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Exercices : La fonction sinus

Exercice 1 : Valeurs remarquables

À l'aide du cercle trigonométrique, donner la valeur exacte des sinus suivants :

  1. \(\sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right)\)
  2. \(\sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)\)
  3. \(\sin\left( \dfrac{2\pi}{3} \right)\)
  4. \(\sin\left( -\dfrac{\pi}{6} \right)\)
  5. \(\sin\left( \dfrac{5\pi}{4} \right)\)

1) \(\sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \) \(1\)

2) \(\sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

3) \(\sin\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) = \) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

4) \(\sin\left( -\dfrac{\pi}{6} \right) = \) \(-\dfrac{1}{2}\)

5) \(\sin\left( \dfrac{5\pi}{4} \right) = \) \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Exercice 2 : Résolution d'équations

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

  1. \(\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  2. \(\sin(x) = -1\)
  3. \(\sin(x) = 0\)
  4. \(\sin(2x) = \sin\left( \dfrac{\pi}{5} \right)\)
  5. \(2\sin(x) + \sqrt{3} = 0\)

1) \(\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

On sait que \(\sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
donc \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi\).
\(S = \left\{ \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi ; \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}\)

2) \(\sin(x) = -1\)

L'ordonnée \(-1\) sur le cercle correspond au point associé à \(-\dfrac{\pi}{2}\).
donc \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\).
\(S = \left\{ -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}\)

3) \(\sin(x) = 0\)

Les points d'ordonnée \(0\) sur le cercle correspondent à \(0\) et \(\pi\).
donc \(x = k\pi, k \in \mathbb{Z}\).
\(S = \left\{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}\)

4) \(\sin(2x) = \sin\left( \dfrac{\pi}{5} \right)\)

donc \(2x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi\) ou \(2x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi = \dfrac{4\pi}{5} + 2k\pi\).
donc \(x = \dfrac{\pi}{10} + k\pi\) ou \(x = \dfrac{2\pi}{5} + k\pi\).
\(S = \left\{ \dfrac{\pi}{10} + k\pi ; \dfrac{2\pi}{5} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}\)

5) \(2\sin(x) + \sqrt{3} = 0 \implies \sin(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

On sait que \(\sin\left( -\dfrac{\pi}{3} \right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
donc \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \left( -\dfrac{\pi}{3} \right) + 2k\pi = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi\).
\(S = \left\{ -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi ; \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}\)

Exercice 3 : Propriétés de la fonction sinus

  1. Démontrer que la fonction sinus est impaire.
  2. Démontrer qu'elle est \(2\pi\)-périodique.
  3. Comparer les valeurs de \(\sin(x)\) et \(\sin(\pi - x)\).
  4. Déterminer la période de la fonction \(f(x) = \sin(3x)\).
  5. Tracer la fonction \(g(x) = \sin(x) - 2\) sur \(\left[ -2\pi ; 2\pi \right]\).

1) Parité : \(\sin(-x) = -\sin(x)\), donc la fonction est impaire.

2) Périodicité : \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\), donc la fonction est \(2\pi\)-périodique.

3) Symétrie : Par lecture du cercle, \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\).

4) Période de \(f\) : \(3T = 2\pi\) donc \(T = \dfrac{2\pi}{3}\).

5) Représentation graphique de \(g(x) = \sin(x) - 2\) :

Exercice 4 : Dérivée et Tangente

Soit \(g(x) = \sin(x)\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Déterminer l'expression de la fonction dérivée \(g'(x)\).
  2. Calculer le nombre dérivé au point d'abscisse \(0\).
  3. Déterminer l'équation de la tangente \(T\) à la courbe au point d'origine \(O\).
  4. Expliquer le procédé de construction géométrique de cette tangente.
  5. Tracer la courbe et sa tangente dans un repère.

1) Dérivée : \(g'(x) = \cos(x)\).

2) Nombre dérivé : \(g'(0) = \cos(0) = \) \(1\).

3) Tangente : \(y = 1(x - 0) + 0\) soit \(T : y = x\).

4) Construction : On utilise le point \(O(0;0)\) et le vecteur de pente \((1;1)\).

Exercice 5 : Étude des variations

  1. Déterminer le signe de \(h'(x)\) sur \(\left[ -\pi ; \pi \right]\).
  2. Préciser les valeurs de \(x\) pour lesquelles la dérivée s'annule.
  3. Déterminer les extrema de la fonction sur cet intervalle.
  4. Dresser le tableau de variations complet.
  5. Représenter graphiquement la fonction.

1) Signe : \(h'(x) = \cos(x)\). Il est positif sur \(\left[ -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]\) et négatif ailleurs.

\(x\)
\(-\pi\)
\(-\pi/2\)
\(\pi/2\)
\(\pi\)
\(h'(x)\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(0\)
\(-\)
\(h(x)\)
\(0\)
\(-1\)
\(1\)
\(0\)