Exercices Python : Second Degré et Suites

1) Ce programme permet de déterminer le nombre de racines réelles d'un trinôme du second degré de la forme \( ax^2 + bx + c \) en calculant son discriminant \( \Delta \).

2) Si \( a=1, b=2, c=1 \), alors \( \Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4 - 4 = 0 \).

La condition delta == 0 est vraie, donc la console affichera : "Il y a une racine réelle unique."

3) L'instruction permettant de calculer une puissance est **. Par exemple, b**2 pour \( b^2 \).

Voici une proposition de code conforme au cours :

# Saisie de n (on convertit en entier)
n = int(input("Entrer la valeur de n : "))

# Définition des paramètres de la suite
u0 = 5
r = 3

# Calcul du terme général
un = u0 + n * r

# Affichage
print("Le terme u_n est", un)

Note : On utilise int(input(...)) car \( n \) doit être un nombre entier pour représenter un rang dans une suite.

1) On utilise une boucle while (tant que) car on ne connaît pas à l'avance le nombre de répétitions nécessaires pour dépasser 100. C'est une boucle non bornée.

2) Calculons les premiers termes :
\( v_0 = 2 \)
\( v_1 = 3 \)
\( v_2 = 4,5 \)
\( v_3 = 6,75 \)
\( v_4 = 10,125 \)
\( v_5 \approx 15,19 \)
\( v_6 \approx 22,78 \)
\( v_7 \approx 34,17 \)
\( v_8 \approx 51,26 \)
\( v_9 \approx 76,89 \)
\( v_{10} \approx 115,33 \)
Le rang affiché sera donc \( n = 10 \).

3) L'instruction n = n + 1 est une incrémentation. Elle permet d'ajouter 1 à la variable \( n \) à chaque passage dans la boucle pour compter le nombre d'étapes.

Voici le code utilisant des branchements conditionnels :

a = float(input("Entrer a : "))
b = float(input("Entrer b : "))
c = float(input("Entrer c : "))
x = float(input("Entrer la valeur de x : "))

image = a*x**2 + b*x + c

if image > 0:
    print("Le résultat est strictement positif.")
elif image < 0:
    print("Le résultat est strictement négatif.")
else:
    print("Le résultat est nul.")

Pour aller de \( u_0 \) à \( u_{10} \), il y a 11 termes. La fonction range(11) génère les entiers de 0 à 10.

somme = 0

for n in range(11):
    u = 2 * n + 1
    somme = somme + u

print("La somme des 11 premiers termes est :", somme)

Vérification mathématique : \( S = \dfrac{11 \times \left( u_0 + u_{10} \right) }{2} = \dfrac{11 \times \left( 1 + 21 \right) }{2} = \dfrac{11 \times 22}{2} = 121 \).

Le programme affichera 121.