Exercices corrigés 1° spé - Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente

Exercice 1 : Calculs Trigonométriques (Sinus donné)

Calculer les valeurs de $\cos x$ et $\tan x$ sachant que $\sin x = 0,6$.

(On supposera $x$ dans un quadrant où $\cos x > 0$)

Exercice 2 : Calculs Trigonométriques (Cosinus donné)

Calculer les valeurs de $\sin x$ et $\tan x$ sachant que $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(On supposera $x$ dans un quadrant où $\sin x > 0$)

Exercice 3 : Démonstrations (Triangle Rectangle)

Soit un triangle ABC rectangle en A. Démontrer que :

1) $\frac{\sin \hat{B}}{AC} = \frac{\sin \hat{C}}{AB}$
2) $(\tan \hat{B} + \tan \hat{C})^2 = (\tan \hat{B})^2 + (\tan \hat{C})^2 + 2$
3) $\frac{\cos \hat{B} \times \tan \hat{B}}{\sin \hat{B}} = 1$

Corrigé de l'Exercice 3

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a (SOH CAH TOA) : $\sin \hat{B} = \frac{AC}{BC}$, $\cos \hat{B} = \frac{AB}{BC}$, $\tan \hat{B} = \frac{AC}{AB}$. Et $\sin \hat{C} = \frac{AB}{BC}$, $\cos \hat{C} = \frac{AC}{BC}$, $\tan \hat{C} = \frac{AB}{AC}$.

1) Égalité des sinus

Calculons le membre de gauche :

$$\frac{\sin \hat{B}}{AC} = \frac{AC/BC}{AC} = \frac{AC}{BC} \times \frac{1}{AC} = \frac{1}{BC}$$

Calculons le membre de droite :

$$\frac{\sin \hat{C}}{AB} = \frac{AB/BC}{AB} = \frac{AB}{BC} \times \frac{1}{AB} = \frac{1}{BC}$$ Les deux membres sont égaux à $\frac{1}{BC}$, l'égalité est démontrée.

2) Égalité des tangentes (carré)

Développons le membre de gauche :

$$(\tan \hat{B} + \tan \hat{C})^2 = (\tan \hat{B})^2 + 2 \times \tan \hat{B} \times \tan \hat{C} + (\tan \hat{C})^2$$

Calculons le produit $\tan \hat{B} \times \tan \hat{C}$ :

$$\tan \hat{B} \times \tan \hat{C} = \frac{AC}{AB} \times \frac{AB}{AC} = 1$$

En remplaçant ce produit dans l'expression développée :

$$(\tan \hat{B} + \tan \hat{C})^2 = (\tan \hat{B})^2 + 2 \times (1) + (\tan \hat{C})^2$$ $(\tan \hat{B} + \tan \hat{C})^2 = (\tan \hat{B})^2 + (\tan \hat{C})^2 + 2$. L'égalité est démontrée.

3) Simplification

On remplace $\tan \hat{B}$ par $\frac{\sin \hat{B}}{\cos \hat{B}}$ :

$$\frac{\cos \hat{B} \times \tan \hat{B}}{\sin \hat{B}} = \frac{\cos \hat{B} \times (\frac{\sin \hat{B}}{\cos \hat{B}})}{\sin \hat{B}}$$ $$\frac{\sin \hat{B}}{\sin \hat{B}} = 1$$

Alternative avec SOH CAH TOA :

Numérateur : $\cos \hat{B} \times \tan \hat{B} = \frac{AB}{BC} \times \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{BC}$

Fraction complète : $\frac{AC/BC}{\sin \hat{B}} = \frac{AC/BC}{AC/BC} = 1$

L'expression est égale à $1$.

Exercice 4 : Triangle Rectangle et Hauteur

AIR est un triangle rectangle en A tel que : $AI = 6,5$ cm et $\hat{AIR} = 35^\circ$.
La hauteur issue de A coupe la droite (RI) en P.
1) Faire la figure.
2) Calculer la longueur AR en cm (on donnera la valeur arrondie au dixième).
3) Calculer la longueur AP en cm (on donnera la valeur arrondie au dixième).

Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente

Exercice 1 : Calculs Trigonométriques (Sinus donné)

Corrigé de l'Exercice 1

Exercice 2 : Calculs Trigonométriques (Cosinus donné)

Corrigé de l'Exercice 2

Exercice 3 : Démonstrations (Triangle Rectangle)

Corrigé de l'Exercice 3

1) Égalité des sinus

2) Égalité des tangentes (carré)

3) Simplification

Exercice 4 : Triangle Rectangle et Hauteur

Corrigé de l'Exercice 4

1) Figure

Figure de l'Exercice 4 (Corrigé)

2) Calcul de AR

3) Calcul de AP