Trigonométrie : Cercle, Radians et Mesure Principale

Exercice $ 1 $ : Placement sur le Cercle Trigonométrique

L'origine sur le cercle ci-contre étant prise en $ \text{A} \text{,} $ placer les points du cercle associés par enroulement aux $ 4 $ réels suivants :

Cercle Trigonométrique (Énoncé)

$$\dfrac{-3}{2}\pi; \quad \dfrac{5}{4}\pi; \quad \dfrac{-16}{3}\pi; \quad \dfrac{15}{18}\pi$$

Exercice $ 2 $ : Mesure Principale

Déterminer la mesure principale (comprise dans $ ]-\pi; \pi] $) des angles de mesure (en radians) :

$$\dfrac{33}{7}\pi; \quad \dfrac{-101}{3}\pi; \quad 17$$

Corrigé de l'Exercice $ 2 $

$ 1) $ Pour $ \dfrac{33\pi}{7} $

On effectue la division euclidienne du numérateur $ 33 $ par le double du dénominateur ($ 2 \times 7 = 14 $) :

$ 33 = 14 \times 2 + 5 \text{.} $

On en déduit :

$ \dfrac{33\pi}{7} = \dfrac{(14 \times 2 + 5)\pi}{7} = \dfrac{14 \times 2\pi}{7} + \dfrac{5\pi}{7} = 2 \times 2\pi + \dfrac{5\pi}{7} \text{.} $

Comme $ \dfrac{5\pi}{7} \in ]-\pi; \pi] \text{,}$

la mesure principale est $ \dfrac{5\pi}{7} \text{.} $

$ 2) $ Pour $ \dfrac{-101\pi}{3} $

On effectue la division euclidienne du numérateur $ -101 $ par le double du dénominateur ($ 2 \times 3 = 6 $) :

$ -101 = 6 \times (-17) + 1 \text{.} $

On en déduit :

$ \dfrac{-101\pi}{3} = \dfrac{(6 \times (-17) + 1)\pi}{3} = \dfrac{6 \times (-17)\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = -17 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{3} \text{.} $

Comme $ \dfrac{\pi}{3} \in ]-\pi; \pi] \text{,}$

la mesure principale est $ \dfrac{\pi}{3} \text{.} $

$ 3) $ Pour $ 17 $

Pour $ 17 $ radians, on cherche $ k \in \mathbb{Z} $ tel que $ 17 + 2k\pi \in ]-\pi; \pi] \text{.} $

On utilise $ \pi \approx 3{,}14159 \text{.} $ Donc $ 2\pi \approx 6{,}283 \text{.} $

$ \dfrac{17}{2\pi} \approx \dfrac{17}{6{,}283} \approx 2{,}70 \text{.} $

Si $ k = -3 $ alors $ 17 + 2 \times (-3)\pi = 17 - 6\pi \approx 17 - 18{,}8496 = -1{,}8496 \text{.} $

Cette valeur appartient bien à $ ]-\pi; \pi] \text{.} $

La mesure principale de $ 17 $ est $ 17 - 6\pi \text{.} $.

Exercice $ 3 $ : Détermination d'Angles

Sur la figure ci-contre, $ \text{ABC} $ est un triangle équilatéral tel que $ \widehat{IOA}=\dfrac{\pi}{4} \text{.} $ $ [\text{BD}] $ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $ \text{ABC} $ de centre $ \text{O} \text{.} $

Donner les réels appartenant à l'intervalle $ ]-\pi; \pi] $ associés aux points $ \text{B} \text{,} $ $ \text{C} $ et $ \text{D} $ sachant que le nombre $ 0 $ est associé au point $ \text{I} $ et que $ \dfrac{\pi}{4} $ est associé au point $ \text{A} \text{.} $

Figure de l'Exercice $ 3 $ (Énoncé)

Les réponses seront justifiées.

