Cosinus, Sinus et Tangente : Exercices Corrigés

Exercice \( 1 \) : Calculs Trigonométriques (Sinus donné)

Calculer les valeurs de \( \cos x \) et \( \tan x \) sachant que \( \sin x = 0{,}6 \text{.} \)

(\( \text{On supposera } x \text{ dans un quadrant où } \cos x > 0 \))

Exercice \( 2 \) : Calculs Trigonométriques (Cosinus donné)

Calculer les valeurs de \( \sin x \) et \( \tan x \) sachant que \( \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{.} \)

(\( \text{On supposera } x \text{ dans un quadrant où } \sin x > 0 \))

Exercice \( 3 \) : Démonstrations (Triangle Rectangle)

Soit un triangle \( \text{ABC} \) rectangle en \( \text{A} \text{.} \) Démontrer que :

\( 1) \dfrac{\sin \widehat{B}}{AC} = \dfrac{\sin \widehat{C}}{AB} \)
\( 2) (\tan \widehat{B} + \tan \widehat{C})^2 = (\tan \widehat{B})^2 + (\tan \widehat{C})^2 + 2 \)

Exercice \( 4 \) : Triangle Rectangle et Hauteur

\( \text{AIR} \) est un triangle rectangle en \( \text{A} \) tel que : \( AI = 6{,}5 \) cm et \( \widehat{AIR} = 35^\circ \text{.} \)
La hauteur issue de \( \text{A} \) coupe la droite \( (\text{RI}) \) en \( \text{P} \text{.} \)

Exercice \( 5 \) : Équations Trigonométriques

Résoudre les équations suivantes :

\( 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \) sur \( \mathbb{R} \text{.} \)
\( 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \) sur \( [0 ; 2\pi] \text{.} \)
\( \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 \) sur \( [-\pi ; \pi] \text{.} \)
\( \cos(2x) = \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; \pi] \text{.} \)
\( 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 \) sur \( [0 ; 2\pi] \text{.} \)

Corrigé de l'Exercice \( 5 \)

\( 1) \text{ } 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \iff \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Solutions : \( x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \) ou \( x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \) (\( k \in \mathbb{Z} \)).

Visualisation sur le cercle

\( 2) \text{ } 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

On pose \( X = \sin x \text{.} \) Racines : \( -1 \) et \( \dfrac{1}{2} \text{.} \)

\( \bullet \sin x = -1 \iff x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \text{. Sur } [0 ; 2\pi] \text{, } x = \dfrac{3\pi}{2} \text{.} \)

\( \bullet \sin x = \dfrac{1}{2} \iff x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \) ou \( x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \text{.} \)

Visualisation (\( \sin x \in \{ -1 ; 1/2 \} \))

\( 3) \text{ } \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 \iff \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) sur \( [-\pi ; \pi] \)

Solutions générales : \( x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \) ou \( x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi \text{.} \)

Visualisation (\( \sin x = -\sqrt{2}/2 \))

\( 4) \text{ } \cos(2x) = \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; \pi] \)

\( 2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \) ou \( 2x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \iff x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \) ou \( x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \text{.} \)

Visualisation pour \( x \)

\( 5) \text{ } 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 \text{ (Racine conv. } \cos x = 1/2 \text{)} \)

\( x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \) ou \( x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{.} \)

Visualisation (\( \cos x = 1/2 \))

Exercice \( 6 \) : Inéquations Trigonométriques

Résoudre les inéquations suivantes sur \( [0 ; 2\pi] \) :

\( 2 \sin x > 1 \text{.} \)
\( 2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 \le 0 \text{.} \)
\( \sqrt{2} \cos x + 1 \ge 0 \text{.} \)
\( 2 \sin^2 x - \sin x < 0 \text{.} \)
\( 4 \sin^2 x - 3 \le 0 \text{.} \)

Corrigé de l'Exercice \( 6 \)

\( 1) \text{ } \sin x > \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( S = \left] \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6} \right[ \text{.} \)

\( 2) \text{ } \dfrac{1}{2} \le \cos x \le 1 \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( S = \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{5\pi}{3} ; 2\pi \right] \text{.} \)

