Exercice 1 : Simplification d'Expressions
Simplifier les expressions suivantes pour \(x \in \mathbb{R}\) :
- \(A = e^{x+3} \times e^{2x-1}\)
- \(B = \dfrac{e^{5x}}{e^{2-x}}\)
- \(C = \left( e^{3x-2} \right)^2 \times e^{-x}\)
- \(D = e^{2x} - 2e^x - 3\) (Donner la forme factorisée)
- \(E = \dfrac{e^{2x} + e^x}{e^x}\)
1) Simplification de \(A\)
On utilise la propriété \(e^a \times e^b = e^{a+b}\) :
\(A = e^{\left( x+3 \right) + \left( 2x-1 \right)} = e^{3x+2}\)
\(A = e^{3x+2}\)2) Simplification de \(B\)
On utilise la propriété \(\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\) :
\(B = e^{5x - \left( 2-x \right)} = e^{5x - 2 + x} = e^{6x-2}\)
\(B = e^{6x-2}\)3) Simplification de \(C\)
On utilise la propriété \(\left( e^a \right)^b = e^{a \times b}\) :
\(C = e^{2\left( 3x-2 \right)} \times e^{-x} = e^{6x-4} \times e^{-x}\)
Puis \(e^a \times e^b = e^{a+b}\) :
\(C = e^{\left( 6x-4 \right) + \left( -x \right)} = e^{5x-4}\)
\(C = e^{5x-4}\)4) Factorisation de \(D\)
On pose \(X = e^x\). Alors \(e^{2x} = \left( e^x \right)^2 = X^2\). L'expression devient \(X^2 - 2X - 3\).
On calcule le discriminant : \(\Delta = \left( -2 \right)^2 - 4 \times 1 \times \left( -3 \right) = 4 + 12 = 16\).
Les racines sont \(X_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1\) et \(X_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3\).
On a donc \(X^2 - 2X - 3 = \left( X - 3 \right)\left( X + 1 \right)\).
En remplaçant \(X\) par \(e^x\), on obtient :
\(D = \left( e^x - 3 \right)\left( e^x + 1 \right)\)5) Simplification de \(E\)
On factorise le numérateur par \(e^x\) :
\(E = \dfrac{e^x\left( e^x + 1 \right)}{e^x}\)
Puis on simplifie par \(e^x\) (car \(e^x \neq 0\)) :
\(E = e^x + 1\)Exercice 2 : Simplification et Mise en Facteur
Simplifier ou factoriser les expressions suivantes pour \(x \in \mathbb{R}\) :
- \(A = \dfrac{e^{-x} \times \left( e^{2x+1} \right)^3}{e^{x-2}}\)
- \(B = e^{x+2} + e^{x+1}\)
- \(C = e^{3x} - e^x\)
- \(D = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\)
- \(E = \dfrac{e^{3x} + e^{2x} + e^x}{e^{2x}}\)
1) Simplification de \(A\)
\(A = \dfrac{e^{-x} \times e^{3\left( 2x+1 \right)}}{e^{x-2}} = \dfrac{e^{-x} \times e^{6x+3}}{e^{x-2}} = \dfrac{e^{5x+3}}{e^{x-2}}\)
\(A = e^{\left( 5x+3 \right) - \left( x-2 \right)} = e^{4x+5}\)
\(A = e^{4x+5}\)2) Factorisation de \(B\)
On factorise par la puissance la plus petite, ici \(e^{x+1}\) :
\(B = e^{x+1} \times e^1 + e^{x+1} \times 1 = e^{x+1}\left( e + 1 \right)\)
\(B = \left( e + 1 \right)e^{x+1}\)3) Factorisation de \(C\)
\(C = e^x\left( e^{2x} - 1 \right)\)
En utilisant l'identité remarquable \(a^2 - b^2 = \left( a-b \right)\left( a+b \right)\) avec \(e^{2x} = \left( e^x \right)^2\) :
\(C = e^x\left( e^x - 1 \right)\left( e^x + 1 \right)\)4) Simplification de \(D\)
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(e^x\) :
\(D = \dfrac{e^x\left( e^x - e^{-x} \right)}{e^x\left( e^x + e^{-x} \right)} = \dfrac{e^{2x} - e^0}{e^{2x} + e^0}\)
\(D = \dfrac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}\)5) Simplification de \(E\)
On sépare en trois termes :
\(E = \dfrac{e^{3x}}{e^{2x}} + \dfrac{e^{2x}}{e^{2x}} + \dfrac{e^x}{e^{2x}} = e^{x} + 1 + e^{-x}\)
\(E = e^x + 1 + e^{-x}\)Exercice 3 : Résolution d'Équations
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \(e^{5x-3} = e^{x+1}\)
- \(e^{2x-4} = e^2\)
- \(e^{2x+1} = 1\)
- \(\left( e^x - e^3 \right)\left( e^{x} + 4 \right) = 0\)
- \(e^{2x} - \left( e^2+1 \right)e^x + e^2 = 0\)
1) Équation \(e^{5x-3} = e^{x+1}\)
Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), on a :
\(5x - 3 = x + 1\)
\(4x = 4\)
\(x = 1\)
\(S = \{1\}\)2) Équation \(e^{2x-4} = e^2\)
\(2x - 4 = 2\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
\(S = \{3\}\)3) Équation \(e^{2x+1} = 1\)
On sait que \(1 = e^0\), donc :
\(2x + 1 = 0\)
\(x = -\dfrac{1}{2}\)
\(S = \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}\)4) Équation \(\left( e^x - e^3 \right)\left( e^{x} + 4 \right) = 0\)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
\(e^x - e^3 = 0\) donc \(e^x = e^3\), donc \(x = 3\).