Corrigé de l'Exercice $ 3 $

$ \text{ABC} $ est un triangle équilatéral de centre $ \text{O} \text{.} $ Les sommets sont espacés d'un angle au centre égal :

$$\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = \dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ = \dfrac{2\pi}{3} \text{ rad}.$$

Position des points sur le cercle

On nous donne $ \widehat{IOA} = \dfrac{\pi}{4} \text{.} $ On cherche les angles par rapport à $ \text{I} \text{,} $ qui correspond à $ 0 \text{.} $

$ 1) $ Angle associé à $ \text{B} $

L'angle $ \widehat{IOB} $ est la somme de $ \widehat{IOA} $ et $ \widehat{AOB} \text{.} $ On suppose que $ \text{B} $ est dans le sens anti-horaire après $ \text{A} \text{.} $

$$\widehat{IOB} = \widehat{IOA} + \widehat{AOB} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{12} + \dfrac{8\pi}{12} = \dfrac{11\pi}{12}$$

Cette valeur est bien dans $ ]-\pi; \pi] \text{.} $

Le réel associé à $ \text{B} $ est $ \dfrac{11\pi}{12} \text{.} $

$ 2) $ Angle associé à $ \text{C} $

L'angle $ \widehat{IOC} $ peut être vu comme $ \widehat{IOA} - \widehat{AOC} $ (sens horaire, donc négatif) :

$$\widehat{IOC} = \widehat{IOA} - \widehat{AOC} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{12} - \dfrac{8\pi}{12} = -\dfrac{5\pi}{12}$$

Cette valeur est bien dans $ ]-\pi; \pi] \text{.} $$

Le réel associé à $ \text{C} $ est $ -\dfrac{5\pi}{12} \text{.} $

$ 3) $ Angle associé à $ \text{D} $

$ [\text{BD}] $ est un diamètre. Les points $ \text{B} \text{,} $ $ \text{O} \text{,} $ $ \text{D} $ sont alignés, $ \text{D} $ est l'opposé de $ \text{B} \text{.} $

L'angle $ \widehat{IOD} $ est $ \widehat{IOB} - \pi $ (pour rester dans l'intervalle) :

$$\widehat{IOD} = \dfrac{11\pi}{12} - \pi = \dfrac{11\pi - 12\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{12}$$

Cette valeur est bien dans $ ]-\pi; \pi] \text{.} $

Le réel associé à $ \text{D} $ est $ -\dfrac{\pi}{12} \text{.} $

Trigonométrie

Exercice \( 1 \) : Placement sur le Cercle Trigonométrique

Cercle Trigonométrique (Énoncé)

Corrigé de l'Exercice \( 1 \)

Construction par symétrie

Exercice \( 2 \) : Mesure Principale

Corrigé de l'Exercice \( 2 \)

\( 1) \) Pour \( \dfrac{33\pi}{7} \)

\( 2) \) Pour \( \dfrac{-101\pi}{3} \)

\( 3) \) Pour \( 17 \)

Exercice \( 3 \) : Détermination d'Angles

Figure de l'Exercice \( 3 \) (Énoncé)

Corrigé de l'Exercice \( 3 \)

Position des points sur le cercle

\( 1) \) Angle associé à \( \text{B} \)

\( 2) \) Angle associé à \( \text{C} \)

\( 3) \) Angle associé à \( \text{D} \)

Exercice \( 1 \) : Placement sur le Cercle Trigonométrique

Cercle Trigonométrique (Énoncé)

Corrigé de l'Exercice \( 1 \)

Construction par symétrie

Exercice \( 2 \) : Mesure Principale

Corrigé de l'Exercice \( 2 \)

\( 1) \) Pour \( \dfrac{33\pi}{7} \)

\( 2) \) Pour \( \dfrac{-101\pi}{3} \)

\( 3) \) Pour \( 17 \)

Exercice \( 3 \) : Détermination d'Angles

Figure de l'Exercice \( 3 \) (Énoncé)

Corrigé de l'Exercice \( 3 \)

Position des points sur le cercle

\( 1) \) Angle associé à \( \text{B} \)

\( 2) \) Angle associé à \( \text{C} \)

\( 3) \) Angle associé à \( \text{D} \)

Bloqueur de publicité détecté