\( 3) \text{ } \cos x \ge -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( S = \left[ 0 ; \dfrac{3\pi}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{5\pi}{4} ; 2\pi \right] \text{.} \)

\( 4) \text{ } 0 < \sin x < \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( S = \left] 0 ; \dfrac{\pi}{6} \right[ \cup \left] \dfrac{5\pi}{6} ; \pi \right[ \text{.} \)

\( 5) \text{ } -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \le \sin x \le \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Axe réel

Cercle

\( S = \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{5\pi}{3} ; 2\pi \right] \text{.} \)

Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente

Exercice \( 1 \) : Calculs Trigonométriques (Sinus donné)

Corrigé de l'Exercice \( 1 \)

Exercice \( 2 \) : Calculs Trigonométriques (Cosinus donné)

Corrigé de l'Exercice \( 2 \)

Exercice \( 3 \) : Démonstrations (Triangle Rectangle)

Corrigé de l'Exercice \( 3 \)

Exercice \( 4 \) : Triangle Rectangle et Hauteur

Corrigé de l'Exercice \( 4 \)

Exercice \( 5 \) : Équations Trigonométriques

Corrigé de l'Exercice \( 5 \)

\( 1) \text{ } 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \iff \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Visualisation sur le cercle

\( 2) \text{ } 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Visualisation (\( \sin x \in \{ -1 ; 1/2 \} \))

\( 3) \text{ } \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 \iff \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) sur \( [-\pi ; \pi] \)

Visualisation (\( \sin x = -\sqrt{2}/2 \))

\( 4) \text{ } \cos(2x) = \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; \pi] \)

Visualisation pour \( x \)

\( 5) \text{ } 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 \text{ (Racine conv. } \cos x = 1/2 \text{)} \)

Visualisation (\( \cos x = 1/2 \))

Exercice \( 6 \) : Inéquations Trigonométriques

Corrigé de l'Exercice \( 6 \)

\( 1) \text{ } \sin x > \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( 2) \text{ } \dfrac{1}{2} \le \cos x \le 1 \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( 3) \text{ } \cos x \ge -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( 4) \text{ } 0 < \sin x < \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( 5) \text{ } -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \le \sin x \le \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Axe réel

Cercle

Exercice \( 1 \) : Calculs Trigonométriques (Sinus donné)

Corrigé de l'Exercice \( 1 \)

Exercice \( 2 \) : Calculs Trigonométriques (Cosinus donné)

Corrigé de l'Exercice \( 2 \)

Exercice \( 3 \) : Démonstrations (Triangle Rectangle)

Corrigé de l'Exercice \( 3 \)

Exercice \( 4 \) : Triangle Rectangle et Hauteur

Corrigé de l'Exercice \( 4 \)

Exercice \( 5 \) : Équations Trigonométriques

Corrigé de l'Exercice \( 5 \)

\( 1) \text{ } 2 \cos x - \sqrt{3} = 0 \iff \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Visualisation sur le cercle

\( 2) \text{ } 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Visualisation (\( \sin x \in \{ -1 ; 1/2 \} \))

\( 3) \text{ } \sqrt{2} \sin x + 1 = 0 \iff \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) sur \( [-\pi ; \pi] \)

Visualisation (\( \sin x = -\sqrt{2}/2 \))

\( 4) \text{ } \cos(2x) = \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; \pi] \)

Visualisation pour \( x \)

\( 5) \text{ } 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 \text{ (Racine conv. } \cos x = 1/2 \text{)} \)

Visualisation (\( \cos x = 1/2 \))

Exercice \( 6 \) : Inéquations Trigonométriques

Corrigé de l'Exercice \( 6 \)

\( 1) \text{ } \sin x > \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( 2) \text{ } \dfrac{1}{2} \le \cos x \le 1 \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( 3) \text{ } \cos x \ge -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( 4) \text{ } 0 < \sin x < \dfrac{1}{2} \) sur \( [0 ; 2\pi] \)

Axe réel

Cercle

\( 5) \text{ } -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \le \sin x \le \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Axe réel

Cercle

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