Exercice 1 : Enquête de rentrée
À la rentrée scolaire, on fait une enquête dans une classe de sixième de 25 élèves :
- 48% des élèves ont 11 ans.
- Un cinquième ($20\%$) des élèves ont 13 ans. Les autres ont 12 ans.
- 15 élèves ont un cartable classique (C), dont les deux tiers ont 11 ans.
- 10 élèves ont un sac à dos (S), dont la moitié a 12 ans.
Questions :
1) Résumer la situation à l'aide d'un tableau à double entrée.
2) Quel est le pourcentage des élèves qui ont 11 ans et qui ont un sac à dos ?
3) Parmi les élèves de 12 ans, quel est le pourcentage de ceux ayant un cartable classique ?
1) Calcul des effectifs :
- Total : $25$ élèves.
- $11$ ans : $0,48 \times 25 = 12$ élèves.
- $13$ ans : $\dfrac{1}{5} \times 25 = 5$ élèves.
- $12$ ans : $25 - 12 - 5 = 8$ élèves.
- Cartable et $11$ ans : $\dfrac{2}{3} \times 15 = 10$ élèves.
- Sac à dos et $12$ ans : $\dfrac{1}{2} \times 10 = 5$ élèves.
| 11 ans | 12 ans | 13 ans | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Cartable (C) | 10 | 3 | 2 | 15 |
| Sac (S) | 2 | 5 | 3 | 10 |
| Total | 12 | 8 | 5 | 25 |
2) On cherche $P\left( 11 \cap S \right) = \dfrac{2}{25} = 0,08$.
La probabilité est de 0,08 (soit 8%).
3) On cherche $P_{12}\left( C \right) = \dfrac{3}{8} = 0,375$.
Cela représente 37,5% des élèves de 12 ans.
Exercice 2 : Satisfaction FAI
Un FAI interroge 2000 clients : n'ayant jamais subi de coupure (J), coupure récente (R), ou ancienne (A). Taux de satisfaction (S) associé.
Questions :
1) Calculer $P\left( J \right)$, $P\left( R \right)$ et $P\left( A \right)$.
2) Construire l'arbre pondéré associé.
3) Démontrer que $P\left( S \right) = 0,7625$.
4) Calculer $P_S\left( R \right)$ (arrondir au centième).
1) $P\left( J \right) = \dfrac{900}{2000} = 0,45$ ; $P\left( R \right) = \dfrac{500}{2000} = 0,25$ ; $P\left( A \right) = \dfrac{600}{2000} = 0,30$.
2) Arbre pondéré :
3) D'après la formule des probabilités totales :
$P\left( S \right) = P\left( J \cap S \right) + P\left( R \cap S \right) + P\left( A \cap S \right)$
$P\left( S \right) = 0,45 \times 0,95 + 0,25 \times 0,50 + 0,30 \times 0,70$
$P\left( S \right) = 0,4275 + 0,125 + 0,21$
donc $P\left( S \right) = 0,7625$.
4) On cherche $P_S\left( R \right) = \dfrac{P\left( R \cap S \right)}{P\left( S \right)} = \dfrac{0,125}{0,7625} \approx 0,16$.
La probabilité est d'environ 0,16.
Exercice 3 : Touristes à Londres
30% en avion (A), 50% en train (T) et le reste en bateau (B). 40% sont restés plus d'une semaine (S).
Questions :
1) Déterminer $P\left( B \right)$ et construire l'arbre pondéré.
2) Montrer que $P\left( B \cap S \right) = 0,04$.
3) Déterminer $P_S\left( B \right)$.
1) $P\left( B \right) = 1 - \left( 0,30 + 0,50 \right) = 0,20$.
Arbre pondéré :
2) On utilise le chemin de l'arbre passant par $B$ puis $S$ :
$$P\left( B \cap S \right) = P\left( B \right) \times P_B\left( S \right) = 0,20 \times 0,20 = 0,04$$
donc $P\left( B \cap S \right) = 0,04$.
3) On cherche $P_S\left( B \right) = \dfrac{P\left( B \cap S \right)}{P\left( S \right)} = \dfrac{0,04}{0,40} = 0,1$.
donc $P_S\left( B \right) = 0,1$.
Exercice 4 : L'école de souris
Claude (C), Dominique (D), Éric (E). Souris performantes (P).
Questions :
1) Construire l'arbre pondéré associé.
2) Démontrer que $P\left( P \right) = 0,656$.
3) Calculer $P_P\left( D \right)$ (arrondi au millième).
1) Arbre pondéré :
2) D'après la formule des probabilités totales :
$P\left( P \right) = P\left( C \cap P \right) + P\left( D \cap P \right) + P\left( E \cap P \right)$
$P\left( P \right) = 0,48 \times 0,60 + 0,16 \times 0,80 + 0,36 \times \dfrac{2}{3} = 0,656$
donc $P\left( P \right) = 0,656$.
3) $P_P\left( D \right) = \dfrac{P\left( D \cap P \right)}{P\left( P \right)} = \dfrac{0,128}{0,656} \approx 0,195$.
donc $P_P\left( D \right) \approx 0,195$.