Exercice 1 : Valeurs remarquables
Donner la valeur exacte des cosinus suivants en vous aidant du cercle trigonométrique :
- \(\cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)\)
- \(\cos\left( \dfrac{3\pi}{4} \right)\)
- \(\cos\left( -\dfrac{\pi}{6} \right)\)
- \(\cos\left( \dfrac{5\pi}{3} \right)\)
1) \(\cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \) \(\dfrac{1}{2}\)
2) \(\cos\left( \dfrac{3\pi}{4} \right) = \) \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
3) \(\cos\left( -\dfrac{\pi}{6} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
4) \(\cos\left( \dfrac{5\pi}{3} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \) \(\dfrac{1}{2}\)
Exercice 2 : Équations trigonométriques
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \(\cos(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos(2x) = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)\)
- \(2\cos(x) + \sqrt{2} = 0\)
1) \(\cos(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
On sait que \(\cos\left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
L'équation équivaut à \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\).
\(S = \left\{ \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi ; -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}\)2) \(\cos(2x) = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)\)
donc \(2x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(2x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\).
En divisant par \(2\) : \(x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{8} + k\pi\).
\(S = \left\{ \dfrac{\pi}{8} + k\pi ; -\dfrac{\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}\)3) \(2\cos(x) + \sqrt{2} = 0 \implies \cos(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
On sait que \(\cos\left( \dfrac{3\pi}{4} \right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
L'équation équivaut à \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi\).
\(S = \left\{ \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi ; -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}\)Exercice 3 : Parité, Périodicité et Graphique
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \cos(2x) + 3\).
- Démontrer que la fonction \(f\) est paire.
- Démontrer que la fonction \(f\) est \(\pi\)-périodique.
- Tracer la représentation graphique de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(\left[ -\pi ; \pi \right]\) dans un repère.
1) Parité : \(f(-x) = \cos(2 \times (-x)) + 3 = \cos(-2x) + 3\). Comme cosinus est paire, \(\cos(-2x) = \cos(2x)\). On a donc \(f(-x) = f(x)\). La fonction \(f\) est paire.
2) Périodicité : \(f(x+\pi) = \cos(2(x+\pi)) + 3 = \cos(2x + 2\pi) + 3\). Comme cosinus est \(2\pi\)-périodique, \(\cos(2x+2\pi) = \cos(2x)\). On a donc \(f(x+\pi) = f(x)\). La fonction \(f\) est \(\pi\)-périodique.
3) Graphique :
Exercice 4 : Dérivée et Tangente
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \cos(x)\).
- Déterminer l'expression de la fonction dérivée \(g'(x)\).
- Calculer \(g'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)\).
- Déterminer l'équation de la tangente \(T\) à la courbe au point d'abscisse \(x = \dfrac{\pi}{2}\).
- Tracer la représentation graphique de \(g\) sur \(\left[ -\pi ; \pi \right]\) et la tangente \(T\).
1) Dérivée : D'après le cours, \(g'(x) = -\sin(x)\).
2) Calcul : \(g'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = -\sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
3) Tangente : \(y = g'\left( \dfrac{\pi}{2} \right)\left( x - \dfrac{\pi}{2} \right) + g\left( \dfrac{\pi}{2} \right)\).
\(g\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 0\) et \(g'\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = -\sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = -1\).
donc \(y = -1\left( x - \dfrac{\pi}{2} \right) + 0\) donc \(T : y = -x + \dfrac{\pi}{2}\).
4) Représentation et procédé de construction :
Procédé de construction de \(T\) :
- Placer le point de contact \(A\left( \dfrac{\pi}{2} ; 0 \right)\) sur la courbe.
- Le coefficient directeur de \(T\) est \(g'\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = -1\).
- Depuis le point \(A\), se déplacer de \(1\) unité vers la droite et de \(1\) unité vers le bas pour placer un second point.
- Tracer la droite passant par ces deux points.
Graphique de \(g(x) = \cos(x)\) et sa tangente \(T\).
Exercice 5 : Étude des variations
Étudier les variations de la fonction \(h(x) = \cos(x)\) sur \([0 ; \pi]\) et dresser son tableau de variations.
Sur \([0 ; \pi]\), \(h'(x) = -\sin(x)\). Comme \(\sin(x) \geqslant 0\) sur \([0 ; \pi]\), on a \(h'(x) \leqslant 0\). La fonction \(h\) est donc décroissante sur \([0 ; \pi]\).