\(e^x + 4 = 0\) donc \(e^x = -4\). Or une exponentielle est toujours strictement positive, donc cette équation n'a pas de solution.
\(S = \{3\}\)5) Équation \(e^{2x} - \left( e^2+1 \right)e^x + e^2 = 0\)
On pose \(X = e^x\). On obtient \(X^2 - \left( e^2+1 \right)X + e^2 = 0\).
On calcule le discriminant : \(\Delta = \left( -\left( e^2+1 \right) \right)^2 - 4 \times 1 \times e^2 = e^4 + 2e^2 + 1 - 4e^2 = e^4 - 2e^2 + 1 = \left( e^2 - 1 \right)^2\).
Les racines sont \(X_1 = \dfrac{e^2+1 - \left( e^2-1 \right)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\) et \(X_2 = \dfrac{e^2+1 + e^2-1}{2} = \dfrac{2e^2}{2} = e^2\).
En revenant à \(x\) : \(e^x = 1\) donc \(x = 0\) ; \(e^x = e^2\) donc \(x = 2\).
\(S = \{0 ; 2\}\)Exercice 4 : Résolution d'Inéquations
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :
- \(e^{2x+5} < e^{3x-1}\)
- \(e^{x^2} \geqslant e^{x+2}\)
- \(\dfrac{e^x + 1}{e^x - 1} \leqslant 0\)
1) Inéquation \(e^{2x+5} < e^{3x-1}\)
Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), on conserve l'ordre :
\(2x + 5 < 3x - 1\)
\(6 < x\)
\(S = \left] 6 ; +\infty \right[\)2) Inéquation \(e^{x^2} \geqslant e^{x+2}\)
\(x^2 \geqslant x + 2\) donc \(x^2 - x - 2 \geqslant 0\).
Les racines du trinôme sont \(-1\) et \(2\). Le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
\(S = \left] -\infty ; -1 \right] \cup \left[ 2 ; +\infty \right[\)3) Inéquation \(\dfrac{e^x + 1}{e^x - 1} \leqslant 0\)
Le numérateur \(e^x + 1\) est toujours strictement positif car \(e^x > 0\).
Le signe du quotient dépend donc uniquement du dénominateur \(e^x - 1\).
\(e^x - 1 < 0 \iff e^x < 1 \iff e^x < e^0 \iff x < 0\).
\(S = \left] -\infty ; 0 \right[\)Exercice 5 : Étude de Fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \left( 2x - 3 \right)e^{x}\).
- Calculer la dérivée \(f'(x)\).
- Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variations.
- Déterminer l'équation de la tangente \(T\) à la courbe au point d'abscisse \(0\).
1) Calcul de la dérivée
\(f\) est de la forme \(uv\) avec \(u(x) = 2x-3\) et \(v(x) = e^x\).
\(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = e^x\).
\(f'(x) = 2 \times e^x + \left( 2x - 3 \right)e^x = e^x\left( 2 + 2x - 3 \right)\).
\(f'(x) = \left( 2x - 1 \right)e^x\)2) Variations
Comme \(e^x > 0\), \(f'(x)\) est du signe de \(2x - 1\).
\(2x - 1 = 0\) donc \(x = \dfrac{1}{2}\). On calcule \(f\left( \dfrac{1}{2} \right) = \left( 2\left( \dfrac{1}{2} \right) - 3 \right)e^{1/2} = -2\sqrt{e}\).
3) Équation de la tangente
\(T : y = f'(0)\left( x - 0 \right) + f(0)\).
\(f'(0) = \left( 2(0) - 1 \right)e^0 = -1\).
\(f(0) = \left( 2(0) - 3 \right)e^0 = -3\).
\(T : y = -x - 3\)Exercice 6 : Détermination d'une fonction
On cherche une fonction \(f\) de la forme \(f(x) = \left( ax + b \right)e^{kx}\).
On sait que :
- La courbe passe par l'origine \(O\left( 0 ; 0 \right)\).
- La courbe passe par le point \(A\left( 1 ; e^2 \right)\).
- La tangente en \(0\) a pour coefficient directeur \(1\).
Illustration : Courbe \(\mathcal{C}_f\), tangente \(T\) et grille de lecture.
Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(k\).
Condition 1 : \(f(0) = 0\).
\(\left( a(0) + b \right)e^{k(0)} = 0\) donc \(b \times 1 = 0\) donc \(b = 0\).
La fonction est donc \(f(x) = axe^{kx}\).
Condition 2 : \(f'(0) = 1\).
On dérive \(f(x) = axe^{kx}\) : \(f'(x) = a \times e^{kx} + ax \times ke^{kx} = a\left( 1 + kx \right)e^{kx}\).
\(f'(0) = a\left( 1 + 0 \right)e^0 = a\). On a donc \(a = 1\).
La fonction est maintenant \(f(x) = xe^{kx}\).
Condition 3 : \(f(1) = e^2\).
\(1 \times e^{k(1)} = e^2\) donc \(e^k = e^2\) donc \(k = 2\).
L'expression finale est \(f(x) = xe^{2x}\).