Exercice 1 : Expression sans barres
Écrire les expressions suivantes sans le symbole de la valeur absolue en fonction de la valeur de \(x\).
- \(f(x) = \left| 2x - 10 \right|\)
- \(g(x) = \left| -3x + 6 \right|\)
1. Pour \(f(x) = \left| 2x - 10 \right|\) :
On étudie le signe de \(2x - 10\).
\(2x - 10 \geqslant 0 \iff 2x \geqslant 10 \iff x \geqslant 5\).
donc :
Si \(x \in \left[ 5 ; +\infty \right[\), alors \(f(x) = 2x - 10\).
Si \(x \in \left[ -\infty ; 5 \right]\), alors \(f(x) = -\left( 2x - 10 \right) = \) \(-2x + 10\).
2. Pour \(g(x) = \left| -3x + 6 \right|\) :
\(-3x + 6 \geqslant 0 \iff -3x \geqslant -6 \iff x \leqslant \dfrac{-6}{-3} \iff x \leqslant 2\).
donc :
Si \(x \in \left[ -\infty ; 2 \right]\), alors \(g(x) = -3x + 6\).
Si \(x \in \left[ 2 ; +\infty \right[\), alors \(g(x) = -\left( -3x + 6 \right) = \) \(3x - 6\).
Exercice 2 : Résolution d'équations
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \(\left| x + 4 \right| = 7\)
- \(\left| 2x - 3 \right| = -2\)
- \(\left| 3x - 1 \right| = \left| x + 5 \right|\)
1. \(\left| x + 4 \right| = 7\) :
Cela équivaut à \(x + 4 = 7\) ou \(x + 4 = -7\).
\(x = 7 - 4 = 3\) ou \(x = -7 - 4 = -11\).
L'ensemble des solutions est \(S = \left\{ -11 ; 3 \right\}\).
2. \(\left| 2x - 3 \right| = -2\) :
Une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Or \(-2 < 0\).
L'équation n'a donc aucune solution dans \(\mathbb{R}\). (\(S = \emptyset\))
3. \(\left| 3x - 1 \right| = \left| x + 5 \right|\) :
Cela équivaut à \(3x - 1 = x + 5\) ou \(3x - 1 = -\left( x + 5 \right)\).
Cas 1 : \(3x - x = 5 + 1 \iff 2x = 6 \iff x = 3\).
Cas 2 : \(3x - 1 = -x - 5 \iff 3x + x = -5 + 1 \iff 4x = -4 \iff x = -1\).
L'ensemble des solutions est \(S = \left\{ -1 ; 3 \right\}\).
Exercice 3 : Variations et tableau
On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = \left| x - 3 \right| + 2\).
- Déterminer les variations de \(h\).
- Dresser le tableau de variations de la fonction \(h\).
1. Variations :
Si \(x \leqslant 3\), alors \(x - 3 \leqslant 0\), donc \(h(x) = -(x - 3) + 2 = -x + 3 + 2 = -x + 5\).
C'est une fonction affine de coefficient directeur \(-1 < 0\), donc elle est décroissante.
Si \(x \geqslant 3\), alors \(x - 3 \geqslant 0\), donc \(h(x) = (x - 3) + 2 = x - 1\).
C'est une fonction affine de coefficient directeur \(1 > 0\), donc elle est croissante.
2. Tableau de variations :
On calcule l'image de \(3\) : \(h(3) = \left| 3 - 3 \right| + 2 = 2\).
Exercice 4 : Parité
Étudier la parité de la fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x) = x^2 + \left| x \right|\).
Le domaine de définition \(\mathbb{R}\) est centré en \(0\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), calculons \(k(-x)\) :
\(k(-x) = \left( -x \right)^2 + \left| -x \right|\).
On sait que \(\left( -x \right)^2 = x^2\) et que \(\left| -x \right| = \left| x \right|\).
donc \(k(-x) = x^2 + \left| x \right| = k(x)\).
La fonction \(k\) est donc paire.
Exercice 5 : Inéquations et distances
Résoudre graphiquement ou par le calcul l'inéquation suivante :
$$\left| x - 2 \right| \leqslant 5$$
Méthode par la distance :
\(\left| x - 2 \right|\) représente la distance entre le point d'abscisse \(x\) et le point d'abscisse \(2\).
On cherche donc les réels \(x\) dont la distance à \(2\) est inférieure ou égale à \(5\).
Borne inférieure : \(2 - 5 = -3\).
Borne supérieure : \(2 + 5 = 7\).
L'ensemble des solutions est \(S = \left[ -3 ; 7 \right]\).
Méthode algébrique :
\(\left| X \right| \leqslant r \iff -r \leqslant X \leqslant r\).
Ici : \(-5 \leqslant x - 2 \leqslant 5\).
En ajoutant \(2\) à chaque membre :
\(-5 + 2 \leqslant x \leqslant 5 + 2\)
\(-3 \leqslant x \leqslant 7\).
On retrouve \(S = \left[ -3 ; 7 \right]\).