cap \bar{B})$
On a $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$.
L'événement $A$ peut être décomposé en $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$. Ces deux événements sont disjoints, donc :
$$ P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) $$Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{25}$.
$$ \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{25} + P(A \cap \bar{B}) $$ $$ P(A \cap \bar{B}) = \dfrac{5}{25} - \dfrac{3}{25} = \dfrac{2}{25} $$ donc $P(A \cap \bar{B}) = \dfrac{2}{25}$.2) Test d'indépendance pour $A$ et $\bar{B}$
Pour que $A$ et $\bar{B}$ soient indépendants, il faut $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B})$.
Calculons le produit :
$$ P(A) \times P(\bar{B}) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{25} $$Puisque $P(A \cap \bar{B}) = \dfrac{2}{25}$ et $P(A) \times P(\bar{B}) = \dfrac{2}{25}$, l'égalité est vérifiée.
donc les événements $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants.Exercice 5 : Tirage sans Remise
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne.
Soient les événements :
- $A$: "La première boule tirée est rouge."
- $B$: "La deuxième boule tirée est rouge."
Question :
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
Corrigé de l'Exercice 5
Arbre pondéré :
1. Calculons les probabilités simples :
$P(A) = \dfrac{5}{8}$
2. Calculons la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ :
$P_A(B)$ est la probabilité que la deuxième boule soit rouge, sachant que la première était rouge. Si la première est rouge, il reste 7 boules dans l'urne, dont 4 rouges.
$$ P_A(B) = \dfrac{4}{7} $$3. Comparons $P(B)$ et $P_A(B)$ :
L'indépendance de $A$ et $B$ est vérifiée si et seulement si $P_A(B) = P(B)$. Pour trouver $P(B)$, on peut utiliser la formule des probabilités totales :
$$ P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = \left( P(A) \times P_A(B) \right) + \left( P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B) \right) $$ $$ P(B) = \left( \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} \right) + \left( \dfrac{3}{8} \times \dfrac{5}{7} \right) = \dfrac{20}{56} + \dfrac{15}{56} = \dfrac{35}{56} = \dfrac{5}{8} $$4. Conclusion :
Puisque $P_A(B) = \dfrac{4}{7}$ et $P(B) = \dfrac{5}{8}$, et que $\dfrac{4}{7} \ne \dfrac{5}{8}$ (car $32 \ne 35$), les événements ne sont pas indépendants.
donc les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.